高中數學反思性教學的探討

楊春傳

一、問題的提出

在數學教學中，我經常被一些問題所困惑：課堂上，教師講解概念及解題過程，學生能聽懂，但學生在作業和考試時常出現這樣的情境：許多題目明明知道教師在課堂上反復講解過，即使明白題目的意思也感到無從下手；有些學生學習數學時間花不少，精力投入較多，學習刻苦認真，但收效甚微；對許多學習上的易錯問題，盡管教師反復地講評和剖析，事后學生仍“舊病復發”，找不出問題的癥結.這些問題表明學生缺乏反思意識或反思意識比較差.

究其原因大致為：學生沒有反思的意識或不知道如何反思；學生由于被大量的作業壓得喘不過氣來，沒有時間進行反思.其本質原因是教師在教學中只注重知識的傳授與講解，忽視對學生反思能力的培養；或教師反思意識不強，不知道在教學中如何培養學生的反思能力.

二、高中學生應該進行反思性學習

基于上述問題，且不論新課程突出強調創新精神和實踐能力的培養，教師應將反思性教學應視為高中教學的新型教學方式，加強反思性教學，使學生真正從學習中獲得能力.

（一）概念教學的反思活動

概念是最基本的思維形式，數學中的命題都是由概念構成的；數學中的推理和證明，又是命題構成的.因此，正確地理解數學概念，是掌握數學知識的前提.數學概念的理解包括概念的內涵和外延，即牢固掌握概念和靈活運用概念兩個方面.學生理解和掌握數學概念的過程是一個認識的過程，必須遵循認識的規律，以唯物辯證法作指導.抓住事物的本質，對概念作辯證的分析.并注意在實踐中運用概念，在運用中加深對概念的理解.

【例1】 與圓C：x2+（y+5）2=3相切，且在x、y軸上截距相等的直線有（ ）.

A.2條 B.3條 C.4條 D.6條

錯解：A或D；正解：C.

本題錯解的關鍵在學生對“截距”概念的理解不透徹.選（A）以為“截距”不能為零；選（D）以為“截距”為距離.實際上直線在x、y軸上的截距即為原點到直線與x、y軸的交點的有向線段的數量.

可見，在進行概念教學時，要引導學生多次反思，挖掘概念的本質，研究概念形成的條件和形成的過程，這樣才能使學生更深刻理解概念，更準確地掌握概念、運用概念.同時也培養了學生的反思意識，提高了學生的反思能力.

（二）解題教學的反思活動

1.解題方法上的反思

在解題過程中，不同的題存在著不同的解題方法或者存在相同的解題策略.

（1）指導學生反思一題多解的差異性.

【例2】 在一張節目表上原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添加進去3個節目，求共有多少種安排方法？

解法一：添加的3個節目有三類辦法排進去：①3個節目連排，有C17A33種方法；②3個節目互不相鄰，有A37種方法；③有且僅有兩個節目連排，有C13C17C16A22種方法.根據分類計數原理共有C17A33+A37+C13C17C16A22=504種.

解法二：從結果考慮，排好的節目表中有9個位置，先排入3個添加節目有A39種方法，余下的六個位置上按6個節目的原有順序排入只有一種方法.故所求排法為A39=504種.

解法三：（消去順序）A99A66=504.

這里應做三法優化的反思，法一可視為分組插入法（將三個不同元素分成1組或2組或3組，再插入7個空隙），可取.法二抓住整體中的不變性和可變性，但思維要求較高；法三視為相同元素排列法，具有一般性，可取.

（2）指導學生反思多題一解的共通性.

【例3】 ①6個人并排站成一排，B站在A的右邊，C站在B的右邊，則不同的排法總數為多少種？

②書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書本的相對順序不變，則不同的放法有多少種？

③有一名同學在書寫英文單詞“error”時，只是記不清字母的順序，那么他寫錯這個單詞的概率為 .

以上幾個例子實際上應用例2的法一和法三的解題思路就可以解答！

2.解題思維過程的反思

即思考在問題解決的過程中，自己是否很好地理解了題意？是否弄清了題干和設問之間的內在聯系？是否較快地找到了解題的突破口？在解題過程中以前曾走過的彎路，犯過的錯誤，以及所獲得的感悟，此時能否得到較好的聯想？

【例4】 （2005年浙江卷，理）已知函數f（x）和g（x）的圖像關于原點對稱，且f（x）=x2+2x.

（Ⅰ）求函數g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|.

分析：由圖像關于原點對稱聯想到點關于原點對稱；含有一個絕對值聯想分段；函數值大小比較聯想函數圖像的上方或下方等，這些是否于本題解決有助呢？

進行解題思維的反思，能達到提高學生學習效果、發展學生數學能力的目的.所以我們在教學中應堅持讓學生獨立思考，培養學生在解題后對思維過程進行反思的學習習慣.

3.解題結果的反思

（1）指導學生反思答案的正確性和最佳性

【例5】 從圓（x-1）2+（y-1）2=1外一點P（2，3），向該圓引切線PA、PB，切點為A、B，求直線AB的方程.

方法一：根據圓心到切線的距離等于半徑，求得切線方程為x=2和3x-4y+6=0.再將切線方程與圓方程聯立求得切點A（2，1），B

（25，95）

.再由兩點式求得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法易被學生采用，但求切點運算量較大，由此引導學生反思：如何求切點更簡捷？

方法二：設已知圓的圓心為C（1，1），根據平面幾何知識可知，切點是以PC為直徑的圓與圓C的交點，以PC為直徑的圓方程為

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，將③代入②，求得切點為A（1，2），B（25，95）.再由兩點式可得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法充分運用平面幾何性質，減少了運算層次，簡化了解題過程.是否仍有改進之處？

方法三：設切點坐標為（x，y），由方法二知，切點坐標滿足方程①和②，則也滿足③，這說明方程③即為過切點A，B的直線方程.

此法避免了求切點的過程，過程更簡捷，值得關注.通過上述不同角度的探討，學生開闊了視野，使學生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發展，這有利于提高學生靈活解題的能力.

（2）指導學生反思錯誤答案

【例6】 過點（1，2）總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實數k的取值范圍是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k<-3或k>2D.都不對

錯解：C；正解：D.

反思：當二元二次方程中含參數時首先必須對參數予以關注.關鍵語句：“過點（1，2）總可作圓的切線”意味著點（1，2）恒在圓上或圓外.這樣對錯解的“錯”就釋然了.

4.立意的反思

通過完成解題，可否對題目進行全方位審視？題目立意的目的是什么？它是否具有現實性或普遍性？比如對下列的演變可否作為對題目立意的反思的詮釋？

【例7】 點P在橢圓2x2+y2=1上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離|AP|的最大值.

變式1：將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值.（變結論）

變式2：將橢圓改為雙曲線x2-y2=1，結論改為求|AP|的最小值.（條件、結論均變）

變式3：已知點P在橢圓2x2+y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（變條件，且具一般性）

變式4：動點Q在圓x2+y2-4y+3=0上運動，動點P在橢圓2x2+y2=1上運動，求|PQ|的最大值.（將點A以隱藏的方式給出）

（將圓方程化為x2+（y-2）2=1，則圓心A（0，2），問題就轉化為原題了.）

變式5：設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且離心率e=12，點P在橢圓上運動，若定點A（0，2）到動點P的距離的最大值是45，求橢圓方程.并求|AP|取最大值時，點P的坐標.

（三）作業（或試卷）評講教學的反思活動

作業（或試卷）評講的結束，并非以題目評講的終結為標志，應利用這一契機，引導學生從以下幾方面進行反思.

（1）學生應依據教師提出的教學目標，結合自己實際達成的目標進行反思.這是測試后的反思的前提條件.

（2）學會正視自己.特別要正視自己在學習上存在的問題，全面分析自己的現狀與自定目標之間的差距.這是一種科學的學習態度，是進行測試后的反思的思想基礎.

（3）對每一次測試，首先是反思失分多寡之原因.計算自己在試卷中有哪些是不應有的失分.如，筆誤、計算錯誤、看錯題目、當時的遺忘等.其次是分類分析.高中數學考卷的題型一般分為①填空題、②選擇題、③解答題三類.對于填空選擇題，如有失誤往往是源于對基本概念理解上的偏差.學生要做的是在反思時，細讀概念、定理以及相關的變式與圖形，理解老師總結出的常見結論.解答題中綜合題、探究題是讓學生感到頭痛的題型，反思的重點就是設法掌握解決此類問題的步驟：①掃清障礙，先做好簡單的問題并得出一些有用的結論；②定性分析與定量分析相結合；③反思各類答題的經驗和技巧.

（4）學生在平常的學習、練習中是否做了筆記修正錯誤？訂正錯題時不僅要寫出正確的解題過程，同時要反思錯因及解題中自己的感受和啟發，并注明.

反思能力的培養不是一朝一夕可以完成的.在數學教學中蘊藏著很多讓學生進行反思的機會，只要教師善于捕捉挖掘，持之以恒地引導學生進行反思，一定能使學生由無意識的、被動的反思進入主動的、自覺的反思，從而使學生的反思能力得以提高.

（責任編輯 黃桂堅）

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，將③代入②，求得切點為A（1，2），B（25，95）.再由兩點式可得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法充分運用平面幾何性質，減少了運算層次，簡化了解題過程.是否仍有改進之處？

方法三：設切點坐標為（x，y），由方法二知，切點坐標滿足方程①和②，則也滿足③，這說明方程③即為過切點A，B的直線方程.

此法避免了求切點的過程，過程更簡捷，值得關注.通過上述不同角度的探討，學生開闊了視野，使學生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發展，這有利于提高學生靈活解題的能力.

（2）指導學生反思錯誤答案

【例6】 過點（1，2）總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實數k的取值范圍是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k<-3或k>2D.都不對

錯解：C；正解：D.

反思：當二元二次方程中含參數時首先必須對參數予以關注.關鍵語句：“過點（1，2）總可作圓的切線”意味著點（1，2）恒在圓上或圓外.這樣對錯解的“錯”就釋然了.

4.立意的反思

通過完成解題，可否對題目進行全方位審視？題目立意的目的是什么？它是否具有現實性或普遍性？比如對下列的演變可否作為對題目立意的反思的詮釋？

【例7】 點P在橢圓2x2+y2=1上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離|AP|的最大值.

變式1：將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值.（變結論）

變式2：將橢圓改為雙曲線x2-y2=1，結論改為求|AP|的最小值.（條件、結論均變）

變式3：已知點P在橢圓2x2+y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（變條件，且具一般性）

變式4：動點Q在圓x2+y2-4y+3=0上運動，動點P在橢圓2x2+y2=1上運動，求|PQ|的最大值.（將點A以隱藏的方式給出）

（將圓方程化為x2+（y-2）2=1，則圓心A（0，2），問題就轉化為原題了.）

變式5：設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且離心率e=12，點P在橢圓上運動，若定點A（0，2）到動點P的距離的最大值是45，求橢圓方程.并求|AP|取最大值時，點P的坐標.

（三）作業（或試卷）評講教學的反思活動

作業（或試卷）評講的結束，并非以題目評講的終結為標志，應利用這一契機，引導學生從以下幾方面進行反思.

（1）學生應依據教師提出的教學目標，結合自己實際達成的目標進行反思.這是測試后的反思的前提條件.

（2）學會正視自己.特別要正視自己在學習上存在的問題，全面分析自己的現狀與自定目標之間的差距.這是一種科學的學習態度，是進行測試后的反思的思想基礎.

（3）對每一次測試，首先是反思失分多寡之原因.計算自己在試卷中有哪些是不應有的失分.如，筆誤、計算錯誤、看錯題目、當時的遺忘等.其次是分類分析.高中數學考卷的題型一般分為①填空題、②選擇題、③解答題三類.對于填空選擇題，如有失誤往往是源于對基本概念理解上的偏差.學生要做的是在反思時，細讀概念、定理以及相關的變式與圖形，理解老師總結出的常見結論.解答題中綜合題、探究題是讓學生感到頭痛的題型，反思的重點就是設法掌握解決此類問題的步驟：①掃清障礙，先做好簡單的問題并得出一些有用的結論；②定性分析與定量分析相結合；③反思各類答題的經驗和技巧.

（4）學生在平常的學習、練習中是否做了筆記修正錯誤？訂正錯題時不僅要寫出正確的解題過程，同時要反思錯因及解題中自己的感受和啟發，并注明.

反思能力的培養不是一朝一夕可以完成的.在數學教學中蘊藏著很多讓學生進行反思的機會，只要教師善于捕捉挖掘，持之以恒地引導學生進行反思，一定能使學生由無意識的、被動的反思進入主動的、自覺的反思，從而使學生的反思能力得以提高.

（責任編輯 黃桂堅）

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，將③代入②，求得切點為A（1，2），B（25，95）.再由兩點式可得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法充分運用平面幾何性質，減少了運算層次，簡化了解題過程.是否仍有改進之處？

方法三：設切點坐標為（x，y），由方法二知，切點坐標滿足方程①和②，則也滿足③，這說明方程③即為過切點A，B的直線方程.

此法避免了求切點的過程，過程更簡捷，值得關注.通過上述不同角度的探討，學生開闊了視野，使學生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發展，這有利于提高學生靈活解題的能力.

（2）指導學生反思錯誤答案

【例6】 過點（1，2）總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實數k的取值范圍是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k<-3或k>2D.都不對

錯解：C；正解：D.

反思：當二元二次方程中含參數時首先必須對參數予以關注.關鍵語句：“過點（1，2）總可作圓的切線”意味著點（1，2）恒在圓上或圓外.這樣對錯解的“錯”就釋然了.

4.立意的反思

通過完成解題，可否對題目進行全方位審視？題目立意的目的是什么？它是否具有現實性或普遍性？比如對下列的演變可否作為對題目立意的反思的詮釋？

【例7】 點P在橢圓2x2+y2=1上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離|AP|的最大值.

變式1：將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值.（變結論）

變式2：將橢圓改為雙曲線x2-y2=1，結論改為求|AP|的最小值.（條件、結論均變）

變式3：已知點P在橢圓2x2+y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（變條件，且具一般性）

變式4：動點Q在圓x2+y2-4y+3=0上運動，動點P在橢圓2x2+y2=1上運動，求|PQ|的最大值.（將點A以隱藏的方式給出）

（將圓方程化為x2+（y-2）2=1，則圓心A（0，2），問題就轉化為原題了.）

變式5：設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且離心率e=12，點P在橢圓上運動，若定點A（0，2）到動點P的距離的最大值是45，求橢圓方程.并求|AP|取最大值時，點P的坐標.

（三）作業（或試卷）評講教學的反思活動

作業（或試卷）評講的結束，并非以題目評講的終結為標志，應利用這一契機，引導學生從以下幾方面進行反思.

（1）學生應依據教師提出的教學目標，結合自己實際達成的目標進行反思.這是測試后的反思的前提條件.

（2）學會正視自己.特別要正視自己在學習上存在的問題，全面分析自己的現狀與自定目標之間的差距.這是一種科學的學習態度，是進行測試后的反思的思想基礎.

（3）對每一次測試，首先是反思失分多寡之原因.計算自己在試卷中有哪些是不應有的失分.如，筆誤、計算錯誤、看錯題目、當時的遺忘等.其次是分類分析.高中數學考卷的題型一般分為①填空題、②選擇題、③解答題三類.對于填空選擇題，如有失誤往往是源于對基本概念理解上的偏差.學生要做的是在反思時，細讀概念、定理以及相關的變式與圖形，理解老師總結出的常見結論.解答題中綜合題、探究題是讓學生感到頭痛的題型，反思的重點就是設法掌握解決此類問題的步驟：①掃清障礙，先做好簡單的問題并得出一些有用的結論；②定性分析與定量分析相結合；③反思各類答題的經驗和技巧.

（4）學生在平常的學習、練習中是否做了筆記修正錯誤？訂正錯題時不僅要寫出正確的解題過程，同時要反思錯因及解題中自己的感受和啟發，并注明.

反思能力的培養不是一朝一夕可以完成的.在數學教學中蘊藏著很多讓學生進行反思的機會，只要教師善于捕捉挖掘，持之以恒地引導學生進行反思，一定能使學生由無意識的、被動的反思進入主動的、自覺的反思，從而使學生的反思能力得以提高.

（責任編輯 黃桂堅）