數學教學中培養學生發散思維的嘗試

黃雄海

心理學告訴我們，初中生具有一定的感知水平，在此階段學生的具體形象思維開始向抽象思維過渡，邏輯思維開始形成，正處于智力開發的黃金時期.初中生都有遠大的理想，積極向上的進取精神，他們愛動腦、動手、愛鉆研、愛思考和探索，愿意求新立異，這都為我們培養初中生的發散思維能力提供了條件.數學是培養學生邏輯思維和創造力的一門重要學科，在數學教學中，教師應該著重培養學生的發散思維能力.

所謂發散思維，是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息，從不同角度、不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式.它的主要特征是：變通性、多向性、獨特性.事實上，在創造性思維活動中，發散思維起著主導作用，是創造性思維的核心和基礎.數學教學其實是數學思維活動的教學.學習數學有利于拓展思維，培養其創造性思維品質.其實數學家創造能力的大小是與他本身的發散思維能力成正比的，即是說，科學家的創造能力可用公式估計：創造能力=知識×發散思維能力.而加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節.

因此，在課堂教學中，教師越來越重視對學生進行發散思維的培養.在近幾年的數學教學中，我做了如下幾點嘗試.

一、重視雙基教學，加強基礎知識的理解

培養學生的發散思維能力，首先要提高思維的變通性，而思維的變通性是以占有知識的程度為基礎的.其實，理解概念的過程也是思維過程，學生參與這個過程，才能加深對概念的理解，形成正確的概念，而正確的概念一旦形成，就容易發生知識遷移，從而培養學生的思維能力.因此，在教學中，教師要注意概念教學，加強學生對概念的理解，引導學生找出概念的特征，揭示出概念的本質.

如二次根式教學過程中，要學生思考“a”表示什么意義，學生回答：表示非負數a的算術平方根；然后再問：3-x中的x的取值范圍如何？便可得出正確答案x≤3.在一次初二數學競賽時，我出了一題：

求值：2x-35+3-2x3-（1-x）2.

由于學生對二次根式概念理解得較為透徹，本題得分率達95%.學生能根據被開方數的取值范圍得到x=32，從而得出代數式的值是-12.

通過加強基礎知識的教學，學生牢固地掌握了數學的基本概念、定理、公式、法則和數學的基本思想方法，這就為培養學生的發散思維能力打下了良好的基礎.

二、學習中討論，討論中學習

一切思維活動都是由問題開始的.培養學生的發散思維能力，就要鼓勵學生發現問題，大膽懷疑.古人云：“學貴知疑，小疑則小進，大疑則大進.疑者，覺悟之機也.”學生的學習過程應當是不斷地“生疑—質疑—解疑—再生疑—再質疑—再解疑”的過程，通過不斷地質疑、解疑來認識真理、豐富知識、提高能力.

由于初中生思維的批判性日益增長，他們喜爭辯、喜追問，好打破沙鍋問到底.在教學中采用自學引導教學法鼓勵學生質疑問難，適當地組織討論，正好順應了他們這一心理特征.在初三的復習課上，我寫了“1=？”，學生討論開了，情況有：①兩個數互為倒數，它們的乘積等于1；②|-1|=1；③30=1；④|a|a=1（a>0）；⑤tan45°=1；⑥-1的相反數是1；⑦必然事件的概率是1……結論層出不窮.這樣的討論不但培養了學生的發散思維能力，還可使學生了解到書上沒有的知識.

三、激勵學生大膽探索，引導學生多向思考

在分析和解決問題的過程中，學生能別出心裁地提出新異的想法和解法，這是思維獨創性的表現.教師應滿腔熱情地鼓勵他們別出心裁地思考問題，敢于質疑問題，大膽地提出與眾不同的意見，獨辟蹊徑地解決問題，這樣才能使學生的思維從求異、發散向創新推進.事實上，獨創往往蘊含于求異與發散之中，經常誘導學生進行發散思維，才有可能出現超出常規的獨創；反之，獨創性又豐富了發散思維.教學中我引導學生進行多向思考，鼓勵學生對任何問題都不要滿足于現成的或固定的答案，而要從多方面、多角度去思考問題，以探求更巧妙的解題方法.我特意設計一些問題，如判斷題、多項選擇題、一題多解等，讓學生討論交流，通過這種討論或爭論，使學生養成獨立思考和知難而進的習慣，提高學生的創造力.如有一道填空題：48×﹙72+1﹚×﹙74+1﹚×…×﹙72n+1﹚= .題目出示后，學生大膽探索，通過觀察看出48=72-1，從而用平方差公式解得答案是74n-1.

又如：如右圖所示，兩個全等直角三角形△ABC和

△DEF，如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中陰影部

分面積為 cm2.如果學生用常規的方法求解，很難求出答

案，學生通過觀察圖形，探討交流后，利用等積變形，知道原來陰影部分面積等于直角梯形ABEH的面積，為26cm2.

四、引導學生想象，培養其發散思維

德國著名哲學家黑格爾說過：“創造性思維需要有豐富的想象.”在教學中，我為學生不斷創造思考的機會，讓學生有自由思考的余地，使他們大膽想象，靈活變通.一位教師在課堂上給學生出了一道有趣的題目“磚都有哪些用處”，要求學生盡可能地想得多一些，想得遠一些.有的學生想到了磚可以造房子、壘雞舍、修長城；有的學生想到古代人們把磚砌成建筑上的工藝品.有一位學生的回答很有意思，他說磚可以用來打壞人.從發散思維的角度來看，這位學生的回答應該得高分，因為他把磚和武器聯系在一起了.

在尋求“唯一的正確答案”的影響下，學生往往是受教育越多，思維越單一，想象力也越有限.這就要求教師充分挖掘教材的潛在因素，在課堂上啟發學生，展開豐富合理的想象，對作品進行再創造.為他們提供一個能充分發揮想象力的空間與契機，讓他們也有機會“異想天開”，心馳神往.要知道，奇思妙想是產生創造力的不竭源泉.

如：如右圖，點D、C、G在同一直線上，在同側分別作正方形ABCD和正方形CEFG，連接BD、FD、BF，若正方形ABCD的面積為a2，正方形CEFG的面積為b2，求△BDF的面積.

由正方形的面積公式可以知道，兩個正方形的邊長分別為a和b，

這樣，從而得到結論：S△BDF=S△ABD=S△BDC=12S正方形ABCD

，根據這個結論，顯然可知△BDF的面積與點E位置無關，即△BDF的面積是一個定值，并且等于正方形ABCD面積的一半.

以上是培養學生發散思維方面的幾點嘗試.在教學中，教師不論采取什么方法，都要給予引導，挖掘探索素材，讓學生在教師創設的情境中引發思考；訓練學生的發散思維，達到培養其創造性思維的目的，進而提高學生的創造能力.

（責任編輯 黃桂堅）

心理學告訴我們，初中生具有一定的感知水平，在此階段學生的具體形象思維開始向抽象思維過渡，邏輯思維開始形成，正處于智力開發的黃金時期.初中生都有遠大的理想，積極向上的進取精神，他們愛動腦、動手、愛鉆研、愛思考和探索，愿意求新立異，這都為我們培養初中生的發散思維能力提供了條件.數學是培養學生邏輯思維和創造力的一門重要學科，在數學教學中，教師應該著重培養學生的發散思維能力.

所謂發散思維，是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息，從不同角度、不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式.它的主要特征是：變通性、多向性、獨特性.事實上，在創造性思維活動中，發散思維起著主導作用，是創造性思維的核心和基礎.數學教學其實是數學思維活動的教學.學習數學有利于拓展思維，培養其創造性思維品質.其實數學家創造能力的大小是與他本身的發散思維能力成正比的，即是說，科學家的創造能力可用公式估計：創造能力=知識×發散思維能力.而加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節.

因此，在課堂教學中，教師越來越重視對學生進行發散思維的培養.在近幾年的數學教學中，我做了如下幾點嘗試.

一、重視雙基教學，加強基礎知識的理解

培養學生的發散思維能力，首先要提高思維的變通性，而思維的變通性是以占有知識的程度為基礎的.其實，理解概念的過程也是思維過程，學生參與這個過程，才能加深對概念的理解，形成正確的概念，而正確的概念一旦形成，就容易發生知識遷移，從而培養學生的思維能力.因此，在教學中，教師要注意概念教學，加強學生對概念的理解，引導學生找出概念的特征，揭示出概念的本質.

如二次根式教學過程中，要學生思考“a”表示什么意義，學生回答：表示非負數a的算術平方根；然后再問：3-x中的x的取值范圍如何？便可得出正確答案x≤3.在一次初二數學競賽時，我出了一題：

求值：2x-35+3-2x3-（1-x）2.

由于學生對二次根式概念理解得較為透徹，本題得分率達95%.學生能根據被開方數的取值范圍得到x=32，從而得出代數式的值是-12.

通過加強基礎知識的教學，學生牢固地掌握了數學的基本概念、定理、公式、法則和數學的基本思想方法，這就為培養學生的發散思維能力打下了良好的基礎.

二、學習中討論，討論中學習

一切思維活動都是由問題開始的.培養學生的發散思維能力，就要鼓勵學生發現問題，大膽懷疑.古人云：“學貴知疑，小疑則小進，大疑則大進.疑者，覺悟之機也.”學生的學習過程應當是不斷地“生疑—質疑—解疑—再生疑—再質疑—再解疑”的過程，通過不斷地質疑、解疑來認識真理、豐富知識、提高能力.

由于初中生思維的批判性日益增長，他們喜爭辯、喜追問，好打破沙鍋問到底.在教學中采用自學引導教學法鼓勵學生質疑問難，適當地組織討論，正好順應了他們這一心理特征.在初三的復習課上，我寫了“1=？”，學生討論開了，情況有：①兩個數互為倒數，它們的乘積等于1；②|-1|=1；③30=1；④|a|a=1（a>0）；⑤tan45°=1；⑥-1的相反數是1；⑦必然事件的概率是1……結論層出不窮.這樣的討論不但培養了學生的發散思維能力，還可使學生了解到書上沒有的知識.

三、激勵學生大膽探索，引導學生多向思考

在分析和解決問題的過程中，學生能別出心裁地提出新異的想法和解法，這是思維獨創性的表現.教師應滿腔熱情地鼓勵他們別出心裁地思考問題，敢于質疑問題，大膽地提出與眾不同的意見，獨辟蹊徑地解決問題，這樣才能使學生的思維從求異、發散向創新推進.事實上，獨創往往蘊含于求異與發散之中，經常誘導學生進行發散思維，才有可能出現超出常規的獨創；反之，獨創性又豐富了發散思維.教學中我引導學生進行多向思考，鼓勵學生對任何問題都不要滿足于現成的或固定的答案，而要從多方面、多角度去思考問題，以探求更巧妙的解題方法.我特意設計一些問題，如判斷題、多項選擇題、一題多解等，讓學生討論交流，通過這種討論或爭論，使學生養成獨立思考和知難而進的習慣，提高學生的創造力.如有一道填空題：48×﹙72+1﹚×﹙74+1﹚×…×﹙72n+1﹚= .題目出示后，學生大膽探索，通過觀察看出48=72-1，從而用平方差公式解得答案是74n-1.

又如：如右圖所示，兩個全等直角三角形△ABC和

△DEF，如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中陰影部

分面積為 cm2.如果學生用常規的方法求解，很難求出答

案，學生通過觀察圖形，探討交流后，利用等積變形，知道原來陰影部分面積等于直角梯形ABEH的面積，為26cm2.

四、引導學生想象，培養其發散思維

德國著名哲學家黑格爾說過：“創造性思維需要有豐富的想象.”在教學中，我為學生不斷創造思考的機會，讓學生有自由思考的余地，使他們大膽想象，靈活變通.一位教師在課堂上給學生出了一道有趣的題目“磚都有哪些用處”，要求學生盡可能地想得多一些，想得遠一些.有的學生想到了磚可以造房子、壘雞舍、修長城；有的學生想到古代人們把磚砌成建筑上的工藝品.有一位學生的回答很有意思，他說磚可以用來打壞人.從發散思維的角度來看，這位學生的回答應該得高分，因為他把磚和武器聯系在一起了.

在尋求“唯一的正確答案”的影響下，學生往往是受教育越多，思維越單一，想象力也越有限.這就要求教師充分挖掘教材的潛在因素，在課堂上啟發學生，展開豐富合理的想象，對作品進行再創造.為他們提供一個能充分發揮想象力的空間與契機，讓他們也有機會“異想天開”，心馳神往.要知道，奇思妙想是產生創造力的不竭源泉.

如：如右圖，點D、C、G在同一直線上，在同側分別作正方形ABCD和正方形CEFG，連接BD、FD、BF，若正方形ABCD的面積為a2，正方形CEFG的面積為b2，求△BDF的面積.

由正方形的面積公式可以知道，兩個正方形的邊長分別為a和b，

這樣，從而得到結論：S△BDF=S△ABD=S△BDC=12S正方形ABCD

，根據這個結論，顯然可知△BDF的面積與點E位置無關，即△BDF的面積是一個定值，并且等于正方形ABCD面積的一半.

以上是培養學生發散思維方面的幾點嘗試.在教學中，教師不論采取什么方法，都要給予引導，挖掘探索素材，讓學生在教師創設的情境中引發思考；訓練學生的發散思維，達到培養其創造性思維的目的，進而提高學生的創造能力.

（責任編輯 黃桂堅）

心理學告訴我們，初中生具有一定的感知水平，在此階段學生的具體形象思維開始向抽象思維過渡，邏輯思維開始形成，正處于智力開發的黃金時期.初中生都有遠大的理想，積極向上的進取精神，他們愛動腦、動手、愛鉆研、愛思考和探索，愿意求新立異，這都為我們培養初中生的發散思維能力提供了條件.數學是培養學生邏輯思維和創造力的一門重要學科，在數學教學中，教師應該著重培養學生的發散思維能力.

所謂發散思維，是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息，從不同角度、不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式.它的主要特征是：變通性、多向性、獨特性.事實上，在創造性思維活動中，發散思維起著主導作用，是創造性思維的核心和基礎.數學教學其實是數學思維活動的教學.學習數學有利于拓展思維，培養其創造性思維品質.其實數學家創造能力的大小是與他本身的發散思維能力成正比的，即是說，科學家的創造能力可用公式估計：創造能力=知識×發散思維能力.而加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節.

因此，在課堂教學中，教師越來越重視對學生進行發散思維的培養.在近幾年的數學教學中，我做了如下幾點嘗試.

一、重視雙基教學，加強基礎知識的理解

培養學生的發散思維能力，首先要提高思維的變通性，而思維的變通性是以占有知識的程度為基礎的.其實，理解概念的過程也是思維過程，學生參與這個過程，才能加深對概念的理解，形成正確的概念，而正確的概念一旦形成，就容易發生知識遷移，從而培養學生的思維能力.因此，在教學中，教師要注意概念教學，加強學生對概念的理解，引導學生找出概念的特征，揭示出概念的本質.

如二次根式教學過程中，要學生思考“a”表示什么意義，學生回答：表示非負數a的算術平方根；然后再問：3-x中的x的取值范圍如何？便可得出正確答案x≤3.在一次初二數學競賽時，我出了一題：

求值：2x-35+3-2x3-（1-x）2.

由于學生對二次根式概念理解得較為透徹，本題得分率達95%.學生能根據被開方數的取值范圍得到x=32，從而得出代數式的值是-12.

通過加強基礎知識的教學，學生牢固地掌握了數學的基本概念、定理、公式、法則和數學的基本思想方法，這就為培養學生的發散思維能力打下了良好的基礎.

二、學習中討論，討論中學習

一切思維活動都是由問題開始的.培養學生的發散思維能力，就要鼓勵學生發現問題，大膽懷疑.古人云：“學貴知疑，小疑則小進，大疑則大進.疑者，覺悟之機也.”學生的學習過程應當是不斷地“生疑—質疑—解疑—再生疑—再質疑—再解疑”的過程，通過不斷地質疑、解疑來認識真理、豐富知識、提高能力.

由于初中生思維的批判性日益增長，他們喜爭辯、喜追問，好打破沙鍋問到底.在教學中采用自學引導教學法鼓勵學生質疑問難，適當地組織討論，正好順應了他們這一心理特征.在初三的復習課上，我寫了“1=？”，學生討論開了，情況有：①兩個數互為倒數，它們的乘積等于1；②|-1|=1；③30=1；④|a|a=1（a>0）；⑤tan45°=1；⑥-1的相反數是1；⑦必然事件的概率是1……結論層出不窮.這樣的討論不但培養了學生的發散思維能力，還可使學生了解到書上沒有的知識.

三、激勵學生大膽探索，引導學生多向思考

在分析和解決問題的過程中，學生能別出心裁地提出新異的想法和解法，這是思維獨創性的表現.教師應滿腔熱情地鼓勵他們別出心裁地思考問題，敢于質疑問題，大膽地提出與眾不同的意見，獨辟蹊徑地解決問題，這樣才能使學生的思維從求異、發散向創新推進.事實上，獨創往往蘊含于求異與發散之中，經常誘導學生進行發散思維，才有可能出現超出常規的獨創；反之，獨創性又豐富了發散思維.教學中我引導學生進行多向思考，鼓勵學生對任何問題都不要滿足于現成的或固定的答案，而要從多方面、多角度去思考問題，以探求更巧妙的解題方法.我特意設計一些問題，如判斷題、多項選擇題、一題多解等，讓學生討論交流，通過這種討論或爭論，使學生養成獨立思考和知難而進的習慣，提高學生的創造力.如有一道填空題：48×﹙72+1﹚×﹙74+1﹚×…×﹙72n+1﹚= .題目出示后，學生大膽探索，通過觀察看出48=72-1，從而用平方差公式解得答案是74n-1.

又如：如右圖所示，兩個全等直角三角形△ABC和

△DEF，如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中陰影部

分面積為 cm2.如果學生用常規的方法求解，很難求出答

案，學生通過觀察圖形，探討交流后，利用等積變形，知道原來陰影部分面積等于直角梯形ABEH的面積，為26cm2.

四、引導學生想象，培養其發散思維

德國著名哲學家黑格爾說過：“創造性思維需要有豐富的想象.”在教學中，我為學生不斷創造思考的機會，讓學生有自由思考的余地，使他們大膽想象，靈活變通.一位教師在課堂上給學生出了一道有趣的題目“磚都有哪些用處”，要求學生盡可能地想得多一些，想得遠一些.有的學生想到了磚可以造房子、壘雞舍、修長城；有的學生想到古代人們把磚砌成建筑上的工藝品.有一位學生的回答很有意思，他說磚可以用來打壞人.從發散思維的角度來看，這位學生的回答應該得高分，因為他把磚和武器聯系在一起了.

在尋求“唯一的正確答案”的影響下，學生往往是受教育越多，思維越單一，想象力也越有限.這就要求教師充分挖掘教材的潛在因素，在課堂上啟發學生，展開豐富合理的想象，對作品進行再創造.為他們提供一個能充分發揮想象力的空間與契機，讓他們也有機會“異想天開”，心馳神往.要知道，奇思妙想是產生創造力的不竭源泉.

如：如右圖，點D、C、G在同一直線上，在同側分別作正方形ABCD和正方形CEFG，連接BD、FD、BF，若正方形ABCD的面積為a2，正方形CEFG的面積為b2，求△BDF的面積.

由正方形的面積公式可以知道，兩個正方形的邊長分別為a和b，

這樣，從而得到結論：S△BDF=S△ABD=S△BDC=12S正方形ABCD

，根據這個結論，顯然可知△BDF的面積與點E位置無關，即△BDF的面積是一個定值，并且等于正方形ABCD面積的一半.

以上是培養學生發散思維方面的幾點嘗試.在教學中，教師不論采取什么方法，都要給予引導，挖掘探索素材，讓學生在教師創設的情境中引發思考；訓練學生的發散思維，達到培養其創造性思維的目的，進而提高學生的創造能力.

（責任編輯 黃桂堅）