廣義Calderón-Zygmund算子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)生成交換子的端點(diǎn)有界性

孫 杰

(牡丹江師范學(xué)院 理學(xué)院，黑龍江 牡丹江 157011)

廣義Calderón-Zygmund算子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)生成交換子的端點(diǎn)有界性

孫 杰

(牡丹江師范學(xué)院 理學(xué)院，黑龍江 牡丹江 157011)

主要研究了廣義Calderón-Zygmund算子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)生成的交換子是從Ln/β(ω)到BMO(ω)有界的.

廣義Calderón-Zygmund算子；加權(quán)Lipschitz空間；加權(quán)BMO空間；交換子；權(quán)函數(shù)

1 引言與結(jié)果

文[1]引入了如下的廣義Calderón-Zygmund算子.

定義1[1]用F(Rn)表示Rn(n≥2)上所有Schwartz函數(shù)構(gòu)成的空間.F′(Rn)是它的對偶空間.設(shè)T：F(Rn)→F′(Rn)是核為K(·，·)的線性算子定義為

稱算子T是一個廣義Calderón-Zygmund算子，如果它滿足如下性質(zhì)：

(1)T是可以延拓為L2(Rn)上的有界算子；

(2)K在除對角線{(x,y)∈Rn：x=y}外光滑且滿足

(1)

這里C>0是不依賴于y和z的常數(shù)；

(3)存在一列非負(fù)的常數(shù){μj}，使得?j∈N

(2)

(3)

不難看出定義1中的廣義Calderón-Zygmund算子為通常的Calderón-Zygmund算子的推廣[2].文獻(xiàn)[1]和[3]研究了廣義Calderón-Zygmund算子在加權(quán)Lp(Rn)空間以及加權(quán)Hardy空間上的有界性.

把廣義Calderón-Zygmund算子T與函數(shù)b生成的交換子定義為

[b,T]f(x)=b(x)T(f)(x)-T(bf)(x).

2007年，Hu和Gu在文[4]中研究了具有標(biāo)準(zhǔn)核的奇異積分算子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)生成的交換子是從Lp(μ)到Lq(μ1-q)有界的.2009年，文[5]研究了當(dāng)1

本文將研究廣義Calderón-Zygmund算子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)生成的交換子在端點(diǎn)p=n/β時的加權(quán)有界性.為敘述本文的結(jié)果，首先回憶幾個定義和引理.

定義A∞=∪p≥1Ap.把滿足上面不等式的最小常數(shù)C稱為ω的Ap權(quán)常數(shù)，記為[ω]Ap.

定義3[9]設(shè)ω∈A∞，我們稱一個局部可積函數(shù)b(x)屬于加權(quán)BMO(ω)類，如果對于任意球體B，存在常數(shù)C>0，使得

滿足上式最小的C記為‖b‖*ω.

定義4[10]設(shè)ω∈Ap(1≤p<∞)，如果存在ε>1和一個固定常數(shù)C>0，對于任意球體B?Rn有

則稱ω滿足反向H?lder不等式，記為ω(x)∈RHε.

‖[b,T]f‖*ω≤C‖b‖Lipβ,ω‖f‖Ln/β(ω).

2 預(yù)備知識及引理

證明一方面，取λ=fB，有

另一方面，

對λ取下確界，然后對B取上確界，有

引理2[11]設(shè)ω∈A1，則對于球B的任何可測子集E，存在常數(shù)C1，C2>0和0<δ<1，使得

成立.如果ω(x)是常值函數(shù)，則δ=1，如果ω(x)不是常值函數(shù)，則0<δ<1.

引理3[1]設(shè)T是定義1中的廣義Calderón-Zygmund算子，如果{μj}∈l1，且ω(x)∈A1∩RHγ′，則

由定義4，利用H?lder不等式可得如下引理.

引理4當(dāng)1

3 定理的證明

定理1的證明由引理1，只須證明對于任何球體B?Rn，總存在常數(shù)λ，使得

其中C>0是與f,b,B,λ,ω?zé)o關(guān)的常數(shù).設(shè)B=B(x0,R)是Rn中任意給定的球體.對于f∈Ln/β(ω)，令f1(x)=fχ8B(x),f2(x)=fχ(8B)C(x),，則f(x)=f1(x)+f2(x),于是

=I+J.

對于J，取λ=(T((b-b8B)f2))B，

下面分別估計(jì)J1和J2，對于J1，由于n≥2，0<β<1，有n/β>2，使用H?lder不等式，引理3及引理5，有

下面估計(jì)J2，對于任意的x,y∈B，設(shè)Bj={z∈Rn:|x-z|<2j+1|y-x|}，于是BjBj-1={z∈Rn:2j|y-x|≤|x-z|<2j+1|y-x|}，應(yīng)用H?lder不等式，有

對于K1，使用式(3)對核進(jìn)行估計(jì)，對于1<γ′

綜上所述定理得證.

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WeightedEndpointEstimateforCommutatorofGeneralizedCalderón-ZygmundOperator

Sun Jie

(College of Science, Mudanjiang Normal University, Mudanjiang 157011, China)

In this paper we studied the commutator generated by weighted Lipschitz function and generalized Calderón-Zygmund operator was bounded fromLn/β(ω)to BMO(ω).

generalized Calderón-Zygmund operators; weighted Lipschitz space; weighted BMO space; commutator; weighted function

2013-10-14

牡丹江師范學(xué)院省級重點(diǎn)創(chuàng)新預(yù)研項(xiàng)目(SY201325)；黑龍江省科技廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12531720).

孫杰(1980-)，女，黑龍江牡丹江市人，講師，博士在讀，研究方向：調(diào)和分析及小波.

孫杰.廣義Calderón-Zygmund算子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)生成交換子的端點(diǎn)有界性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，37(4)：325-329.

O174.2

A

1001-2443(2014)04-0325-05