例談初中數學中平均變化率問題的解法

李全學

摘 要：平均變化率問題在現實世界中有許多原型，也是初中數學一元二次方程應用中的重要內容之一，例如經濟增長率，人口增長率，成本下降率等，為了進一步掌握這類問題的解決方法，結合具體例子談談其解法。

關鍵詞：初中數學；平均變化率；問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）15-089-01

一元二次方程是初中數學中的重要知識，利用一元二次方程解決實際問題是這一部分中的重點，也是難點。其中增長率（或下降率）問題是主要題型之一。為了學生正確掌握該類問題中所涉及的數量關系公式的運用，以及通過兩次增長（或下降），且增長（或下降）率相等的問題中找準等量關系，從而對此類問題的解決過程有更為深刻的理解，特舉幾例加以說明。

一、正確掌握增長率問題所涉及的公式和基本數量關系，為解決問題打好基礎

1、增長率問題所涉及的公式：增長數=增長前的數×增長率；增長后的數=增長前的數+增長數；

2、兩次增長，且增長率相等的問題的基本等量關系式為：

增長前的量×（1+增長率）增長期數= 增長后的量；如增長前的量為a，平均增長率為x，經過連續兩次增長后的量為b，則a（1+x）2=b

例1、青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200千克，2003年平均每公頃產8712千克，求水稻每公頃產量的年平均增長率。

分析：增長前的量為7200千克，經過連續兩年增長后的量為8712千克，則可套用公式a（1+x）2 = b

解：設水稻每公頃產量的年平均增長率是x，則

7200（1+x） 2= 8712

解之得 x1=0.1，x2=-2.1（不符合題意舍去）.

答：水稻每公頃產量的年平均增長率是10%.

二、下降率的問題，與增長率問題類似

若下降前的量為a， 平均下降率為x，經過連續兩次降低后的量為b，則a（1―x） 2=b

例2、某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元.已知兩次降價的百分率相同，求兩次降價的百分率.

解：設每次降價的百分率為x，根據題意得：

100（1-x） 2=81

解得：x1=0.1，x2=1.9 .

經檢驗x2=1.9不符合題意，∴x1=0.1=10% .

答：每次降價百分率為10%.

三、增長（或下降）前的數量不直接給出，而是間接給出時，先要明確增長（或下降）前的量是多少，再分別表示第一次增長（或下降）后的數量和第二次增長（或下降）后的數量

例3、某商廈二月份的銷售額為100萬元，三月份銷售額下降了20%.商廈從四月份起改進經營措施，銷售額穩步上升，五月份銷售額達到135.2萬元，試求四、五兩個月的平均增長率。

分析：先算出三月份的銷售額為100（1-20%）萬元.設四、五兩個月的平均增長率為x，則四月份銷售額為100（1-20%）（1+x）萬元，五月份的銷售額為100（1-20%（1 +x）（1+x）100（1-20%）（1+x） 2 萬元 ，于是可列出方程100（1-20%）（1+x） 2 =135.2.

解：設四、五兩個月的平均增長率為x，由題意得方程

100（1-20%）（1+x）2=135.2

整理，得：（1+x） 2=1.69

即1+x=±1.3

故x1=0.3，x2=-2.3 .

因為x2=-2.3不符合實際，舍去，所以x=0.3=30%.

答：四、五兩個月的平均增長率為30%.

四、分清基礎量和連續幾次增長（或下降）后所給數量之間的關系，弄清關鍵詞語的含義，正確把握題目中蘊含的等量關系

例4、某印刷廠1月份印刷書籍40萬冊，第一季度共印刷190萬冊，則2月份和3月份平均每月的增長率是多少？

分析：若設平均每月的增長率為x，一月份印刷40萬冊，則二月份印刷40（1+x）萬冊，三月份印刷40（1+x） 2萬冊，根據“第一季度印刷總冊數190萬冊”可列方程.。此題中要特別注意190萬冊是一季度印刷的總冊數，而不是三月份的冊數。

解：設平均增長率為x.根據題意列方程

40+40（1+x）+40（1+x） 2=190，

整理得：4x2+12x-7=0

解得：x1=0.5=50 % ， x2=-3.5（舍去）.

答：平均每月的增長率為50%

從以上幾個例子的解決過程可以看出， 掌握此類問題中的等量關系的確定方法是：在存在基礎量a的前提下，若連續增長（或降低）n次，且平均增長（或下降）率為x，則增長（或下降）后的數量用a（1±x） n （要注意1與x的位置不要調換）表示，我們可以把它作為一個固定的公式來理解。另外，求得結果后還要注意解的合理性，正確取舍。總之，增長率問題與我們生活密切相關，在解決增長率問題時，要熟練掌握所涉及的幾個量之間的關系，弄清關鍵詞語的含義以及有關數量之間的相互關系，正確把握題目中的相等關系，且對變化量和變化率兩者兼顧，使問題得以順利解決。