樁筏基礎與地基共同作用的半解析半數值分析法

朱李春，陳水勝，馮震華，呂國敏，蘇天鳳，雷澤臨

(中國水產科學研究院 南海水產研究所，農業部南海漁業資源環境科學觀測實驗站，廣州 510300)

樁筏基礎與地基共同作用的半解析半數值分析法

朱李春，陳水勝，馮震華，呂國敏，蘇天鳳，雷澤臨

(中國水產科學研究院 南海水產研究所，農業部南海漁業資源環境科學觀測實驗站，廣州 510300)

將群樁筏板基礎離散成樁和彈性板，樁筏基礎與地基的共同作用轉化為樁、彈性板與地基之間的力與位移協調分析。對不同的地基模型求解相應的地基柔度系數，同時將樁作為彈性桿件求解其柔度系數，并將筏板視為地基上的四邊自由矩形板，求出其在地基反力、樁頂反力和外荷載以及簡支邊廣義位移共同作用下的位移，最后通過力和位移協調建立樁、筏、地基之間的共同作用方程并求解。算例對比表明半解析半數值方法具有較好的精度，能滿足實際工程計算需要。

樁筏基礎；共同作用；半解析半數值法

地基基礎共同作用計算目前采用的方法主要是數值方法和解析方法，數值方法一般是采用有限單元法，而解析方法主要包括邊界元法和半解析方法?？紤]到地基的半無限性，有限單元法[1]在計算時單元多，計算時間長，難于模擬無限域，難以在實際工程計算采用，半解析半數值法[2]和邊界元法[3]由于直接采用地基的解析解，因此地基無需作大量網格劃分，容易滿足計算要求。

地基上筏板計算主要有兩種考慮方法，一種是將筏板視為剛性板，另一種是將筏板作為地基上的彈性板板，樁的計算也主要有兩種不同的處理方式，一種是將樁視為彈性桿件，按壓桿計算，另一種是將樁分為若干個單元段，根據樁土之間側摩阻力的分布規律[4]采取不同的計算模型。倪光樂等[5-6]基于地基上的四邊彈性自由板給出了解析解答，在此基礎上，蔡健等[7]給出了加勒板與地基共同作用的分析，何春保等[8]曾對有埋深情況下的地基基礎共同作用進行了分析對比。這些半解析方法在共同作用計算中都得到了較好的效果。在此基礎上，利用板的彈性理論解，以及樁、筏、土之間的相互協調，采用半數值半解析分析方法，來建立考慮筏板實際彈性剛度的樁筏基礎共同作用分析方法。并通過實例計算對比來驗證本文方法的實用性。

1 共同作用網格劃分

如圖1所示，地基上的筏板長寬尺寸為a×b，共劃分為nn個網格單元(nn=ni×nj)，ni、nj為基礎在x,y兩個方向劃分的網格數，i=1,2…ni，j=1,2…nj。

對于有樁的位置，將其看作樁單元，并視樁為彈性桿件，編號為1、2、iz、、nz，如圖2所示。這樣樁筏基礎與地基的共同作用可以轉化為筏板、樁、土之間的力與位移協調分析。

圖1 筏板基礎網格劃分

圖2 群樁系統

2 地基柔度系數

為了計算地基的變形，需要根據不同的地基模型計算相應的地基柔度系數，目前彈性地基模型主要包括文克爾地基模型和彈性半空間地基模型(Boussinesq解和Mindlin解)，相應的地基柔度系數si，j計算如下。

1)文克爾地基模型

2)彈性半空間模型Boussinesq解

集中荷載的Boussinesq位移解為[5]

在i點作用單位力，在j點產生的沉降可以通過積分得到

其中μ為土的泊松比。

3)彈性半空間模型Mindlin解

由于Boussinesq解適用于荷載作用于地表的情況，對于有埋深的基礎，豎向集中力作用于半空間內部一點(0,0,+c)時，在半空間任意點(x,y,z)處產生的沉降為(如圖3)。

對于均布荷載作用于埋深ζ的面積(ξ2-ξ1)×(η2-η1)上時，通過對式(2)積分，可以得到在點(x,y,0)處產生的沉降為

進一步對式(5)進行積分，可以得到在j網格作用單位力，在i點產生的地基沉降si，j為[8],

其中：

K1、K2為與力作用點和所求點相關的函數，可表示為，

3 樁的柔度系數

樁的沉降計算方法很多，主要跟樁土之間的接觸模型有關，不同的接觸模型會得到不同的沉降計算表達式，由于樁筏基礎中筏板的內力和變形是設計較為關注的，而對于樁，一般主要關注樁頂壓力和樁的沉降，采用不同的樁土接觸計算模型得到的樁頂壓力和沉降計算結果往往差別不大。為了計算簡便，樁頂沉降按以下3部分計算[9]：

其中：Sc、Sr、Ss分別為樁身混凝土的壓縮、樁底巖石的變形和沉渣的壓縮。分別按下式計算。

其中：R為樁頂壓力；Rf為樁周的摩擦力，可按相關規范取值計算得到；Rb為樁底壓力；A為樁身(樁底)截面積；l為樁長；db為樁身直徑；Ec、Er、Es分別為混凝土、樁底巖石和沉渣的變形模量；ω為形狀系數；hs為沉渣厚度。對于無沉渣的情況,Sc=0，對于支承于硬質巖石上的樁基Sr=0。

以下為了計算方便，對于第iz條樁，相應的以上各量用下標iz表示，如Riz、Siz分別為第iz條樁的樁頂反力和沉降。

4 彈性矩形板理論解

筏板可以視為四周自由板，其在荷載作用下的位移解可以由文[10]的疊加方法得到，包括以下四部分。

1)在板內(ξ2-ξ1)×(η2-η1)面積上受到局部均布力q作用時四邊簡支矩形板的解為[5]

其中：

ξ、η、δξ、δη為X作用中心點坐標和長寬尺寸。

2)四邊簡支矩形板受地基反力作用時的位移解

第j網格單位地基反力X作用下板的位移為

其中

Ajm,n=

其中ξxj、ηxj、δξxj、δηxj為局部均布力q作用中心點坐標和長寬尺寸。

3)四邊簡支矩形板受樁頂反力作用時的位移解

第iz條樁單位樁頂反力Riz作用下板的位移為

其中

Azm,n=

其中ξziz、ηziz、δξziz、δηziz為樁反力R換算成矩形面積均布荷載后作用中心點坐標和長寬尺寸。

4)四條簡支邊分別發生廣義位移時的位移解為[11]

其中：

合并以上4部分解答得到板的總變形為

5 共同作用方程的建立

樁筏基礎系統離散成樁、筏板、地基后，其相互間的共同作用平衡方程包括以下4部分

1)基礎板與地基的位移協調

第i網格中心筏板的變形為

由接觸網格中心地基沉降與筏板變形相等得到地基與筏板的位移協調方程

2)基礎板與樁的位移協調

第iz條樁頂處樁的沉降為Siz

第iz條樁頂處筏板的變形為：

(Δ0+xiztanα0+yiztanβ0)-

由樁的沉降與筏板變形在接觸處相等得到樁與筏板的位移協調方程

(Δ0+xiztanα0+yiztanβ0)-

3)基礎板靜力平衡方程

x方向彎矩平衡：

y方向彎矩平衡：

式中：xi,yi為筏板網格中心坐標；xiz,yiz為樁中心坐標；Δ0,α0,β0分別為基礎板的角點剛體位移以及兩個方向繞角點的轉角；∑FZ，∑Mx，∑My為基礎板面所受的外力及兩個方向的彎矩；

4)基礎板四邊自由邊界條件方程

地基上的四邊自由板必須滿足四邊剪力為零，按照剪力計算公式有

Vx(x,y)=

地基上的四邊自由板由于板面荷載、地基反力、樁頂反力以及板邊廣義位移等3種情況下而產生的板邊剪力分別如下。

1)板面荷載q作用下在y=0、y=b、x=0、x=a邊產生的剪力為

2)地基反力X作用下在y=0、y=b、x=0、x=a邊產生的剪力為

3)第iz根樁的樁頂反力Riz作用下在y=0、y=b、x=0、x=a邊產生的剪力為

4)由于板邊廣義位移而在y=0、y=b、x=0、x=a邊產生的剪力

筏板必須滿足四邊剪力為零的邊界條件，由以上板面荷載、地基反力、樁頂反力、板邊廣義位移作用下的剪力公式得到：

其中：

以上方程包含的未知量個數為筏板單元劃分數ninj,與地基反力未知數相對應。筏板板的剛體位移Δ0和兩個方向的轉角α0，β0與筏板的三個方向的力平衡方程相對應。筏板四周剪力為零的方程與其四邊的四個廣義位移系數λm、λm+N、λn+zN、λn+3N相對應。樁頂與筏板的平衡方程與nz個樁頂反力相對應。合并方程(13)～(18)、(19)，方程數和未知量個數相等，從而可以求解樁筏基礎與地基的共同作用(當筏板為剛性板時，wi,j=0，Δi,p=0)。

6 算例分析

30層的高層建筑[12]由2塊相互分離的樁筏基礎支承。每塊筏基的平面尺寸均為22 m×17.5 m，厚度為2.5 m。每塊獨立的筏基下有42根樁，樁徑D為900 mm。樁長20 m，總荷載為130 MN。計算采用的力學參數如下：

1)筏板：彈性模量ER=2.85×107kPa，泊松比μR=0.17；2)樁：樁長L=20 m，樁徑D=900 mm，彈性模量Ep=2.85×107KPa；3)地基：土的彈性模量按Sommer原文取值，考慮了土體的速度效應，ES=7(1+0.35z) MPa，其中z為深度，泊松比μS=0.50；4)C40混凝土：柱網6.15 m×6.28 m，柱截面0.55 m×0.55 m，上部計算荷載為21層。

樁筏基礎的平面布置與單元劃分等見圖4～圖7。將筏板劃分為195個單元，共有42個樁單元，153個土單元，共有12個樁荷載，分別作用于17#、21#、25#、29#、92#、96#、100#、104#、167#、171#、175#、179#筏板單元上。

圖4 基礎單元劃分

圖5 樁編號

圖6 樁編號

圖7 地基土層分布

Sommer采用彈塑性有限元法計算得到的結果和本文計算結果以及實測情況對比如表1所示。

表1 計算結果對比

樁荷載比=角樁荷載∶邊樁荷載∶中樁荷載

本文模型計算結果與實測結果相比，無論在平均沉降、土承載比例及樁荷載比方面均較接近，這反映本文計算方法的合理性。

本文對彈性板和剛性板平均沉降及地基土荷載承擔比例進行了計算，計算結果如圖8～9和表2～表3所示。

圖8 不同厚度基礎板的P-S曲線

圖9 地基土承載比例與荷載水平關系

表2 筏板沉降分布 mm

表3 樁頂反力 MN

比較計算結果可以看出，剛性板情況下計算結果與2.5m厚彈性板情況下計算結果相差不大，主要是由于2.5 m厚彈性板剛度已經很大。彈性板方法能較好的計算得到筏板的差異沉降。

7 結 論

基于地基的彈性半空間解和板、桿件的彈性理論，通過樁、筏、土之間的位移協調建立了樁、筏、地基土共同作用半解析半數值方法，工程實例表明本文方法具有較好的精度，克服了有限單元法在計算上難于模擬地基的半無限性以及計算速度較慢的缺點，可以用于樁-彈性板-地基的共同作用計算。

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(編輯 胡 玲)

InteractionBetweenPiles-RaftFoundationandGroundBasedonaSemi-AnalyticalandSemi-NumericalMethod

ZhuLichun，ChenShuisheng，FengZhenhua，LvGuomin，SuTianfeng，LeiZelin

(South China Sea Fisheries Research Institute, Chinese Academy of Fishery Sciences； Scientific Observing and Experimental Station of South China Sea Fishery Resources & Environments, Ministry of Agriculture， Guangzhou 510300, P.R.China)

Considering the piles-raft foundation as a composite system of piles and elastic plate, the interaction between piles-raft foundation and soil is translated into the compatible analysis of force and displacement among piles，elastic plate and ground. Based on different models of foundation subjected to centralized load，the settlement coefficient subjected to uniform load is obtained by means of integral, The flexibility coefficient of piles is calculated by considering the pile as elastic member, and with raft identified as four sides free rectangle plate on the ground, the displacement of raft suffering external loads, counter force of soil and generalized displacement on the boundary could be obtained. A semi-analytical and semi-numerical method， using compatible analysis of force and displacement between piles，elastic plate and ground，is developed to analyze the interaction between piles-raft and subsoil. Numerical analysis prove that the semi-analytical and semi-numerical method is provide an accurate and practical calculation tool to. and meet the needs of practical engineering.

piled raft foundation; interaction; semi-analytical and semi-numerical method

10.11835/j.issn.1674-4764.2014.05.017

2014-01-21

國家科技支撐計劃課題(2012BAD18B02、2012BAD18B01-2)；國家公益性行業(農業)科研專項(201003068)

朱李春(1987-)，男，主要從事巖土工程研究，(E-mail)zlcktt1987@126.com。 陳水勝(通信作者)，男，副研究員，(E-mail)chsslt8@163.com。

TU473

A

1674-4764(2014)05-0103-08