分類討論思想

張偉俊

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，俗稱“先化整為零，再各個擊破，最后積零為整”. 日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾將它通俗地解釋為：“在解決數(shù)學(xué)問題時，有時無法用同一種方法一次去解決，而需要按照一個標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決.”由此我們可以提煉出用分類討論思想解決問題的一般步驟：明確對象、確定范圍→統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)、合理分類→逐級討論、分類求解→歸納綜合、得出結(jié)論.

一、 代數(shù)類分類討論

例1 若a=3，b=5，且a>b，求a+b的值.

【解析】∵a=3，∴a=±3. ∵b=5，∴b=±5. 又∵a>b，∴a+b的值有以下兩種情況：當(dāng)a=3，b=-5時，a+b=-2；當(dāng)a=-3，b=-5時，a+b=

-8. 故a+b的值為-2或-8.

【點評】本題解決的關(guān)鍵在于“絕對值”化簡. 根據(jù)“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等”可知：a=±3，b=±5，再由a>b篩選出符合條件的兩種情況，求出a+b的值.

例2 （2010·鹽城）已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖像與x軸只有一個公共點.

（1） 求這個函數(shù)關(guān)系式；（2）（3）略.

【解析】當(dāng)a=0時，y=x+1，圖像與x軸只有一個公共點；當(dāng)a≠0時，△=12-4a×1=0，解得a=，圖像與x軸只有一個公共點. ∴函數(shù)的解析式為：y=x+1或y=x2+x+1.

【點評】本題解答中的常見錯誤是漏掉“y=x+1”. 題目中沒有說明所求函數(shù)是哪種函數(shù)，因此對于二次項系數(shù)a要進(jìn)行分類討論，即分a=0（一次函數(shù)）和a≠0（二次函數(shù)）兩種情況.

例3 （2013·本溪）某蔬菜經(jīng)銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經(jīng)銷商一次性采購蔬菜的單價y（元/千克）與采購量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖1中折線AB—BC—CD所示（不包括端點A）.

（1） 當(dāng)100

（2） 蔬菜的種植成本為2元/千克，某經(jīng)銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當(dāng)采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元？

（3） 略.

【解析】（1） 利用待定系數(shù)法求出當(dāng)100

（2） 設(shè)采購量是x千克時，蔬菜種植基地獲利W元. 當(dāng)0

【點評】本題第（2）問的解決需要建立函數(shù)模型求解最大利潤. 由于在0

二、 幾何類分類討論

例4 （2013·欽州）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（ ）.

A. 80° B. 80°或20°

C. 80°或50° D. 20°

【解析】當(dāng)80°角是頂角時，三角形的頂角為80°；當(dāng)80°角是底角時，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°. 故選B.

【點評】題目中給定的“80°角”無法確定是頂角還是底角，所以需要分“80°角是頂角”、“80°角是底角”兩種情形分類討論. 在解決等腰三角形的這類問題時，首先要關(guān)注條件中給定的角是頂角還是底角，給定的邊是腰還是底邊. 如果不確定，就需要分類討論.

例5 （2013·上海）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AO=BO=2，∠AOB=120°.

（1） 求這條拋物線的表達(dá)式；

（2） 連接OM，求∠AOM的大??；

（3） 如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標(biāo).

【解析】（1） 根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求得A點為（-1，）、B點坐標(biāo)為（2，0），進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式為y=x2-x；

（2） 如圖3，根據(jù)（1）中解析式求出M點坐標(biāo)為1，

-，再過點M作MF⊥x軸于點F，如圖3，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出∠FOM=30°，進(jìn)而得到∠AOM=150°；

（3） 當(dāng)△ABC1∽△AOM時，=，求得BC1=2，所以C1的坐標(biāo)為（4，0）；當(dāng)△C2BA∽△AOM時，=，求得BC2=6，所以C2的坐標(biāo)為（8，0）.

【點評】此題的第（3）問是典型的相似三角形的分類討論問題，由于兩個相似三角形的對應(yīng)頂點不確定，故需要根據(jù)頂點的對應(yīng)順序進(jìn)行分類討論.

例6 已知：弦AB=2，AC=2，☉O的半徑為2. 求∠BAC的度數(shù).

【解析】過O點作OE⊥AB，垂足為E，作OF⊥AC，垂足為F，連接OA. 由垂徑定理，得AE=，AF=. 在Rt△AEO中，cos∠EAO==，∠EAO=45°；在Rt△AFO中，cos∠FAO==，∠FAO=30°. 如圖4，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時，∠BAC=∠EAO+∠FAO=75°；如圖5，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時，∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°. 故∠BAC度數(shù)為75°或15°.

【點評】本題由于弦AB、CD與圓心O的相對位置不確定，造成了∠BAC的表示有兩種情形：∠BAC=∠BAO+∠CAO或∠BAC=∠BAO-∠CAO. 值得提醒的是：本題中∠BAO、∠CAO的大小還可以通過“直徑所對的圓周角為直角”構(gòu)造直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)求解.

三、 綜合類分類討論

例7 （2012·桂林）如圖6，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當(dāng)P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動. 設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系的圖像是（ ）.

【解析】當(dāng)0≤t≤2時，點P在AB上，點Q在BC上，S=AP·BQ=·t·2t=t2；當(dāng)2

【點評】本題是運動中的分類討論問題. 在運動型問題中，隨著圖形位置的變化，圖形的形狀、大小往往也隨之變化. 解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的圖形，并抓住運動中的臨界位置進(jìn)行正確分類求解.

例8 （2013·湛江）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標(biāo)為（0，-5）.

（1） 求此拋物線的解析式；

（2） 略；

（3） 在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為：y=-（x-3）2+4或y=-x2+6x-5.

（3） 存在. 分別過點C和A作CP1⊥AC于點C，AP2⊥AC于點A，交拋物線于點P1，P2，∴P1點的坐標(biāo)為（t，5-t），于是5-t=-t2+6t-5，解得t=2，t=5（舍去），∴P1點的坐標(biāo)為（2，3）；同理可求得P2（7，-12）. 綜上所述P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，-12）.

【點評】本題的第（3）問中，直角三角形的直角頂點具有不確定性，所以需要分兩種情形來討論，即分別以C為直角頂點和以A為直角頂點展開探究.

在解題過程中，我們常常會遇到諸如數(shù)量關(guān)系不唯一、圖形形狀不一致等不確定的情形，使得對所給的問題不能進(jìn)行統(tǒng)一研究. 這時就需要分類討論，對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果歸納并解答. 正確的分類討論必須做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、逐級討論，確保分類既不重復(fù)、也不遺漏.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實驗中學(xué)）

三、 綜合類分類討論

例7 （2012·桂林）如圖6，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當(dāng)P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動. 設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系的圖像是（ ）.

【解析】當(dāng)0≤t≤2時，點P在AB上，點Q在BC上，S=AP·BQ=·t·2t=t2；當(dāng)2

【點評】本題是運動中的分類討論問題. 在運動型問題中，隨著圖形位置的變化，圖形的形狀、大小往往也隨之變化. 解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的圖形，并抓住運動中的臨界位置進(jìn)行正確分類求解.

例8 （2013·湛江）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標(biāo)為（0，-5）.

（1） 求此拋物線的解析式；

（2） 略；

（3） 在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為：y=-（x-3）2+4或y=-x2+6x-5.

（3） 存在. 分別過點C和A作CP1⊥AC于點C，AP2⊥AC于點A，交拋物線于點P1，P2，∴P1點的坐標(biāo)為（t，5-t），于是5-t=-t2+6t-5，解得t=2，t=5（舍去），∴P1點的坐標(biāo)為（2，3）；同理可求得P2（7，-12）. 綜上所述P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，-12）.

【點評】本題的第（3）問中，直角三角形的直角頂點具有不確定性，所以需要分兩種情形來討論，即分別以C為直角頂點和以A為直角頂點展開探究.

在解題過程中，我們常常會遇到諸如數(shù)量關(guān)系不唯一、圖形形狀不一致等不確定的情形，使得對所給的問題不能進(jìn)行統(tǒng)一研究. 這時就需要分類討論，對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果歸納并解答. 正確的分類討論必須做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、逐級討論，確保分類既不重復(fù)、也不遺漏.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實驗中學(xué)）

三、 綜合類分類討論

例7 （2012·桂林）如圖6，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當(dāng)P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動. 設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系的圖像是（ ）.

【解析】當(dāng)0≤t≤2時，點P在AB上，點Q在BC上，S=AP·BQ=·t·2t=t2；當(dāng)2

【點評】本題是運動中的分類討論問題. 在運動型問題中，隨著圖形位置的變化，圖形的形狀、大小往往也隨之變化. 解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的圖形，并抓住運動中的臨界位置進(jìn)行正確分類求解.

例8 （2013·湛江）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標(biāo)為（0，-5）.

（1） 求此拋物線的解析式；

（2） 略；

（3） 在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為：y=-（x-3）2+4或y=-x2+6x-5.

（3） 存在. 分別過點C和A作CP1⊥AC于點C，AP2⊥AC于點A，交拋物線于點P1，P2，∴P1點的坐標(biāo)為（t，5-t），于是5-t=-t2+6t-5，解得t=2，t=5（舍去），∴P1點的坐標(biāo)為（2，3）；同理可求得P2（7，-12）. 綜上所述P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，-12）.

【點評】本題的第（3）問中，直角三角形的直角頂點具有不確定性，所以需要分兩種情形來討論，即分別以C為直角頂點和以A為直角頂點展開探究.

在解題過程中，我們常常會遇到諸如數(shù)量關(guān)系不唯一、圖形形狀不一致等不確定的情形，使得對所給的問題不能進(jìn)行統(tǒng)一研究. 這時就需要分類討論，對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果歸納并解答. 正確的分類討論必須做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、逐級討論，確保分類既不重復(fù)、也不遺漏.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實驗中學(xué)）