化歸思想的應用

溫翠云

化歸思想也稱轉化思想，在中學數學里，化歸思想的應用無處不在，當感到思維受阻時，可以換一個角度去思考. 運用轉化思想解題，可以提高同學們的數學思維水平和解題能力. 現以2013年中考試題為例加以說明.

一、 化未知為已知

例1 （2013·臨沂）對于實數a，b，定義運算“*”：a﹡b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a

例如4*2，因為4>2，所以4*2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1*x2=______.

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2.

①當x1=3，x2=2時，x1*x2=32-3×2=3；

②當x1=2，x2=3時，x1*x2=3×2-32=-3.

故答案為：3或-3.

【點評】解決新定義類問題，首先應準確理解新定義概念，深刻揭示新定義的內涵和本質，并從中獲取新的數學公式、定理、性質、運算法則或解題思路，進而用類比的方法將他們轉化為熟悉的知識解決. 這種思想體現了化未知為已知的解題策略.

二、 化數為形

例2 （2013·揚州）方程x2+3x-1=0的根可視為函數y=x+3的圖像與函數y= 的圖像交點的橫坐標，則方程x3+2x-1=0的實根x0所在的范圍是（ ）.

A. 0

C.

【解析】依題意得方程x3+2x-1=0的實根是函數y=x2+2與y=的圖像交點的橫坐標，這兩個函數的圖像如圖1所示，它們的交點在第一象限.

當x=時，y=x2+2=2，y==4，此時拋物線的圖像在反比例函數下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==3，此時拋物線的圖像在反比例函數下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==2，此時拋物線的圖像在反比例函數上方；

當x=1時，y=x2+2=3，y==1，此時拋物線的圖像在反比例函數上方.

故方程x3+x-1=0的實根x0所在范圍為：

【點評】本題是把求一元二次方程解的問題轉化為求函數圖像交點的橫坐標問題，解決此類問題時應注意函數與方程可以互相轉化，二者結合可優勢互補. 利用方程與函數圖像之間的關系，可將抽象的問題轉化為直觀的圖形，使解題變得簡單.

三、 化局部為整體

例3 （2013·大慶）如圖2，三角形ABC是邊長為1的正三角形，與所對的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為______.

【解析】如圖2，設與相交于點O，連接OA、OB、OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個弓形，將這兩個弓形分別按順時針及反時針繞點O旋轉120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的三分之一.

∴S陰影部分=××12=.

故答案為：.

【點評】通過轉化得出陰影部分的面積恰好為△ABC面積的三分之一是解答此題的關鍵. 利用平移、旋轉或軸對稱化零為整進行思考，要正確把握整體與局部之間的關系，善于發現問題之間的內在聯系，揭示轉化的規律.

四、 化空間圖形為平面圖形

例4 （2013·東營） 如圖3，圓柱形容器的高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計）.

解：將圓柱沿其母線剪開，壁虎在圓柱展開圖4的矩形兩邊中點的連線上.過A作關于EF的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長度為壁虎捉蚊子的最短距離，過B作BM⊥AA′于點M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2 m，BM= m，所以A′B==1.3 m，即壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【點評】沿圓柱表面的最短線段長度問題，常常是要將它展開轉化成平面圖形問題. 本題通過作出關于定直線的對稱點，把同側線段長度和轉化為異側線段長度和，利用“兩點之間線段最短”，即可解決問題，軸對稱在此起到轉化作用.

五、 化不規則圖形為規則圖形

例5 （2013·長春）探究：如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E. 若AE=10，求四邊形ABCD的面積.

應用：如圖6，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E. 若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為______.

解：如圖5，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F.

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四邊形AFCE為矩形，

∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.

∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，

又AB=AD，∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=AE，∴四邊形AFCE為正方形，

∴S四邊形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.

如圖6，過點A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，連接AC.

則∠ADF+∠ADC=180°.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC·AE+CD·AF=×10×19+×6×19=95+57=152.

【點評】將不規則圖形割補成規則圖形，是求不規則圖形面積的常用方法. 問題（1）是通過作輔助線構造出全等三角形，將不規則的四邊形轉化為正方形；問題（2）是通過作輔助線構造出全等三角形，把四邊形轉化為同高的兩個三角形.

轉化就是不斷地把一個尚待解決的問題轉化為已經解決的問題，把一個復雜問題轉化為一個比較簡單的問題，這就是數學解題的通法，也是數學解題的有力武器！不斷轉化，不斷向已知靠攏，最終使問題獲解，這是轉化的精髓.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

化歸思想也稱轉化思想，在中學數學里，化歸思想的應用無處不在，當感到思維受阻時，可以換一個角度去思考. 運用轉化思想解題，可以提高同學們的數學思維水平和解題能力. 現以2013年中考試題為例加以說明.

一、 化未知為已知

例1 （2013·臨沂）對于實數a，b，定義運算“*”：a﹡b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a

例如4*2，因為4>2，所以4*2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1*x2=______.

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2.

①當x1=3，x2=2時，x1*x2=32-3×2=3；

②當x1=2，x2=3時，x1*x2=3×2-32=-3.

故答案為：3或-3.

【點評】解決新定義類問題，首先應準確理解新定義概念，深刻揭示新定義的內涵和本質，并從中獲取新的數學公式、定理、性質、運算法則或解題思路，進而用類比的方法將他們轉化為熟悉的知識解決. 這種思想體現了化未知為已知的解題策略.

二、 化數為形

例2 （2013·揚州）方程x2+3x-1=0的根可視為函數y=x+3的圖像與函數y= 的圖像交點的橫坐標，則方程x3+2x-1=0的實根x0所在的范圍是（ ）.

A. 0

C.

【解析】依題意得方程x3+2x-1=0的實根是函數y=x2+2與y=的圖像交點的橫坐標，這兩個函數的圖像如圖1所示，它們的交點在第一象限.

當x=時，y=x2+2=2，y==4，此時拋物線的圖像在反比例函數下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==3，此時拋物線的圖像在反比例函數下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==2，此時拋物線的圖像在反比例函數上方；

當x=1時，y=x2+2=3，y==1，此時拋物線的圖像在反比例函數上方.

故方程x3+x-1=0的實根x0所在范圍為：

【點評】本題是把求一元二次方程解的問題轉化為求函數圖像交點的橫坐標問題，解決此類問題時應注意函數與方程可以互相轉化，二者結合可優勢互補. 利用方程與函數圖像之間的關系，可將抽象的問題轉化為直觀的圖形，使解題變得簡單.

三、 化局部為整體

例3 （2013·大慶）如圖2，三角形ABC是邊長為1的正三角形，與所對的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為______.

【解析】如圖2，設與相交于點O，連接OA、OB、OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個弓形，將這兩個弓形分別按順時針及反時針繞點O旋轉120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的三分之一.

∴S陰影部分=××12=.

故答案為：.

【點評】通過轉化得出陰影部分的面積恰好為△ABC面積的三分之一是解答此題的關鍵. 利用平移、旋轉或軸對稱化零為整進行思考，要正確把握整體與局部之間的關系，善于發現問題之間的內在聯系，揭示轉化的規律.

四、 化空間圖形為平面圖形

例4 （2013·東營） 如圖3，圓柱形容器的高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計）.

解：將圓柱沿其母線剪開，壁虎在圓柱展開圖4的矩形兩邊中點的連線上.過A作關于EF的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長度為壁虎捉蚊子的最短距離，過B作BM⊥AA′于點M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2 m，BM= m，所以A′B==1.3 m，即壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【點評】沿圓柱表面的最短線段長度問題，常常是要將它展開轉化成平面圖形問題. 本題通過作出關于定直線的對稱點，把同側線段長度和轉化為異側線段長度和，利用“兩點之間線段最短”，即可解決問題，軸對稱在此起到轉化作用.

五、 化不規則圖形為規則圖形

例5 （2013·長春）探究：如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E. 若AE=10，求四邊形ABCD的面積.

應用：如圖6，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E. 若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為______.

解：如圖5，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F.

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四邊形AFCE為矩形，

∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.

∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，

又AB=AD，∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=AE，∴四邊形AFCE為正方形，

∴S四邊形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.

如圖6，過點A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，連接AC.

則∠ADF+∠ADC=180°.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC·AE+CD·AF=×10×19+×6×19=95+57=152.

【點評】將不規則圖形割補成規則圖形，是求不規則圖形面積的常用方法. 問題（1）是通過作輔助線構造出全等三角形，將不規則的四邊形轉化為正方形；問題（2）是通過作輔助線構造出全等三角形，把四邊形轉化為同高的兩個三角形.

轉化就是不斷地把一個尚待解決的問題轉化為已經解決的問題，把一個復雜問題轉化為一個比較簡單的問題，這就是數學解題的通法，也是數學解題的有力武器！不斷轉化，不斷向已知靠攏，最終使問題獲解，這是轉化的精髓.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

化歸思想也稱轉化思想，在中學數學里，化歸思想的應用無處不在，當感到思維受阻時，可以換一個角度去思考. 運用轉化思想解題，可以提高同學們的數學思維水平和解題能力. 現以2013年中考試題為例加以說明.

一、 化未知為已知

例1 （2013·臨沂）對于實數a，b，定義運算“*”：a﹡b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a

例如4*2，因為4>2，所以4*2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1*x2=______.

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2.

①當x1=3，x2=2時，x1*x2=32-3×2=3；

②當x1=2，x2=3時，x1*x2=3×2-32=-3.

故答案為：3或-3.

【點評】解決新定義類問題，首先應準確理解新定義概念，深刻揭示新定義的內涵和本質，并從中獲取新的數學公式、定理、性質、運算法則或解題思路，進而用類比的方法將他們轉化為熟悉的知識解決. 這種思想體現了化未知為已知的解題策略.

二、 化數為形

例2 （2013·揚州）方程x2+3x-1=0的根可視為函數y=x+3的圖像與函數y= 的圖像交點的橫坐標，則方程x3+2x-1=0的實根x0所在的范圍是（ ）.

A. 0

C.

【解析】依題意得方程x3+2x-1=0的實根是函數y=x2+2與y=的圖像交點的橫坐標，這兩個函數的圖像如圖1所示，它們的交點在第一象限.

當x=時，y=x2+2=2，y==4，此時拋物線的圖像在反比例函數下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==3，此時拋物線的圖像在反比例函數下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==2，此時拋物線的圖像在反比例函數上方；

當x=1時，y=x2+2=3，y==1，此時拋物線的圖像在反比例函數上方.

故方程x3+x-1=0的實根x0所在范圍為：

【點評】本題是把求一元二次方程解的問題轉化為求函數圖像交點的橫坐標問題，解決此類問題時應注意函數與方程可以互相轉化，二者結合可優勢互補. 利用方程與函數圖像之間的關系，可將抽象的問題轉化為直觀的圖形，使解題變得簡單.

三、 化局部為整體

例3 （2013·大慶）如圖2，三角形ABC是邊長為1的正三角形，與所對的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為______.

【解析】如圖2，設與相交于點O，連接OA、OB、OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個弓形，將這兩個弓形分別按順時針及反時針繞點O旋轉120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的三分之一.

∴S陰影部分=××12=.

故答案為：.

【點評】通過轉化得出陰影部分的面積恰好為△ABC面積的三分之一是解答此題的關鍵. 利用平移、旋轉或軸對稱化零為整進行思考，要正確把握整體與局部之間的關系，善于發現問題之間的內在聯系，揭示轉化的規律.

四、 化空間圖形為平面圖形

例4 （2013·東營） 如圖3，圓柱形容器的高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計）.

解：將圓柱沿其母線剪開，壁虎在圓柱展開圖4的矩形兩邊中點的連線上.過A作關于EF的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長度為壁虎捉蚊子的最短距離，過B作BM⊥AA′于點M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2 m，BM= m，所以A′B==1.3 m，即壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【點評】沿圓柱表面的最短線段長度問題，常常是要將它展開轉化成平面圖形問題. 本題通過作出關于定直線的對稱點，把同側線段長度和轉化為異側線段長度和，利用“兩點之間線段最短”，即可解決問題，軸對稱在此起到轉化作用.

五、 化不規則圖形為規則圖形

例5 （2013·長春）探究：如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E. 若AE=10，求四邊形ABCD的面積.

應用：如圖6，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E. 若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為______.

解：如圖5，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F.

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四邊形AFCE為矩形，

∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.

∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，

又AB=AD，∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=AE，∴四邊形AFCE為正方形，

∴S四邊形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.

如圖6，過點A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，連接AC.

則∠ADF+∠ADC=180°.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC·AE+CD·AF=×10×19+×6×19=95+57=152.

【點評】將不規則圖形割補成規則圖形，是求不規則圖形面積的常用方法. 問題（1）是通過作輔助線構造出全等三角形，將不規則的四邊形轉化為正方形；問題（2）是通過作輔助線構造出全等三角形，把四邊形轉化為同高的兩個三角形.

轉化就是不斷地把一個尚待解決的問題轉化為已經解決的問題，把一個復雜問題轉化為一個比較簡單的問題，這就是數學解題的通法，也是數學解題的有力武器！不斷轉化，不斷向已知靠攏，最終使問題獲解，這是轉化的精髓.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）