整體思想

薛小霞

數學思想方法是數學的精髓，理解并能夠迅速調用數學思想方法，是提高解題能力根本之所在，所以我們在中考復習過程中一定要注重培養“提煉數學思想方法”的習慣. 整體思想就是中考中常用的數學思想方法之一.

整體與局部是對應的，如按常規不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規，把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯系，從而從整體上尋求解決問題的新途徑. 這就是我們常說的整體思想.

一、 代數類整體思想

例1 當a+b=4，ab=1時，求代數式2a+3ab+2b的值.

【分析】若同學們想從關系式a+b=4，ab=1中算出a、b，再代入2a+3ab+2b求值，那將涉及二次方程的求解問題，雖然可行但顯然有點復雜. 我們不妨分析一下待求式2a+3ab+2b，發現它可以整理成2（a+b）+3ab，這樣就構造出了條件中a+b和ab兩個整體，將這兩個整體的數值代入，即可求出2a+3ab+2b的值.

解：∵a+b=4，ab=1，

∴2a+3ab+2b=2（a+b）+3ab=2×4+3×1=11.

【點評】當很難由已知條件確定未知量的具體值時，我們可以考慮整體代入，這時就需要將待求式整理成含有“條件中整體”的形式，再整體代入即可.

挑戰自我：當x+y=-10，xy=時，求7x-15xy+7y的值. （答案：-73）

例2 -=3，求的值.

【分析】本題的條件式和待求式，乍一看好像沒有一點聯系，但若能將條件中的-=3整理成=3，y-x=3xy，就發現待求式經過整理，會有y-x這個整體，從而將這個整體代入求值即可.

【點評】用整體思想求代數式的值，這個整體可能在條件中體現得不明顯，這時就需要先整理一下條件式，再尋找待求式與整理得到的條件式之間的聯系.

挑戰自我：已知x-=3，求代數式x2-3x-1的值. （答案：0）

例3 已知x滿足x2-x-1=0，求代數式-x3+2x2+2004的值.

【分析】本題的條件式x2-x-1=0可整理成x2=x+1（也可以整理成x2-x=1），對于待求式-x3+2x2+2004，我們可以整理成x2（2-x）+2004，將x2=x+1整體代入后得（x+1）（2-x）+2004=2+x-x2+2004，發現結果中還是含有x，我們再整體代入一次即可：2+x-（x+1）+2004=2005.

【點評】用整體思想求代數式的值時，可能一次代入不能找到答案，這時可以嘗試多次代入.

挑戰自我：已知x2-3x-1=0，求x3-x2-7x的值. （答案：2）.

二、 幾何類整體思想

【分析】由圖像中已知條件求出a、b、c顯然行不通，因為圖中不具備3個已知的點. 其實我們可以將待求式a+b+c看成一個整體，即在二次函數中當x=1時，會出現a+b+c，結合函數圖像，當x=1時，對應點在第四象限，所以函數值y為負數，A正確；同理，要出現a-b+c這個整體，即當二次函數中x=-1時，會出現a-b+c，結合函數圖像，當x=-1時，對應點為最高點，函數值為正數，B正確；同理，D選項中要出現4a-2b+c，只要二次函數中x=-2，由二次函數的對稱性得x=-2和x=0時的函數值相等，而當x=0時，顯然函數值為正；C選項的式子需要我們先整理一下才能看出整體，不等式左邊其實是am2+bm，如果在這個整體上加上c，得am2+bm+c，這個整體就是當函數中x=m時的函數值，右邊a-b，也只要先加上c，得a-b+c，這個整體是當函數中x=-1時的函數值，這樣問題的本質其實是讓我們比較函數中x=m時的函數值和x=-1時的函數值的大小，由于當x=-1時函數有最大值，所以am2+bm+c≤a-b+c，即am2+bm≤a-b，∴m（am+b）≤a-b（m為任意實數）成立.

【點評】當一些函數中的系數無法確定時，我們不妨將待求式看成一個整體，再結合函數圖像整體理解.

例5 在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0），☉P是以點P為圓心，2為半徑的圓. 若一次函數y=kx+b的圖像過點A（-1，0）且與☉P相切，則k+b的值為______.

【分析】通過兩點A、B（或者是A、C）確定直線的函數關系式，可以求出k+b的值，但計算相對龐大. 其實k+b這個整體可以理解成當函數y=kx+b中x=1時函數值的大小.

【點評】此題看起來是要我們具體求出k、b，此計算較為復雜. 其實我們可以將k+b看成一個整體，理解為當函數y=kx+b中x=1時，函數值的大小.

整體思想是中考常考的數學思想方法，通常題干會給出各種各樣關于未知數的關系式，利用常規方法解題，甚至求不出具體的數值，這時就需要從一個整體的角度分析，挖掘已知式子和待求式子的整體結構特征，將已知關系式或將式子進行適當變形后作為整體直接代入求值式中計算，一次代入若沒能得到結果，還可能需要代入第二次. 這種通過整理、變形構造整體，再整體求值的思想往往能使很多問題變得“柳暗花明”！

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

數學思想方法是數學的精髓，理解并能夠迅速調用數學思想方法，是提高解題能力根本之所在，所以我們在中考復習過程中一定要注重培養“提煉數學思想方法”的習慣. 整體思想就是中考中常用的數學思想方法之一.

整體與局部是對應的，如按常規不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規，把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯系，從而從整體上尋求解決問題的新途徑. 這就是我們常說的整體思想.

一、 代數類整體思想

例1 當a+b=4，ab=1時，求代數式2a+3ab+2b的值.

【分析】若同學們想從關系式a+b=4，ab=1中算出a、b，再代入2a+3ab+2b求值，那將涉及二次方程的求解問題，雖然可行但顯然有點復雜. 我們不妨分析一下待求式2a+3ab+2b，發現它可以整理成2（a+b）+3ab，這樣就構造出了條件中a+b和ab兩個整體，將這兩個整體的數值代入，即可求出2a+3ab+2b的值.

解：∵a+b=4，ab=1，

∴2a+3ab+2b=2（a+b）+3ab=2×4+3×1=11.

【點評】當很難由已知條件確定未知量的具體值時，我們可以考慮整體代入，這時就需要將待求式整理成含有“條件中整體”的形式，再整體代入即可.

挑戰自我：當x+y=-10，xy=時，求7x-15xy+7y的值. （答案：-73）

例2 -=3，求的值.

【分析】本題的條件式和待求式，乍一看好像沒有一點聯系，但若能將條件中的-=3整理成=3，y-x=3xy，就發現待求式經過整理，會有y-x這個整體，從而將這個整體代入求值即可.

【點評】用整體思想求代數式的值，這個整體可能在條件中體現得不明顯，這時就需要先整理一下條件式，再尋找待求式與整理得到的條件式之間的聯系.

挑戰自我：已知x-=3，求代數式x2-3x-1的值. （答案：0）

例3 已知x滿足x2-x-1=0，求代數式-x3+2x2+2004的值.

【分析】本題的條件式x2-x-1=0可整理成x2=x+1（也可以整理成x2-x=1），對于待求式-x3+2x2+2004，我們可以整理成x2（2-x）+2004，將x2=x+1整體代入后得（x+1）（2-x）+2004=2+x-x2+2004，發現結果中還是含有x，我們再整體代入一次即可：2+x-（x+1）+2004=2005.

【點評】用整體思想求代數式的值時，可能一次代入不能找到答案，這時可以嘗試多次代入.

挑戰自我：已知x2-3x-1=0，求x3-x2-7x的值. （答案：2）.

二、 幾何類整體思想

【分析】由圖像中已知條件求出a、b、c顯然行不通，因為圖中不具備3個已知的點. 其實我們可以將待求式a+b+c看成一個整體，即在二次函數中當x=1時，會出現a+b+c，結合函數圖像，當x=1時，對應點在第四象限，所以函數值y為負數，A正確；同理，要出現a-b+c這個整體，即當二次函數中x=-1時，會出現a-b+c，結合函數圖像，當x=-1時，對應點為最高點，函數值為正數，B正確；同理，D選項中要出現4a-2b+c，只要二次函數中x=-2，由二次函數的對稱性得x=-2和x=0時的函數值相等，而當x=0時，顯然函數值為正；C選項的式子需要我們先整理一下才能看出整體，不等式左邊其實是am2+bm，如果在這個整體上加上c，得am2+bm+c，這個整體就是當函數中x=m時的函數值，右邊a-b，也只要先加上c，得a-b+c，這個整體是當函數中x=-1時的函數值，這樣問題的本質其實是讓我們比較函數中x=m時的函數值和x=-1時的函數值的大小，由于當x=-1時函數有最大值，所以am2+bm+c≤a-b+c，即am2+bm≤a-b，∴m（am+b）≤a-b（m為任意實數）成立.

【點評】當一些函數中的系數無法確定時，我們不妨將待求式看成一個整體，再結合函數圖像整體理解.

例5 在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0），☉P是以點P為圓心，2為半徑的圓. 若一次函數y=kx+b的圖像過點A（-1，0）且與☉P相切，則k+b的值為______.

【分析】通過兩點A、B（或者是A、C）確定直線的函數關系式，可以求出k+b的值，但計算相對龐大. 其實k+b這個整體可以理解成當函數y=kx+b中x=1時函數值的大小.

【點評】此題看起來是要我們具體求出k、b，此計算較為復雜. 其實我們可以將k+b看成一個整體，理解為當函數y=kx+b中x=1時，函數值的大小.

整體思想是中考常考的數學思想方法，通常題干會給出各種各樣關于未知數的關系式，利用常規方法解題，甚至求不出具體的數值，這時就需要從一個整體的角度分析，挖掘已知式子和待求式子的整體結構特征，將已知關系式或將式子進行適當變形后作為整體直接代入求值式中計算，一次代入若沒能得到結果，還可能需要代入第二次. 這種通過整理、變形構造整體，再整體求值的思想往往能使很多問題變得“柳暗花明”！

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

數學思想方法是數學的精髓，理解并能夠迅速調用數學思想方法，是提高解題能力根本之所在，所以我們在中考復習過程中一定要注重培養“提煉數學思想方法”的習慣. 整體思想就是中考中常用的數學思想方法之一.

整體與局部是對應的，如按常規不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規，把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯系，從而從整體上尋求解決問題的新途徑. 這就是我們常說的整體思想.

一、 代數類整體思想

例1 當a+b=4，ab=1時，求代數式2a+3ab+2b的值.

【分析】若同學們想從關系式a+b=4，ab=1中算出a、b，再代入2a+3ab+2b求值，那將涉及二次方程的求解問題，雖然可行但顯然有點復雜. 我們不妨分析一下待求式2a+3ab+2b，發現它可以整理成2（a+b）+3ab，這樣就構造出了條件中a+b和ab兩個整體，將這兩個整體的數值代入，即可求出2a+3ab+2b的值.

解：∵a+b=4，ab=1，

∴2a+3ab+2b=2（a+b）+3ab=2×4+3×1=11.

【點評】當很難由已知條件確定未知量的具體值時，我們可以考慮整體代入，這時就需要將待求式整理成含有“條件中整體”的形式，再整體代入即可.

挑戰自我：當x+y=-10，xy=時，求7x-15xy+7y的值. （答案：-73）

例2 -=3，求的值.

【分析】本題的條件式和待求式，乍一看好像沒有一點聯系，但若能將條件中的-=3整理成=3，y-x=3xy，就發現待求式經過整理，會有y-x這個整體，從而將這個整體代入求值即可.

【點評】用整體思想求代數式的值，這個整體可能在條件中體現得不明顯，這時就需要先整理一下條件式，再尋找待求式與整理得到的條件式之間的聯系.

挑戰自我：已知x-=3，求代數式x2-3x-1的值. （答案：0）

例3 已知x滿足x2-x-1=0，求代數式-x3+2x2+2004的值.

【分析】本題的條件式x2-x-1=0可整理成x2=x+1（也可以整理成x2-x=1），對于待求式-x3+2x2+2004，我們可以整理成x2（2-x）+2004，將x2=x+1整體代入后得（x+1）（2-x）+2004=2+x-x2+2004，發現結果中還是含有x，我們再整體代入一次即可：2+x-（x+1）+2004=2005.

【點評】用整體思想求代數式的值時，可能一次代入不能找到答案，這時可以嘗試多次代入.

挑戰自我：已知x2-3x-1=0，求x3-x2-7x的值. （答案：2）.

二、 幾何類整體思想

【分析】由圖像中已知條件求出a、b、c顯然行不通，因為圖中不具備3個已知的點. 其實我們可以將待求式a+b+c看成一個整體，即在二次函數中當x=1時，會出現a+b+c，結合函數圖像，當x=1時，對應點在第四象限，所以函數值y為負數，A正確；同理，要出現a-b+c這個整體，即當二次函數中x=-1時，會出現a-b+c，結合函數圖像，當x=-1時，對應點為最高點，函數值為正數，B正確；同理，D選項中要出現4a-2b+c，只要二次函數中x=-2，由二次函數的對稱性得x=-2和x=0時的函數值相等，而當x=0時，顯然函數值為正；C選項的式子需要我們先整理一下才能看出整體，不等式左邊其實是am2+bm，如果在這個整體上加上c，得am2+bm+c，這個整體就是當函數中x=m時的函數值，右邊a-b，也只要先加上c，得a-b+c，這個整體是當函數中x=-1時的函數值，這樣問題的本質其實是讓我們比較函數中x=m時的函數值和x=-1時的函數值的大小，由于當x=-1時函數有最大值，所以am2+bm+c≤a-b+c，即am2+bm≤a-b，∴m（am+b）≤a-b（m為任意實數）成立.

【點評】當一些函數中的系數無法確定時，我們不妨將待求式看成一個整體，再結合函數圖像整體理解.

例5 在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0），☉P是以點P為圓心，2為半徑的圓. 若一次函數y=kx+b的圖像過點A（-1，0）且與☉P相切，則k+b的值為______.

【分析】通過兩點A、B（或者是A、C）確定直線的函數關系式，可以求出k+b的值，但計算相對龐大. 其實k+b這個整體可以理解成當函數y=kx+b中x=1時函數值的大小.

【點評】此題看起來是要我們具體求出k、b，此計算較為復雜. 其實我們可以將k+b看成一個整體，理解為當函數y=kx+b中x=1時，函數值的大小.

整體思想是中考常考的數學思想方法，通常題干會給出各種各樣關于未知數的關系式，利用常規方法解題，甚至求不出具體的數值，這時就需要從一個整體的角度分析，挖掘已知式子和待求式子的整體結構特征，將已知關系式或將式子進行適當變形后作為整體直接代入求值式中計算，一次代入若沒能得到結果，還可能需要代入第二次. 這種通過整理、變形構造整體，再整體求值的思想往往能使很多問題變得“柳暗花明”！

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）