中考中“數與代數”綜合題的分類探析

劉宗安

“數與代數”綜合題是初中數學中知識覆蓋面較廣，綜合性較強，解題方法較靈活、多樣的題型之一。縱觀近幾年的中考試題，“數與代數”綜合題是中考試題中較難的題目，要想得高分必須做好這類題，這類題主要以方程（組）、不等式（組）或函數為基礎進行綜合。解題時一般用分析綜合法解，要認真讀題，找準突破口，仔細分析各個已知條件，進行轉化，發揮條件整體作用進行解題。中考中“數與代數”綜合題涉及的知識類別通常是“你中有我，我中有你”，因此不易將它們十分明顯的分類。為了復習方便，我們將其分為四類：

1、以方程（組）為主的“數與代數”綜合題

例1、（2013·婁底）為了創建全國衛生城市，某社區要清理一個衛生死角內的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元。已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數是甲車的2倍，且乙車每趟運費比甲車少200元。

（1）求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟？

（2）若單獨租用一臺車，租用哪臺車合算？

【簡析】（1）假設甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運2x趟，根據總工作效率1-12得出等式方程求出即可；

（2）分別表示出甲、乙兩車單獨運每一趟所需費用，再根據關鍵語句“兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元”可得方程，再解出方程，再分別計算出利用甲或乙所需費用進行比較即可。

【點撥】本題主要考查了分式方程的應用以及一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出相應的方程。

2、以不等式（組）為主的“數與代數”綜合題

例2、（2012·福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分。

（1）小明考了68分，那么小明答對了多少道題？

（2）小亮獲得二等獎（70分～90分），請你算算小亮答對了幾道題？

【簡析】（1）設小明答對了x道題，則有（20-x）道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分是68分，即可得到一個關于x的方程，解方程即可求解；

（2）小亮答對了y道題，則有（20-y）道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分，就是最后的得分，得分滿足大于或等于70小于或等于90，據此即可得到關于y的不等式組，從而求得y的范圍，再根據y是非負整數即可求解。

【點撥】本題通過兩個問題，考查學生列方程、不等式組解決實際問題的能力，體現數學問題源自現實生活，而又為更好地解決現實問題的辯證規律，正確列式表示出最后的得分是本題解題的關鍵。

3、以函數為主的“數與代數”綜合題

（1）函數與方程（組）相結合。

（1）若該專賣店計劃用42000元進貨，則這兩種新款服裝各購進多少件？

（2）若乙的數量不能超過甲的數量的2倍，試問：應怎樣進貨才能使專賣店在銷售完這批服裝時獲利最多？并求出最大利潤。

【簡析】（1）設甲種新款服裝購進x件，表示出乙種新款服裝購進（100-x）件，然后根據進貨款=甲種新款服裝的進貨款+乙種新款服裝的進貨款，列出方程求解即可；

（2）設該專賣店銷售完這批服裝可獲利潤w元，根據獲利等于兩種新款服裝的獲利總和列式整理，再求出x的取值范圍，然后根據一次函數的增減性求出獲利的最大值。

【點撥】本題考查了一次函數的應用，主要利用了一次函數的增減性來解題，理清題目數量關系并列式求出x的取值范圍是解題的關鍵。

（2）函數與不等式（組）相結合

例4、（2013·遂寧）四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在我市隆重開幕，根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務。為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商。經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元。經洽談協商：A公司給出的優惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費。另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人。

【點撥】本題考查了根據已知條件求一次函數的解析式的運用，運用不等式求設計方案的運用，解答本題時根據數量關系求出解析式是關鍵，建立不等式計算優惠方案是難點。

（3）方程（組）、不等式（組）、函數相結合

例5、（2013·攀枝花）某文具店準備購進甲，乙兩種鉛筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元。

（1）求購進甲，乙兩種鋼筆每支各需多少元？

（2）若該文具店準備拿出1000元全部用來購進這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購進甲中鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過乙種鋼筆數量的8倍，那么該文具店共有幾種進貨方案？

（3）若該文具店銷售每支甲種鋼筆可獲利潤2元，銷售每支乙種鋼筆可獲利潤3元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【簡析】露出水面前讀數y不變，出水面后y逐漸增大，離開水面后y不變。故選C。

【點撥】本題是跨學科試題，本題考查函數值隨時間的變化問題。注意分析y隨x的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決。

總之，中考中對“數與代數”綜合題的考查，一方面立足于“數與式”、“方程（組）與不等式（組）”、“函數”的核心內容，注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律，使學生經歷從實際問題中建立數學模型、估計、求解、驗證求解的正確性與合理性的過程，實現對“基礎知識與基本技能”的內化；另一方面，中考試題中以問題為載體，通過分解問題的構成要素（條件和結論），分析問題中解的存在性和規律性，尋求不同的解題策略（建模與變式），將數學思維方式融入到對具體問題的探究之中。解答“數與代數”綜合題的關鍵是正確理解并理順題目中已知和未知之間的關系，綜合運用方程（組）、不等式（組）的知識和函數圖象的有關性質建立關系式，從而達到解決問題的目的。endprint

“數與代數”綜合題是初中數學中知識覆蓋面較廣，綜合性較強，解題方法較靈活、多樣的題型之一。縱觀近幾年的中考試題，“數與代數”綜合題是中考試題中較難的題目，要想得高分必須做好這類題，這類題主要以方程（組）、不等式（組）或函數為基礎進行綜合。解題時一般用分析綜合法解，要認真讀題，找準突破口，仔細分析各個已知條件，進行轉化，發揮條件整體作用進行解題。中考中“數與代數”綜合題涉及的知識類別通常是“你中有我，我中有你”，因此不易將它們十分明顯的分類。為了復習方便，我們將其分為四類：

1、以方程（組）為主的“數與代數”綜合題

例1、（2013·婁底）為了創建全國衛生城市，某社區要清理一個衛生死角內的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元。已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數是甲車的2倍，且乙車每趟運費比甲車少200元。

（1）求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟？

（2）若單獨租用一臺車，租用哪臺車合算？

【簡析】（1）假設甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運2x趟，根據總工作效率1-12得出等式方程求出即可；

（2）分別表示出甲、乙兩車單獨運每一趟所需費用，再根據關鍵語句“兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元”可得方程，再解出方程，再分別計算出利用甲或乙所需費用進行比較即可。

【點撥】本題主要考查了分式方程的應用以及一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出相應的方程。

2、以不等式（組）為主的“數與代數”綜合題

例2、（2012·福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分。

（1）小明考了68分，那么小明答對了多少道題？

（2）小亮獲得二等獎（70分～90分），請你算算小亮答對了幾道題？

【簡析】（1）設小明答對了x道題，則有（20-x）道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分是68分，即可得到一個關于x的方程，解方程即可求解；

（2）小亮答對了y道題，則有（20-y）道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分，就是最后的得分，得分滿足大于或等于70小于或等于90，據此即可得到關于y的不等式組，從而求得y的范圍，再根據y是非負整數即可求解。

【點撥】本題通過兩個問題，考查學生列方程、不等式組解決實際問題的能力，體現數學問題源自現實生活，而又為更好地解決現實問題的辯證規律，正確列式表示出最后的得分是本題解題的關鍵。

3、以函數為主的“數與代數”綜合題

（1）函數與方程（組）相結合。

（1）若該專賣店計劃用42000元進貨，則這兩種新款服裝各購進多少件？

（2）若乙的數量不能超過甲的數量的2倍，試問：應怎樣進貨才能使專賣店在銷售完這批服裝時獲利最多？并求出最大利潤。

【簡析】（1）設甲種新款服裝購進x件，表示出乙種新款服裝購進（100-x）件，然后根據進貨款=甲種新款服裝的進貨款+乙種新款服裝的進貨款，列出方程求解即可；

（2）設該專賣店銷售完這批服裝可獲利潤w元，根據獲利等于兩種新款服裝的獲利總和列式整理，再求出x的取值范圍，然后根據一次函數的增減性求出獲利的最大值。

【點撥】本題考查了一次函數的應用，主要利用了一次函數的增減性來解題，理清題目數量關系并列式求出x的取值范圍是解題的關鍵。

（2）函數與不等式（組）相結合

例4、（2013·遂寧）四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在我市隆重開幕，根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務。為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商。經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元。經洽談協商：A公司給出的優惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費。另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人。

【點撥】本題考查了根據已知條件求一次函數的解析式的運用，運用不等式求設計方案的運用，解答本題時根據數量關系求出解析式是關鍵，建立不等式計算優惠方案是難點。

（3）方程（組）、不等式（組）、函數相結合

例5、（2013·攀枝花）某文具店準備購進甲，乙兩種鉛筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元。

（1）求購進甲，乙兩種鋼筆每支各需多少元？

（2）若該文具店準備拿出1000元全部用來購進這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購進甲中鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過乙種鋼筆數量的8倍，那么該文具店共有幾種進貨方案？

（3）若該文具店銷售每支甲種鋼筆可獲利潤2元，銷售每支乙種鋼筆可獲利潤3元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【簡析】露出水面前讀數y不變，出水面后y逐漸增大，離開水面后y不變。故選C。

【點撥】本題是跨學科試題，本題考查函數值隨時間的變化問題。注意分析y隨x的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決。

總之，中考中對“數與代數”綜合題的考查，一方面立足于“數與式”、“方程（組）與不等式（組）”、“函數”的核心內容，注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律，使學生經歷從實際問題中建立數學模型、估計、求解、驗證求解的正確性與合理性的過程，實現對“基礎知識與基本技能”的內化；另一方面，中考試題中以問題為載體，通過分解問題的構成要素（條件和結論），分析問題中解的存在性和規律性，尋求不同的解題策略（建模與變式），將數學思維方式融入到對具體問題的探究之中。解答“數與代數”綜合題的關鍵是正確理解并理順題目中已知和未知之間的關系，綜合運用方程（組）、不等式（組）的知識和函數圖象的有關性質建立關系式，從而達到解決問題的目的。endprint

“數與代數”綜合題是初中數學中知識覆蓋面較廣，綜合性較強，解題方法較靈活、多樣的題型之一。縱觀近幾年的中考試題，“數與代數”綜合題是中考試題中較難的題目，要想得高分必須做好這類題，這類題主要以方程（組）、不等式（組）或函數為基礎進行綜合。解題時一般用分析綜合法解，要認真讀題，找準突破口，仔細分析各個已知條件，進行轉化，發揮條件整體作用進行解題。中考中“數與代數”綜合題涉及的知識類別通常是“你中有我，我中有你”，因此不易將它們十分明顯的分類。為了復習方便，我們將其分為四類：

1、以方程（組）為主的“數與代數”綜合題

例1、（2013·婁底）為了創建全國衛生城市，某社區要清理一個衛生死角內的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元。已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數是甲車的2倍，且乙車每趟運費比甲車少200元。

（1）求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟？

（2）若單獨租用一臺車，租用哪臺車合算？

【簡析】（1）假設甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運2x趟，根據總工作效率1-12得出等式方程求出即可；

（2）分別表示出甲、乙兩車單獨運每一趟所需費用，再根據關鍵語句“兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元”可得方程，再解出方程，再分別計算出利用甲或乙所需費用進行比較即可。

【點撥】本題主要考查了分式方程的應用以及一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出相應的方程。

2、以不等式（組）為主的“數與代數”綜合題

例2、（2012·福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分。

（1）小明考了68分，那么小明答對了多少道題？

（2）小亮獲得二等獎（70分～90分），請你算算小亮答對了幾道題？

【簡析】（1）設小明答對了x道題，則有（20-x）道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分是68分，即可得到一個關于x的方程，解方程即可求解；

（2）小亮答對了y道題，則有（20-y）道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分，就是最后的得分，得分滿足大于或等于70小于或等于90，據此即可得到關于y的不等式組，從而求得y的范圍，再根據y是非負整數即可求解。

【點撥】本題通過兩個問題，考查學生列方程、不等式組解決實際問題的能力，體現數學問題源自現實生活，而又為更好地解決現實問題的辯證規律，正確列式表示出最后的得分是本題解題的關鍵。

3、以函數為主的“數與代數”綜合題

（1）函數與方程（組）相結合。

（1）若該專賣店計劃用42000元進貨，則這兩種新款服裝各購進多少件？

（2）若乙的數量不能超過甲的數量的2倍，試問：應怎樣進貨才能使專賣店在銷售完這批服裝時獲利最多？并求出最大利潤。

【簡析】（1）設甲種新款服裝購進x件，表示出乙種新款服裝購進（100-x）件，然后根據進貨款=甲種新款服裝的進貨款+乙種新款服裝的進貨款，列出方程求解即可；

（2）設該專賣店銷售完這批服裝可獲利潤w元，根據獲利等于兩種新款服裝的獲利總和列式整理，再求出x的取值范圍，然后根據一次函數的增減性求出獲利的最大值。

【點撥】本題考查了一次函數的應用，主要利用了一次函數的增減性來解題，理清題目數量關系并列式求出x的取值范圍是解題的關鍵。

（2）函數與不等式（組）相結合

例4、（2013·遂寧）四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在我市隆重開幕，根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務。為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商。經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元。經洽談協商：A公司給出的優惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費。另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人。

【點撥】本題考查了根據已知條件求一次函數的解析式的運用，運用不等式求設計方案的運用，解答本題時根據數量關系求出解析式是關鍵，建立不等式計算優惠方案是難點。

（3）方程（組）、不等式（組）、函數相結合

例5、（2013·攀枝花）某文具店準備購進甲，乙兩種鉛筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元。

（1）求購進甲，乙兩種鋼筆每支各需多少元？

（2）若該文具店準備拿出1000元全部用來購進這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購進甲中鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過乙種鋼筆數量的8倍，那么該文具店共有幾種進貨方案？

（3）若該文具店銷售每支甲種鋼筆可獲利潤2元，銷售每支乙種鋼筆可獲利潤3元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【簡析】露出水面前讀數y不變，出水面后y逐漸增大，離開水面后y不變。故選C。

【點撥】本題是跨學科試題，本題考查函數值隨時間的變化問題。注意分析y隨x的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決。

總之，中考中對“數與代數”綜合題的考查，一方面立足于“數與式”、“方程（組）與不等式（組）”、“函數”的核心內容，注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律，使學生經歷從實際問題中建立數學模型、估計、求解、驗證求解的正確性與合理性的過程，實現對“基礎知識與基本技能”的內化；另一方面，中考試題中以問題為載體，通過分解問題的構成要素（條件和結論），分析問題中解的存在性和規律性，尋求不同的解題策略（建模與變式），將數學思維方式融入到對具體問題的探究之中。解答“數與代數”綜合題的關鍵是正確理解并理順題目中已知和未知之間的關系，綜合運用方程（組）、不等式（組）的知識和函數圖象的有關性質建立關系式，從而達到解決問題的目的。endprint