常微分方程的級數解求法

李洪霞　林鋅

【摘 要】利用無窮級數討論常微分方程的解的形式，級數法對于求解微分方程具有普遍適用性，簡單易行，成為求解微分方程采用的主要方法之一。以一階微分方程級數解為例，展示級數法的有效性，可進一步地將其應用到二階微分方程求級數解問題中。

【關鍵詞】無窮級數；常微分方程；級數解

無窮級數是分析學的重要應用工具，也是高等數學的主要部分.無窮級數在表達函數、研究函數的性質、計算函數值以及求解微分方程等方面有著重要應用。而應用無窮級數求解微分方程是一種最為有效的方法之一。

1 級數法

自然界中許多運動規律可由各種形式的微分方程表示，但17世紀中期由于沒有明確微分與積分的互逆關系，因而沒能求出微分方程的解。而牛頓在《流數簡論》中首次提出依賴于運動學的微積分基本問題，明確提出微分與積分的互逆關系。求解微分方程是從方程的微分形式轉化為相應的積分形式。牛頓受沃利斯《無窮算術》的映像，對函數序列構成級數的系數插值，得到四分之一單位圓面積，利用類比推理和逐項微分的方法得到二項定理，由此為無窮級數的研究開辟了廣闊前景。牛頓發現微分方程具有無窮級數形式的解，此為級數法奠定了基礎。由于對無窮級數的運用自如使牛頓想到借助級數討論微分方程的解法，級數法隨之產生。

2 一階常微分方程級數解法

4 結語

利用級數法求解微分方程，其方法簡便實用，適用范圍較廣，可借助與解析函數的理論進行討論。級數法已成為工程技術中討論線性以及非線性問題的主要方法之一，可廣泛應用于微分方程的求解問題中。級數法與其它求解微分方程方程[4-7]相比，準確性更好，結果可靠，運算速度更快。

參考文獻：

[1]Whiteside D T. The Mathematical Papers of Issac Newton[M].Cambridge ：Cambridge University Press，1967-1981，Vol.II （1670-1673），84-113

[2]克萊因 M. 古今數學思想[M].上海：上?？茖W技術出版社，2002

[3]李文林. 數學史教程[M]. 北京：高等教育出版社，2000.156-160

[4]李洪霞等.一類可修復系統的解的存在唯一性[J].東北電力大學學報，2013，336）：33-36

[5]T.Koto.Stability of Runge-kutta Methods for Delay Integro differential Equation [M].JCAM，2002

[6]張杰等.基于碳排放量的多目標發電調度優化模型的研究及其應用[J].東北電力大學學報，2013，33（6）：5-10

[7]牛新宇，靳曼莉.具Keller-Osserman條件的擬線性橢圓系統的全局爆破解的存在性[J].東北電力大學學報，2013，33（5）：89-98

作者簡介：

李洪霞（1979.01～ ），女，學歷：碩士，職稱：講師，研究方向：常微分方程。endprint

【摘 要】利用無窮級數討論常微分方程的解的形式，級數法對于求解微分方程具有普遍適用性，簡單易行，成為求解微分方程采用的主要方法之一。以一階微分方程級數解為例，展示級數法的有效性，可進一步地將其應用到二階微分方程求級數解問題中。

【關鍵詞】無窮級數；常微分方程；級數解

無窮級數是分析學的重要應用工具，也是高等數學的主要部分.無窮級數在表達函數、研究函數的性質、計算函數值以及求解微分方程等方面有著重要應用。而應用無窮級數求解微分方程是一種最為有效的方法之一。

1 級數法

自然界中許多運動規律可由各種形式的微分方程表示，但17世紀中期由于沒有明確微分與積分的互逆關系，因而沒能求出微分方程的解。而牛頓在《流數簡論》中首次提出依賴于運動學的微積分基本問題，明確提出微分與積分的互逆關系。求解微分方程是從方程的微分形式轉化為相應的積分形式。牛頓受沃利斯《無窮算術》的映像，對函數序列構成級數的系數插值，得到四分之一單位圓面積，利用類比推理和逐項微分的方法得到二項定理，由此為無窮級數的研究開辟了廣闊前景。牛頓發現微分方程具有無窮級數形式的解，此為級數法奠定了基礎。由于對無窮級數的運用自如使牛頓想到借助級數討論微分方程的解法，級數法隨之產生。

2 一階常微分方程級數解法

4 結語

利用級數法求解微分方程，其方法簡便實用，適用范圍較廣，可借助與解析函數的理論進行討論。級數法已成為工程技術中討論線性以及非線性問題的主要方法之一，可廣泛應用于微分方程的求解問題中。級數法與其它求解微分方程方程[4-7]相比，準確性更好，結果可靠，運算速度更快。

參考文獻：

[1]Whiteside D T. The Mathematical Papers of Issac Newton[M].Cambridge ：Cambridge University Press，1967-1981，Vol.II （1670-1673），84-113

[2]克萊因 M. 古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，2002

[3]李文林. 數學史教程[M]. 北京：高等教育出版社，2000.156-160

[4]李洪霞等.一類可修復系統的解的存在唯一性[J].東北電力大學學報，2013，336）：33-36

[5]T.Koto.Stability of Runge-kutta Methods for Delay Integro differential Equation [M].JCAM，2002

[6]張杰等.基于碳排放量的多目標發電調度優化模型的研究及其應用[J].東北電力大學學報，2013，33（6）：5-10

[7]牛新宇，靳曼莉.具Keller-Osserman條件的擬線性橢圓系統的全局爆破解的存在性[J].東北電力大學學報，2013，33（5）：89-98

作者簡介：

李洪霞（1979.01～ ），女，學歷：碩士，職稱：講師，研究方向：常微分方程。endprint

【摘 要】利用無窮級數討論常微分方程的解的形式，級數法對于求解微分方程具有普遍適用性，簡單易行，成為求解微分方程采用的主要方法之一。以一階微分方程級數解為例，展示級數法的有效性，可進一步地將其應用到二階微分方程求級數解問題中。

【關鍵詞】無窮級數；常微分方程；級數解

無窮級數是分析學的重要應用工具，也是高等數學的主要部分.無窮級數在表達函數、研究函數的性質、計算函數值以及求解微分方程等方面有著重要應用。而應用無窮級數求解微分方程是一種最為有效的方法之一。

1 級數法

自然界中許多運動規律可由各種形式的微分方程表示，但17世紀中期由于沒有明確微分與積分的互逆關系，因而沒能求出微分方程的解。而牛頓在《流數簡論》中首次提出依賴于運動學的微積分基本問題，明確提出微分與積分的互逆關系。求解微分方程是從方程的微分形式轉化為相應的積分形式。牛頓受沃利斯《無窮算術》的映像，對函數序列構成級數的系數插值，得到四分之一單位圓面積，利用類比推理和逐項微分的方法得到二項定理，由此為無窮級數的研究開辟了廣闊前景。牛頓發現微分方程具有無窮級數形式的解，此為級數法奠定了基礎。由于對無窮級數的運用自如使牛頓想到借助級數討論微分方程的解法，級數法隨之產生。

2 一階常微分方程級數解法

4 結語

利用級數法求解微分方程，其方法簡便實用，適用范圍較廣，可借助與解析函數的理論進行討論。級數法已成為工程技術中討論線性以及非線性問題的主要方法之一，可廣泛應用于微分方程的求解問題中。級數法與其它求解微分方程方程[4-7]相比，準確性更好，結果可靠，運算速度更快。

參考文獻：

[1]Whiteside D T. The Mathematical Papers of Issac Newton[M].Cambridge ：Cambridge University Press，1967-1981，Vol.II （1670-1673），84-113

[2]克萊因 M. 古今數學思想[M].上海：上?？茖W技術出版社，2002

[3]李文林. 數學史教程[M]. 北京：高等教育出版社，2000.156-160

[4]李洪霞等.一類可修復系統的解的存在唯一性[J].東北電力大學學報，2013，336）：33-36

[5]T.Koto.Stability of Runge-kutta Methods for Delay Integro differential Equation [M].JCAM，2002

[6]張杰等.基于碳排放量的多目標發電調度優化模型的研究及其應用[J].東北電力大學學報，2013，33（6）：5-10

[7]牛新宇，靳曼莉.具Keller-Osserman條件的擬線性橢圓系統的全局爆破解的存在性[J].東北電力大學學報，2013，33（5）：89-98

作者簡介：

李洪霞（1979.01～ ），女，學歷：碩士，職稱：講師，研究方向：常微分方程。endprint