阻尼對摩擦力作用下轉子系統彎扭耦合振動特性的影響

花純利，塔 娜，饒柱石

(上海交通大學 振動、沖擊噪聲研究所 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

燃氣輪機、航空發動機、船舶軸系及各種電動機等旋轉機械被廣泛地用于諸多工業生產部門中，因此旋轉機械的各種異常振動都有可能嚴重威脅機械的安全運轉，甚至可能導致重大的安全事故。旋轉機械的振動破壞事故往往是彎扭振動共同作用的結果，彎曲振動和扭轉振動同時存在于旋轉機械的轉子系統上,它們之間相互耦合,表現出復雜的非線性動力學特征。因此，研究轉子系統在摩擦力作用下表現出的復雜非線性動力學特性對優化轉子系統設計和故障診斷都具有十分重要的意義。

對轉子系統碰摩的研究，已有大量的研究成果。尤其是自上個世紀八十年代以來，許多學者從實驗、數值模擬和理論分析等方面對轉子系統的碰摩響應特性展開了廣泛深入的研究，并發現同頻全周碰摩運動、“跳躍”現象、準周期的局部碰摩運動以及混沌行為[1-5]。轉子系統的彎曲振動與扭轉振動之間存在耦合關系，且其振動特性是彎扭耦合振動共同作用的結果。Tondl[6]于1965年率先提出了彎曲和扭轉振動相互耦合的理論,他通過對轉子系統穩定性的分析研究發現在一些轉速區間內由不平衡引起的振動是不穩定的。Kato等[7]在Jeffcott轉子系統彎扭耦合振動模型中考慮了質量不平衡影響而忽略了重力因素，研究表明質量不平衡是引起彎扭耦合的主要因素。劉占生等[8]對Jeffcott 轉子的非線性彎扭耦合振動微分方程進行了理論分析,得出了在彎扭組合共振區內彎曲振動和扭轉振動的頻率特征。Al-Bedoor[9], Yuan等[10]對碰摩轉子系統的瞬態振動響應特性進行了研究，通過對彎扭耦合模型中彎曲振動響應分析，指出扭轉振動對轉子系統整體動態特性的影響。Patel等[11]以裂紋轉子為研究對象，建立了彎扭耦合振動的非線性運動方程，通過數值仿真發現考慮彎扭耦合后裂紋轉子彎曲振動響應中出現一些新的頻率成分。韓放等[12]通過分析考慮非線性油膜力作用下葉片-轉子-軸承系統的彎扭耦合振動特性，發現系統中蘊含的一些復雜非線性動力學現象。

到目前為止，大部分研究分析中都沒有涉及橡膠軸承的超彈性材料特性及摩擦力與相對滑動速度相關特性，勢必影響分析結果的準確性，因此有必要進一步研究摩擦力作用下轉子-橡膠軸承系統彎扭耦合振動特性。國內外船舶和深井泵等設備中大量使用了橡膠軸承，在運轉過程中特別是在低速重載的工況下常常會出現異常的劇烈振動和鳴音以及橡膠體的磨損較為嚴重的現象，這些現象是與橡膠軸承支承的整個轉子系統的靜態特性和動態響應密切相關的。本文將以橡膠軸承支撐的轉子系統為對象，建立摩擦力作用下轉子系統彎扭耦合非線性動力學模型，并通過數值計算研究系統蘊含的各種復雜非線性動力學行為，為轉子系統異常劇烈振動以及噪聲機理研究提供新思路。

1 模型與運動方程的建立

1.1 摩擦模型

合理的摩擦力學模型是研究轉子-軸承系統在摩擦力作用下動態特性的關鍵。為了能夠準確描述轉子和橡膠軸承間的摩擦行為以及相對低速情況下出現的自激振動現象，本文采用指數模型來描述低轉速工況下的滑動摩擦特性，該模型已在液體潤滑軸承中得到廣泛驗證，其表達式為：

(1)

式中;μs為靜摩擦因數，μc為庫倫摩擦因數，υ為轉子與軸承間的相對滑動速度，λ為衰減系數，sgn(·)為符號函數。

由于摩擦力和摩擦力矩引起轉子彎曲振動和扭轉振動，則轉子和軸承之間的相對滑動速度υ如下式所示：

(2)

1.2 轉子系統動力學模型

轉子系統模型如圖1所示，質量為m轉動慣量為J的三自由度剛性轉盤支撐在剛度為k，阻尼為c，扭轉剛度為kt,扭轉阻尼為ct的無質量的彈性軸上。轉子和軸承之間的間隙為δ，轉子的質心與其幾何中心的距離偏心距為e。圖中，o1為軸承形心位置，o2為轉子形心位置，o3為轉子質心位置，并建立以軸承形心為原點的xo1y固定坐標系。

考慮到橡膠軸承具有非線性特征，計算時同時計入了支承剛度的非線性特性。由于目前尚無實驗數據和理論來準確描述橡膠軸承的支撐剛度特性，因此，其非線性載荷-變形關系參照德國國防軍艦艇建造規范(BV043)，并按下式進行估算：

F=krr+αr2

(3)

其中:F為載荷；r為變形量；kr為軸承剛度值。因此，軸承內環面上轉子-軸承間接觸剛度為kr+αr。

則轉子和橡膠軸承之間的摩擦力和接觸力為：

(4)

圖1 轉子系統模型

將摩擦力和接觸力分解到笛卡爾坐標系 中為：

(5)

式中Θ為Heaveside函數即：

可以看出，碰摩力是轉子位移的非線性函數，轉子在運動過程中將有可能出現不穩定。摩擦力的存在使轉子在碰摩點處受到對轉子形心的摩擦力矩M，有

M=-FτR=-ΘμbFnR

(6)

轉子系統運動是由其平動和轉動這兩種運動形式的合成，由拉格朗日方法可推導出在摩擦力作用下轉子系統彎扭耦合振動微分方程組為

Θμb[kr(u-δ)+α(u-δ)2]R(7)

2 轉子彎曲振動和扭轉振動特性分析

利用四階Runge Kutta法，對式(7)進行數值分析，得到系統在不同轉速下的振動響應特性。為了避免在數值求解中出現不穩定和漏解等問題，本文是通過應用延拓法來擴大收斂范圍。以系統靜態平衡向量為初值，應用延拓法對初值進行修正，并以修正后的向量為計算最低轉速工況下的初值。此后，隨著轉速的逐漸增加，各工況下的計算初值為上一工況下的穩態響應向量。轉子系統主要參數為：m=213 kg,R=0.4 m,J=10 kg·m2,k=75 880 N/m,kt=47 768 N·m/rad,kr=2.5×107N/m,α=2.5×108N/m2,δ=1e-3m,e=1e-3m,ξ=0.04,ξt=0.02,靜摩擦因數μs=0.475，庫倫摩擦因數μc=0.075,衰減系數λ=0.55，則扭轉振動固有頻率ωt0=11 Hz。計算中每一周期積分步長為1/1 000，共計算1 000個周期，舍棄前800個周期，取其后200個周期用來分析。

2.1 轉子系統振動特性分析

圖2為轉子系統彎曲方向響應的分叉圖和三維譜圖，它們描述了系統隨轉速變化彎曲振動特性的變化。從圖中可以看出轉子系統隨著轉速的升高出現了準周期、周期、倍周期和混沌等豐富地非線性動力學現象。

當轉頻ω≤1 Hz時，在三維譜圖中出現的頻率成分以扭轉振動固有頻率11 Hz及倍頻成分為主，頻率成分的幅值隨著轉頻的增大而逐漸增大，由分叉圖知系統彎曲振動出現非周期運動，這些現象在轉頻大于1 Hz時突然消失且振動幅值大幅減小。由圖3(a)可知，在轉頻為0.4 Hz工況下，軸心軌跡的半徑一直大于轉子軸承間間隙因此轉子系統做全周碰摩運動，Poincaré截面圖呈現為一封閉曲線則轉子系統做準周期運動。當轉頻1<ω<11.6 Hz時，在三維譜圖上顯示的頻率成分以轉頻為主且隨轉速的上升逐漸變大，由分叉圖可知系統彎曲振動為周期運動。在圖3(b)中描述了系統在轉頻為4 Hz工況下彎曲方向的響應特性，軸心軌跡的半徑一直大于轉子軸承間間隙因此轉子系統做全周碰摩運動，Poincaré截面圖呈現為一點則轉子系統做周期運動。當轉頻ω≥11.6 Hz時，在三維譜圖上顯示的頻率成分以轉頻及其倍頻為主且隨轉速的上升逐漸變大，由分叉圖知系統彎曲振動的周期運動已經失穩。由圖3(c)可知，在轉頻為14 Hz工況下，軸心軌跡非常雜亂且運動半徑并非總大于轉子與軸承間的間隙，因此轉子系統做局部碰摩運動，Poincaré截面圖中的點雜亂說明轉子系統已經處于混沌狀態。

圖2 轉子系統彎曲方向動力學特性

圖4為轉子系統扭轉方向響應的分叉圖和三維譜圖，它們描述了系統隨旋轉速度變化扭轉振動特性和幅頻特性的變化。從圖中可以看出轉子系統的扭轉振動隨著轉速的升高同樣出現了準周期、周期、倍周期和混沌等豐富地非線性動力學現象。

圖3 轉子系統在不同轉頻下彎曲振動的時域圖、軸心軌跡、相圖和Poincaré截面圖

圖4 轉子系統扭轉方向動力學特性

當轉頻ω≤11.6 Hz時，在三維譜圖上中出現的頻率成分以扭轉振動固有頻率 為主，且其幅值隨著轉頻的增大而逐漸增大，由分叉圖知系統扭轉響應為非周期運動，這些現象在轉頻大于1 Hz時突然消失且振動幅值也大幅減小。由圖5(a)可知，在轉頻為0.4 Hz工況下，在扭轉振動的相圖中呈現明顯的stick-slip現象，這是由于摩擦力矩的速度依賴特性誘導系統扭轉方向的自激振動，且系統通過彎扭耦合作用也將激起彎曲方向的振動。當轉頻1<ω<11.6 Hz時，在三維譜圖上顯示的頻率成分以轉頻為主，隨轉速的上升逐漸變大并在11 Hz轉頻工況下達到最大值，而后隨著轉速的上升逐漸減小，由分叉圖知系統彎曲振動為周期運動。由圖5(b)可知，在轉頻為4 Hz工況下，扭轉的相圖為一橢圓而不再有stick-slip現象，這是由于摩擦力矩速度依賴特性產生的負阻尼小于轉子系統扭轉方向的阻尼，系統將不會出現自激振動，Poincaré截面圖呈現為一點則轉子系統做周期運動。當轉頻ω≥11.6 Hz時，在扭轉響應三維譜圖上顯示頻率成分以轉頻和扭轉固有頻率成分為主，由分叉圖知系統扭轉振動的周期運動已經失穩。由圖5(c)可知，在轉頻為14 Hz工況下，扭轉振動的相圖軌跡無序和Poincaré截面圖中的點雜亂說明轉子系統已經處于混沌狀態。

2.2 橫向彎曲阻尼比對轉子系統響應影響

由于阻尼的存在，轉子系統是一能量耗散系統，可以抑制振動幅值的增大。現在將轉子系統的橫向阻尼比由ξ=0.02增大到ξ=0.1后，以旋轉頻率作為控制變量轉子系統各方向上的分叉圖和瀑布圖將如圖6和圖7所示。

圖5 轉子系統在不同轉頻下扭轉振動的時域圖、相圖和Poincaré截面圖

圖6 轉子系統彎曲方向動力學特性

將圖2、4與圖6、7進行對比可以發現，由于橫向阻尼比的增大，轉軸系統自激振動的轉速范圍并沒有發生明顯變化但是振動幅值減小了，系統周期運動失穩的轉速變大了且在較高轉速下系統的橫向彎曲響應幅值變小，分叉圖中的不動點也較規律了。扭轉方向的振動特性并沒有由于橫向阻尼的增大而有明顯的變化。說明橫向阻尼的變化對轉軸系統在低轉速條件下自激振動形成的條件和扭轉振動特性影響都很小，而對轉軸系統橫向振動特性影響較大。

2.3 扭轉阻尼比對轉子響應的影響

從上面的分析中發現橫向阻尼比的變化對自激振動形成條件沒有影響，現在分析扭轉阻尼比對轉子系統振動特性的影響。若在橫向阻尼比為ξ=0.1條件下將轉子系統的扭轉阻尼比由ξt=0.01增大到ξt=0.02后，轉子系統各方向上的分叉圖和瀑布圖將如圖8和圖9所示。

由圖8～圖9可知，在旋轉頻率ω≤0.6 Hz情況下，由于摩擦力矩的速度依賴特性誘導系統扭轉產生自激振動，且系統通過彎扭耦合而激起彎曲方向的振動。轉子系統在彎曲和扭轉方向的振動幅值隨著轉頻的增大而逐漸增大，并在ω>0.6 Hz轉頻后，系統響應的幅值突然減小并以周期運動形式存在。隨著旋轉頻率的繼續增大，扭轉振動幅值先增大而后減小并在扭轉方向的固有頻率 11 Hz有最大值；而橫向振動幅值不斷增大并逐漸變得不穩定。通過與圖6和圖7對比發現，由于扭轉阻尼比的增大，轉子系統自激振動的轉速范圍和振動幅值均有減小，但是系統周期運動失穩轉速并沒有發生明顯變化。說明扭轉阻尼比是影響轉子系統在低轉速條件下形成自激振動和扭轉振動幅值的一個重要系統參數，但是扭轉阻尼比的變化對轉子系統橫向彎曲振動較高轉頻下的響應特性影響較小。

若將轉子系統的扭轉阻尼比繼續增大，當ξ=0.05時，轉子系統各方向上的分叉圖和瀑布圖如圖10和圖11所示。

圖9 轉子系統扭轉方向動力學特性

由圖10和圖11可知，轉子系統在低轉速條件下并沒有發生自激振動，系統彎曲和扭轉方向響應均以旋轉頻率做周期運動。隨著旋轉頻率的增大，扭轉振動幅值先增大而后減小并在扭轉方向的固有頻率 有最大值；而橫向振動幅值不斷增大并逐漸變得不穩定，轉子系統轉頻的倍頻出現并逐漸增大。通過與圖6～9進行對比可以發現，由于扭轉阻尼比的增大，轉子系統自激振動的轉速范圍減小。當由于速度變化引起扭轉方向負阻尼的模小于扭轉阻尼時，系統將不會出現自激振動現象。

3 結 論

本文以單盤轉子系統為研究對象，考慮橡膠軸承的非線性以及摩擦力的速度依賴性，建立了不平衡轉子系統彎扭耦合非線性動力學微分方程，應用數值方法分析了在摩擦力作用下系統的彎扭耦合振動特性。通過對彎曲和扭轉方向響應的三維譜圖、分叉圖、時域圖、軸心軌跡、相圖以及Poincaré截面圖進行分析可以到出如下結論：

(1) 在小阻尼、低轉速和共振轉速附近條件下，彎扭耦合作用較大。彎扭耦合作用使得彎曲和扭轉方向上的激勵力相互作用和影響，使得轉子系統響應更加復雜。

(2) 在低轉頻的工況下，由于摩擦力的速度依賴性誘導轉子系統扭轉方向的自激振動現象，激起扭轉方向的固有頻率。通過彎扭耦合的作用，轉子系統彎曲振動的響應以扭轉固有頻率及倍頻成分為主。在某一轉頻后自激振動突然消失并引起系統的響應幅值突然大幅度減小。此后，隨著轉頻繼續上升，彎曲和扭轉的響應幅值逐漸增大，扭轉振動在轉頻等于其固有頻率附近產生共振。彎曲振動在某轉頻后全周碰摩失穩而出現局部碰摩運動，系統響應變得復雜，軸心軌跡雜亂，倍頻分量也較大。

(3) 阻尼比系數是影響轉子動態響應特性一個重要系統參數。增大橫向彎曲阻尼比可以加強轉子系統周期運動的穩定性；增大扭轉阻尼比可以有效控制轉子系統產生自激振動現象的轉速范圍和扭轉振動幅值。

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