新課程標準下開展數學“反思學習法”的探究

何玉蘭

（新疆溫宿縣第二中學，新疆 溫宿 843100）

新課程標準下開展數學“反思學習法”的探究

何玉蘭

（新疆溫宿縣第二中學，新疆 溫宿 843100）

《普通高中數學課程標準》（實驗）指出：“高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一”。為了幫助學生形成良好的數學思維習慣，在高一學生中嘗試開展“反思學習法”，通過實驗，實施在例題的方法規律處反思，在易錯處反思，解題后反思的策略，促進學生形成反思習慣，達到培養其數學思維的目的。

新課程標準；數學思維；數學反思

一、問題的提出

高中階段的教學中，我們經常會遇到這樣的現象，學生普遍認為，數學難學，盡管他們學習數學很努力，但很難有成功的喜悅，一些在初中數學成績較好的學生，甚至在中考中數學取得優秀成績的學生，經過高中一段時間的學習后，數學成績卻呈下降趨勢。造成這種現象的原因是多方面的，根據皮亞杰的“發生認知理論”，我們可以看到一個非常重要的原因，就是從初中到高中的過渡時期正是人的思維由具體運演階段過渡到形式運演階段的時期。在這一時期思維要逐漸由接受具體事物向接受抽象理論過渡，而大部分學生進入高一以后不能很好地轉換思維模式，不能適應高中具有高度理性思維的數學學習，他們對老師的例題一聽就懂，可自己解題時，一做就錯或無從下手，他們最愛問的問題是：“老師，你是怎樣想出來的？”這表明學生思維水平相對還比較薄弱，成為制約學生高中數學學習的瓶頸。《普通高中數學課程標準》（實驗）指出：“高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。在數學教育教學實踐中，我們發現存在這樣的普遍規律：數學學困生和數學優秀生在數學成績上產生差異的主要原因是對于數學學習活動缺乏自我意識，對于解決數學問題的過程缺少自我檢驗、自我反思，即主要體現在數學思維水平的差異。我們知道，數學教學的一個很重要的任務，就是教會學生如何解數學題，教會學生“數學的思維”。數學學習的過程，給我們印象最深刻的是不斷地提出問題、研究問題、求解問題。衡量我們學習數學的成效也主要通過解決數學問題的水平來評價。數學解題活動本質上是一種思維活動，它不僅是一個對目標、材料信息的認定、操作過程，而且也是一個積極、自覺地定向、控制、檢查、調節的認知過程，這里的檢查和調節的過程即對解題過程進行反思的過程。從目前的研究來看，關于各類型問題的積累、解題的具體過程、技巧的偏多，而對于學生究竟怎樣思考，他們所遇到的主要困難，學生解題的思維過程和思維模式的分析相對較少。為了能夠讓學生盡快完成思維的過渡，幫助學生形成良好的數學思維習慣，筆者在高一學生中嘗試開展“反思學習

指導法”，旨在著重訓練學生的數學思維，提高解決數學問題的能力。

二、概念界定與理論綜述

“反思學習法”即某節內容學習后，教師及時引導學生回憶和反思教和學的過程，講清教師設計的每一個例題的用意，指出教師設計每個（組）練習題的目的，提出對學生的要求：每次解題之后都要嘗試“解題回顧”，即對自己的解題過程進行自我檢驗；同時糾正不認真反思、不積極思考而等待老師講的壞習慣，培養學生對自己的解題過程進行反思、做出評價的習慣。通過培養反思習慣，使學生有意識地對自己的學習過程進行回顧和檢驗，并逐步形成反思意識，培養學生的理性精神。為什么反思可以優化解題策略，調控解題過程呢？常識告訴我們，數學書不能像小說那樣“看”，而是要邊讀、邊想、邊做，“不拿筆，不讀（數學）書”已成為學數學的常識，為什么？原因很簡單：數學思維不能總是順暢地進行，而是走走停停，曲折前行。在數學解題中，數學教育家波利亞在他的“解題表”中把解題分為四步（如圖）

數學問題的復雜性使解題的每一步都可能“做不下去”，因而形成對前一步的超短反饋回路，而該步“做不下去”，也可能是此前的步驟造成的，因而形成對此前的每一步都可能出現反饋回路，從而形成思維的反復。由于“檢驗回顧”步驟（即反思）擔負著監理整個解題過程（思維過程）的任務，因而形成最多和最好的回路。那么怎樣進行反思呢？對于檢驗回顧步驟，可以就如下一些問題進行反思。這個求解過程是否有問題？有其他解法嗎？有無更好的解法？這種方法或結果能用在別的題目上嗎？這道題為何總解不出，它的反面如何？什么是好的解法？對解的評價問題，可以用如下的標準：第一，嚴格的并且是簡單的；第二，初等的并且是富有新意的（即通過求解或證明，對題目有新的認識）；第三，盡可能是構造性的；第四、自然的，容易想到的；第五，便于推廣使用的（甚至于能概括出新的原則和方法）。

三、培養學生反思意識的具體實施策略

1.在例題的方法規律處反思。“例題千萬道，解后拋九霄”是學生中普遍存在的現象，難以達到提高解題能力、發展思維的目的。因此要培養學生善于在老師的例題解決過程中反思解題的基本方法并予以歸類，總結規律，揣摩技巧，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面。例如：這道必修1《函數》一章的例題。已知二次函數圖像的對稱軸是x=1，圖像經過點（-2，-5），且在x軸上所截取的線段長為4，求這個二次函數的解析式。可以引導學生作如下思考：讀完題目后，馬上想到的解決本題的基本方法有哪些；解題過程中，你的頭腦里是否有一個函數圖像的草圖，你覺得函數圖像草圖在解題過程中的作用是什么；解答本題最好應該用哪種方法；請你檢查解題過程，并把檢查過程寫下來。通過對例題的層層分析，讓學生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關的問題卻有內在的聯系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質的聯系，要質疑為什么有這樣的問題，它和哪些問題有聯系。能否受這個問題的啟發，讓學生在不斷的知識聯系和知識整合中，豐富認知結構中的內容，體驗“反思”帶來的樂趣，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

2.在易錯處反思。學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。教學若能從此切入，進行反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！比如：必修1《函數的奇偶性》的教學中判斷的奇偶性。學生很容易把函數化簡為f（x）=x從而判斷函數為奇函數。當學生犯了這個錯誤時，請他們反思：這個化簡的思路有什么問題，是等價變形嗎？從而引導學生挖掘判斷函數的奇偶性要先從判斷定義域是否關于原點對稱入手，這正是學生容易忽略掉的。引導學生對解錯的問題進行反思，比如：（1）常出現哪些方面的錯誤；（2）出現這些錯誤的原因有哪些；（3）怎樣克服這些錯誤，等等。同學們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學是成功的，學生在準確率、速度等個方面都有極大的提高。關鍵是通過對錯題的反思，培養學生嚴謹求實的作風和縝密的理性思維。

3.解題后反思。解數學題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證。可是一些同學把完成作業當成是趕任務，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去。由此產生大量謬誤。因此要培養學生積極反思、系統小結，使重要數學方法、公式、定理的應用規律條理化，在解題中應用自如、改進過程，尋找解題方法上的創新。在問題解決之后，要不斷地反思：解題過程是否浪費了重要的信息，能否開辟新的解題通道；解題過程多走了哪些思維回路，思維、運算能否變得簡捷；是否拘泥于思維定式，照搬了熟悉的解法等。通過不斷地質疑，不斷改進，讓解題過程更具有合理性、科學性、簡捷性。解題之后，要不斷地探究問題的知識結構和系統性。能否對問題蘊含的知識進行縱向深入的探究？能否加強知識的橫向聯系？把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統的知識“面”。通過不斷地拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性。這樣的反思可以使學生的思維更加系統和深化，對學生的形式運演階段的思維成熟是大有裨益的。

數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學活動的核心和動力。反思過程是主體自覺地對自身認知活動進行回顧、思考、總結、評價、調節的過程。所以反思是認知活動中強化自我意識、進行自我檢驗和自我調節的重要形式。在教學中要培養學生及時檢查自己的學習過程，增強對學習過程和結果進行反思的意識，提高學生檢查和反思的技能，使其養成反思的習慣，能夠自覺地在解題以后總結解題的關鍵和成敗得失，將問題進行推廣和引申，培養對題目蘊含的數學思想方法進行抽象和概括的能力。在不斷的反思中學會獨立思考，學會用數學的思維認識和解決問題，正如為數學思維插上了一雙靈動的翅膀，引領學生在數學的領域里振翅飛翔！

[1][美]G.波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

[2]章建躍.中學生數學學科自我監控能力[M].上海：華東師范大學出版社，2003.

[3]董奇，周勇.關于學生學習自我監控的實驗研究[J].北京師范大學學報（社會科學版），1995，（1）.

[4]潘振嶸.在數學教學中如何培養學生的自我監控能力[J].數學教學研究，2002，（11）.

G632.0

A

1674-9324（2014）13-0232-03

何玉蘭，新疆阿克蘇地區溫宿縣第二中學，中學高級教師。