算子（矩陣）Ky－Fan不等式猜想的一個反例

宋 佳，姜健飛

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620）

算子（矩陣）Ky－Fan不等式猜想的一個反例

宋 佳，姜健飛

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620）

實(shí)數(shù)的幾何平均概念也可推廣到Hilbert空間上的自伴算子（矩陣），但其計(jì)算過程更復(fù)雜.通過矩陣的幾何平均算法研究算子（矩陣）形式的Ky－Fan不等式，給出一個反例說明關(guān)于Hilbert空間上自伴算子（矩陣）的Ky－Fan不等式結(jié)果的猜想不成立.

幾何平均；自伴算子；Lowner－Heinz不等式；Ky－Fan不等式

此即關(guān)于H上自伴算子的Young不等式（這里A≥B?A－B≥0）.式（1）的經(jīng)典證明見文獻(xiàn)［1］，文獻(xiàn)［2］給出了式（1）的初等證法.

式（4）即著名的 Ky－Fan不等式［3］.注意到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，式（4）指出在同樣條件下有

并猜測MiMj＝MjMi（?i，j）的條件是可去的.文獻(xiàn)［5］證實(shí)了這一猜測.

1 關(guān)于H上自伴算子幾何平均算法的探究

討論當(dāng)A和B為兩H上自伴算子（矩陣）時，關(guān)于A與B的幾何平均A＃B的算法，是找到式（8）不成立反例的關(guān)鍵.

1.1 直接法

以上過程即使A和B為2階矩陣，要得到精確值仍十分困難，但通過以下性質(zhì)可降低計(jì)算的難度.

性質(zhì)1.1 設(shè)A，B∈B（H），若A＞0，B≥0，則有

證畢.

1.2 最大值法

性質(zhì)1.2［7］設(shè)A，B∈B（H），若A＞0，B≥0，則有

1.3 關(guān)于2階矩陣的特殊算法

性質(zhì)1.3［7］設(shè)A和B為兩2階正定陣，若det（A）＝det（B）＝1，則有

這里給出一基于性質(zhì)1.1的新證法.

證明 由A＞0，det（A）＝1知?P可逆滿足det（P）＝1使得PTAP＝I.又由PTBP為實(shí)對稱陣，且det（PTBP）＝ ［det（P）］2det（B）＝1知，? 正

這樣由性質(zhì)1.1（ii）及Q為正交陣即得

ST（A＃B）S＝QTPT（A＃B）PQ＝

證畢.

由性質(zhì)1.3易得推論1.1.

推論1.1 若A和B為兩2階正定矩陣，則有

2 關(guān)于H上自伴算子的Ky－Fan不等式的舉例

通過實(shí)例指出關(guān)于數(shù)的Ky－Fan不等式在H上的一種推廣形式的猜想不成立.

從而由推論1.1得

由（ⅰ）和（ⅱ）得

計(jì)算得

得

最后由（3）和（4）得：

得出關(guān)于算子的Ky－Fan不等式的猜想不成立.

上述最終計(jì)算值盡管為負(fù)數(shù)，但數(shù)量級非常小，因此要論證結(jié)果的準(zhǔn)確性：究竟是由于條件自身對A和B的限制使得計(jì)算結(jié)果偏小，還是誤差所致？為此，有必要做相應(yīng)的誤差分析，具體討論如下所述.

其中：0＜εi＜10－5，（i＝1，2，…，6），故有

其中：θ1＝ε1－ε4，θ2＝ε2－ε5，θ3＝ε3－ε6.顯然｜θi｜＜10－5（i＝1，2，3），而

其中

有

故

驗(yàn)證了關(guān)于Hilbert空間上自伴算子（矩陣）的Ky－Fan不等式結(jié)果的猜想（式（8））不成立.而關(guān)于Hilbert上自伴算子（矩陣）的Ky－Fan不等式是否還有其他形式呢？此問題仍懸而未決.

參 考 文 獻(xiàn)

［1］FURUTA T.Invitation to linear operators：From matrices to bounded linear operators on a Hilbert space［M］.London：CRC Press，2001.

［2］XU Y，JIANG J F.A direct proof to Young inequality by operator mean［C］／／Proc of the Ninth International Conference on Matrix Theory and Its Applications.2010：86－88.

［3］WANG C L.On a Ky－Fan inequality of the complementary，A／G type and its variants［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1980，73（2）：501－505.

［4］WANG C L.On development of a Ky Fan inequality of the complementary AG type［J］.J Math Res Exp，1988，8：513－519.

［5］馮慈璜，正定矩陣的Ky－Fan不等式［J］.杭州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)報(bào)，1992，19（2）：129－131.

［6］IANNAZZO B.The geometric mean of two matrices from a computational viewpoint［DB／OL］.（2011－12－30）［2013－06－15］.http：／／arxiv.org／abs／1201.0101

［7］ANDO T，LI C K，MATHIAS R.Geometric means［J］.Linear Algebra and Its applications，2004，385：305－334.

A Counter Example of Conjecture about Ky－Fan Inequality of Operator（Matrix）

SONGJia，JIANGJian－fei
（College of Science，Donghua University，Shanghai 201620，China）

The geometric mean concept about the real number can also be extended to the self－adjoint operators（matrices）in the Hilbert space，but the calculation process under such circumstances is more complicated.The Ky－Fan inequality of operator （matrix）is researched based on the algorithm of geometric mean about matrix.A counter example is provided to show that the result of speculation of Ky－Fan inequality of self－adjoint operators（matrices）in the Hilbert space cannot be established.

geometric mean；self－adjoint operator；Lowner－Heinz inequality；Ky－Fan inequality

O 177.1

A

1671－0444（2014）04－0503－06

2013－07－01

宋 佳（1989—），女，安徽六安人，碩士，研究方向?yàn)樗阕硬坏仁?E－mail：806569045＠qq.com

姜健飛（聯(lián)系人），男，副教授，E－mail：jjf＠dhu.edu.cn