滲透數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)能力

徐芳

2011版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把原來的“雙基”改成了“四基”，增加了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。其中數(shù)學(xué)思想是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想。基本數(shù)學(xué)思想有著四大育人功能：一是有利于完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，二是可以提升學(xué)生的認(rèn)知水平，三是可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，四是有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。這就為數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求，要求數(shù)學(xué)教師必須為兒童的學(xué)習(xí)和個(gè)人發(fā)展提供最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)準(zhǔn)備和發(fā)展方向，促進(jìn)兒童健康成長，使人人獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。教師在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想和方法融為一體，因勢利導(dǎo)，水到渠成，畫龍點(diǎn)睛，有利于發(fā)展學(xué)生的各種能力，關(guān)注學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

一、轉(zhuǎn)化思想為新知識找到一個(gè)合適的生長點(diǎn)

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分。它是從未知領(lǐng)域出發(fā)，通過數(shù)學(xué)元素之間的因果聯(lián)系向已知領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，從中找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，使問題得以解決的一種思想方法。數(shù)學(xué)的任何一個(gè)新知識，都是在原有知識的基礎(chǔ)上發(fā)展和轉(zhuǎn)化而來的。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把新問題轉(zhuǎn)化成一些與之相關(guān)的、學(xué)生比較熟悉的問題，并利用已有的知識和方法加以解決，有利于學(xué)生快速高效地學(xué)習(xí)新知，而已有的知識就是這個(gè)新知的生長點(diǎn)。

以小學(xué)六年級數(shù)學(xué)為例，我們可以用轉(zhuǎn)化的思想推導(dǎo)圓柱和圓錐的體積公式，把圓柱體轉(zhuǎn)化成與之等底等高的長方體，把圓錐轉(zhuǎn)化成與之等底等高的圓柱。前者的長方體和后者中的圓柱就是學(xué)生新知的生長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生把無從下手的新知識從這些生長點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用已有的知識探索出新的結(jié)論，這樣新知識的發(fā)現(xiàn)過程便水到渠成了。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，不僅圖形問題可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，代數(shù)中也運(yùn)用了大量的轉(zhuǎn)化思想。如分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算；異分母的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母的分?jǐn)?shù)，等等，因此教師在教學(xué)過程中要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識，讓學(xué)生學(xué)會(huì)尋找新知識的合適生長點(diǎn)。這既能加強(qiáng)舊知識與新知識的聯(lián)系，使所學(xué)知識系統(tǒng)化，又能使各個(gè)知識點(diǎn)之間自然銜接。學(xué)生在自然而然的探索過程中不僅獲得了新的知識，而且學(xué)會(huì)了解決問題的方法，有利于培養(yǎng)能力，對后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的幫助。

二、類比思想為新知識找到一個(gè)關(guān)鍵的突破口

類比是利用兩個(gè)對象的某些相似性，由此對象的某些性質(zhì)或結(jié)論，猜測乃至證明另一對象的相應(yīng)性質(zhì)或結(jié)論，由處理此對象的某些方法，利用相似性移植或稍加改動(dòng)后移植于另一系統(tǒng)，用以處理另一對象的相似的性質(zhì)或結(jié)論。

類比思想可以教會(huì)學(xué)生由此及彼，靈活應(yīng)用知識，因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)問題的解題思路常常是相通的。通過滲透類比思想，學(xué)生能學(xué)會(huì)舉一反三，迅速找到探索新知識的突破口，從而促進(jìn)知識和方法的遷移。六年級數(shù)學(xué)中圓柱的體積公式的推導(dǎo)可以類比圓的面積公式的推導(dǎo)，比的基本性質(zhì)可以類比除法的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算與小數(shù)、整數(shù)的四則運(yùn)算都是可以類比的。例如在分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算的教學(xué)過程中，我把例題■×18+■×18中的■和■轉(zhuǎn)化成0.4和0.6，提出一個(gè)問題：這個(gè)式子你們能計(jì)算嗎？這樣學(xué)生立即就類比到小數(shù)混合運(yùn)算的順序，相當(dāng)于找到了分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算這個(gè)新知識的突破口。有了這個(gè)突破口，學(xué)生就會(huì)舉一反三，在接下來探究分?jǐn)?shù)運(yùn)算律的這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生自然而然地類比小數(shù)或整數(shù)得到：交換律，結(jié)合律，分配律都可以在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中運(yùn)用。從中我們可以看出類比思想的魅力，正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)。”與當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家波利亞所說的一樣：類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。

另外，初中數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)可以類比的知識有很多，如果打好小學(xué)數(shù)學(xué)的知識基礎(chǔ)并注重類比思想的滲透，對于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會(huì)有很大益處，也可以說是真正關(guān)注了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。如在代數(shù)中，與整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算律相類比，可以導(dǎo)出有理數(shù)和整式的運(yùn)算順序和運(yùn)算律；與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)相類比，可以導(dǎo)出分式也具有類似的性質(zhì)，并且可以推出它和分?jǐn)?shù)一樣能夠進(jìn)行化簡、運(yùn)算。

三、特殊到一般為新知識找到一個(gè)合理的探索途徑

一般包含特殊，特殊屬于一般。特殊到一般可以讓學(xué)生從特殊情況出發(fā)，進(jìn)行觀察，分析出它們具有的共同特征，然后探索出一般的結(jié)論。例如比例這一章中的《面積的變化》，是解決一個(gè)圖形按n：1放大后圖形的面積與原圖形面積之間的比。我在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從特殊的長方形、正方形、三角形、圓入手，推廣到所有圖形；比例尺也從特殊的2：1，3：1，4：1推廣到n：1。最終學(xué)生得出一個(gè)一般性的結(jié)論：一個(gè)圖形按n：1放大后，圖形的面積與原圖形面積之間的比為n■：1。從中不難看出特殊到一般這個(gè)活動(dòng)過程為這個(gè)新知識提供了一個(gè)合理的探索途徑。

其實(shí)在學(xué)生的思維中，特殊占據(jù)了很重要的位置，因?yàn)樗N近學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，形象直觀，便于計(jì)算，易于理解。無論是選擇還是填空或者判斷，學(xué)生一旦無從下手時(shí)，首先想到的就是特殊情況，學(xué)生會(huì)拿特殊的數(shù)字，或者特殊情況去計(jì)算、去嘗試、去考慮。所以只要我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)引導(dǎo)，就能把學(xué)生的這種本能激發(fā)出來，讓學(xué)生主動(dòng)地嘗試用特殊到一般的探索途徑，發(fā)展學(xué)生的探索能力。為后續(xù)的初中幾何學(xué)習(xí)中很多從特殊到一般的定理探索提供初步認(rèn)識。

四、猜測驗(yàn)證為新知識找到一個(gè)完善的解釋過程

人類絕大多數(shù)知識的發(fā)現(xiàn)源于“猜想”。新大陸的發(fā)現(xiàn)源于當(dāng)時(shí)人們對地圓說的猜想，牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)源于他對于蘋果落地后產(chǎn)生的一連串的猜想。不僅如此，嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)也可以經(jīng)過合理猜想這一非邏輯手段而得到。如，現(xiàn)已經(jīng)被美國的數(shù)學(xué)家證明了的“四色猜想”，以及至今未得到解決的著名的“哥德巴赫猜想”、“費(fèi)馬猜想”等。由此可見，猜想是一種重要的思維方法，是創(chuàng)新、創(chuàng)造的前奏。

例如：在學(xué)習(xí)圓錐的體積時(shí)，我讓學(xué)生用課本后的模型剪下，做成等底等高圓柱和圓錐，讓學(xué)生先猜測這兩個(gè)物體的體積之間的關(guān)系，然后自己操作放入米或沙通過多次傾倒進(jìn)行驗(yàn)證。課堂上我利用等底等高圓柱和圓錐，借助水進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)，再次驗(yàn)證了之前學(xué)生的猜想，最后由學(xué)生歸納總結(jié)得出：圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的三分之一。可以說猜測驗(yàn)證這一方法為圓錐體積公式的推導(dǎo)給出了一個(gè)完善的解釋過程。這種對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和呈現(xiàn)方式都是開放式的教學(xué)方式，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、活潑地學(xué)習(xí)，能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的個(gè)性，從而進(jìn)一步提高課堂教學(xué)的有效性。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，與新課程倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)的精神相吻合，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更富有個(gè)性化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提高，有助于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展。

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材編排無論是在知識點(diǎn)的安排，內(nèi)容的深度與廣度，還是呈現(xiàn)方式上都是呈螺旋式上升，所以很多小學(xué)的數(shù)學(xué)思想在初中教材中會(huì)有更多的體現(xiàn)。我們在教學(xué)中要注意根據(jù)教材特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，有意識地滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，為學(xué)生的終生學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生更快地融入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。