位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)模型研究*

王國(guó)弢，胡克旭，周禮奎

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院,上海 200092)

位移反應(yīng)譜衰減模型在地震危險(xiǎn)性分析和工程結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)及分析中具有十分重要的意義.通常的統(tǒng)計(jì)分析僅給出阻尼比為5%的位移反應(yīng)譜衰減模型，而實(shí)際結(jié)構(gòu)具有各種阻尼比，對(duì)每一阻尼比都提供一個(gè)衰減模型是不切實(shí)際的，因而需要采用阻尼調(diào)整系數(shù)將阻尼比為5%的位移反應(yīng)譜衰減模型調(diào)整到其它阻尼比的位移反應(yīng)譜衰減模型.在阻尼比為5%的位移反應(yīng)譜衰減模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)阻尼調(diào)整系數(shù)得到其它阻尼比位移反應(yīng)譜衰減模型的合理性及可靠性取決于阻尼調(diào)整系數(shù)的合理性及可靠性.在這方面，國(guó)外已有不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究：如Newmark和Hall[1]，Wu和Hanson[2]及Idriss[3]提出了考慮阻尼比和周期影響的位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)回歸方程，Ashour[4]及Tolis和Faccioli[5]提出了僅考慮阻尼比影響的位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)回歸方程；而國(guó)內(nèi)學(xué)者主要針對(duì)我國(guó)抗震規(guī)范[6-7]中設(shè)計(jì)反應(yīng)譜阻尼調(diào)整系數(shù)的不足，建議了相應(yīng)的改善方法或?qū)ζ溥m用性進(jìn)行了評(píng)價(jià)，如胡聿賢[8]及王曙光等[9]提出了與周期和阻尼比有關(guān)的阻尼調(diào)整系數(shù)，曹加良等[10]對(duì)我國(guó)抗震規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜阻尼調(diào)整系數(shù)進(jìn)行了定性的評(píng)價(jià).以上研究?jī)H考慮了結(jié)構(gòu)自身參數(shù)(主要是自振周期和阻尼)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，并沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)外部因素(如震級(jí)、斷層距、場(chǎng)地條件、地震動(dòng)持時(shí)等)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響.近年來(lái)，不少學(xué)者開(kāi)始對(duì)外部因素的影響進(jìn)行研究，如Lin和Chang[11]研究了場(chǎng)地條件對(duì)位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，對(duì)不同場(chǎng)地類(lèi)別給出了相應(yīng)的阻尼調(diào)整系數(shù)回歸方程，結(jié)果表明，場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響較弱；Bommer和Mendis[12]及Cameron和Green[13]初步探討了矩震級(jí)、斷層距、場(chǎng)地條件和地震動(dòng)持時(shí)等對(duì)位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，但并未進(jìn)行深入定量的分析；Stafford 等[14]則在Bommer和Mendis研究的基礎(chǔ)上，定量地分析了地震動(dòng)持時(shí)對(duì)位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，并提出直接考慮地震動(dòng)持時(shí)的阻尼調(diào)整系數(shù)模型，但由于目前所使用的位移譜衰減模型[15-19]均未包含持時(shí)這個(gè)參數(shù)，所以直接包含地震動(dòng)持時(shí)的阻尼調(diào)整系數(shù)模型不便于工程應(yīng)用.鑒于以往研究的不足，本文首先深入地研究了各種外部因素對(duì)位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)的影響.研究表明：持時(shí)和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)有顯著的影響；斷層距和場(chǎng)地類(lèi)別影響較弱可忽略.然后根據(jù)地震動(dòng)持時(shí)與矩震級(jí)存在正的強(qiáng)相關(guān)性[20]，且譜衰減模型[15-19]中均包含了矩震級(jí)這個(gè)參數(shù)，本文采用非線性回歸分析提出了僅包含矩震級(jí)項(xiàng)的位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)模型.最后通過(guò)模型的殘差分析，驗(yàn)證了提出的模型能間接地考慮地震動(dòng)持時(shí)對(duì)位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)的影響.

1 地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程記錄

本文使用了408條地震地面運(yùn)動(dòng)記錄，這些地面運(yùn)動(dòng)記錄下載于太平洋地震工程研究中心的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)(http:// peer.berkeley.edu/peer ground motion database).地面運(yùn)動(dòng)記錄的相對(duì)能量持時(shí)[21](D5-95)分布在1.4～80.3 s之間，矩震級(jí)(Mw)分布在5～8之間，觀測(cè)點(diǎn)到斷層破裂面的最近距離(Rrup)分布在0.1～100 km之間，地表厚度30 m內(nèi)平均剪切波速(Vs,30)分布在116.3～2 016.1 m/s之間，峰值地面加速度(PGA)分布在0.1～1.434 5 g之間.

2 阻尼調(diào)整系數(shù)的概率分布

位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)被定義為：

(1)

式中:DSF為位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)；ξ為阻尼比；T為單自由度體系的自振周期；SD(ξ,T)為ξ≠5%，周期為T(mén)時(shí)彈性單自由度體系的位移譜值；SD(5%,T)為ξ=5%，周期為T(mén)時(shí)彈性單自由度體系的位移譜值.通常可以認(rèn)為在指定周期和阻尼比處的位移譜值服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布[22]，對(duì)式(1)兩邊取自然對(duì)數(shù)有：

ln (DSF(ξ,T))=ln (SD(ξ,T))-ln (SD(5%,T))．

(2)

由式(2)可知，如果SD(ξ,T)與SD(5%,T)不相關(guān)，則ln(DSF(ξ,T))服從正態(tài)分布，DSF服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.但是SD(ξ,T)與SD(5%,T)是相關(guān)的，所以在理論上DSF并不嚴(yán)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.根據(jù)本文的分析，在T∈[0.1, 7.5]的范圍內(nèi)，ln(DSF(ξ,T))與正態(tài)分布曲線擬合得較好；而在此周期范圍外，擬合結(jié)果并不理想，如圖1所示.圖 1給出了ξ=2%時(shí)，在T=0.2 s和1 s處，ln(DSF)數(shù)據(jù)點(diǎn)的直方圖、累積分布函數(shù)曲線圖及相應(yīng)的正態(tài)分布函數(shù)的擬合結(jié)果.

圖1 阻尼調(diào)整系數(shù)自然對(duì)數(shù)的分布和擬合曲線

在指定的周期和阻尼比處，本文認(rèn)為阻尼調(diào)整系數(shù)近似地服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并取回歸模型為：

ln(DSF)=μ(ξ,T,X)+ε．

(3)

式中：μ(ξ,T,X)為ln(DSF)的期望；X為對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)有顯著影響的外部因素向量；ε為隨機(jī)誤差且ε～N(0,σ2)；σ2為方差.由于阻尼調(diào)整系數(shù)近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，以下的統(tǒng)計(jì)分析中均采用阻尼調(diào)整系數(shù)的中值.

3 外部因素對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響分析

本文采用軟件SeismoSignal對(duì)每條輸入地震波分別計(jì)算了11個(gè)阻尼比下的位移譜，這11個(gè)阻尼比分別為：0.5%，1%，2%，3%，5%，7%，10%，15%，20%，25%和30%.對(duì)每個(gè)阻尼比，單自由度體系取如下20個(gè)周期：0.02，0.04，0.06，0.08，0.10，0.14，0.20，0.24，0.30，0.40，0.50，0.60，0.80，1.00,2.00,3.00,4.00,5.00,7.50和10.00 s.然后再根據(jù)式(1)，對(duì)每條輸入地震波求得各阻尼比下的位移譜阻尼調(diào)整系數(shù).

3.1 地震動(dòng)持時(shí)的影響

工程中對(duì)于地震動(dòng)持時(shí)有各種不同的定義，本文采用的持時(shí)為相對(duì)能量持時(shí)[21]D5-95，即從地震動(dòng)能量達(dá)到總能量的5%開(kāi)始至達(dá)到總能量的95%為止所經(jīng)歷的時(shí)間.總能量定義為地面加速度平方的積分，即Arias強(qiáng)度[23].

為了研究D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，本文作出了不同周期和阻尼比處的阻尼調(diào)整系數(shù)與D5-95之間的散點(diǎn)圖.限于篇幅，圖2僅給出了周期T=0.2 s和3 s時(shí)，分別在阻尼比ξ=0.5%，2%，10%和20%處，阻尼調(diào)整系數(shù)與D5-95之間的散點(diǎn)圖.圖2中直線為阻尼調(diào)整系數(shù)和D5-95的線性擬合線，其斜率表明了D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響程度.由圖2可知，D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響與周期和阻尼比有關(guān)：在短周期范圍內(nèi)(如T=0.2 s，見(jiàn)圖2(a)～(d))，D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)無(wú)顯著影響，而在短周期范圍外(如T=3 s,見(jiàn)圖2(e)～(h))，當(dāng)ξ<5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)隨D5-95的增加而增加，且阻尼比越小這種趨勢(shì)越明顯；當(dāng)ξ>5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)隨D5-95的增加而減小，且阻尼比越大這種趨勢(shì)越明顯.圖2還表明了阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比存在異方差性，即隨著阻尼比越遠(yuǎn)離5%，阻尼調(diào)整系數(shù)的離散程度越大.

圖2 相對(duì)能量持時(shí)D5-95與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖

3.2 矩震級(jí)的影響

為了研究矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，本文將地面運(yùn)動(dòng)記錄按矩震級(jí)分為3組(見(jiàn)表1).

表1 基于矩震級(jí)的地面運(yùn)動(dòng)記錄分組

圖3為阻尼比ξ=0.5%,3%,7%和30%時(shí)，不同矩震級(jí)分組的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的變化情況.由圖3可知，矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響與周期和阻尼比有關(guān)：在T<～0.6 s的范圍內(nèi)，當(dāng)ξ<5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的增加而線性增加；當(dāng)ξ>5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的增加而線性減小；在該范圍內(nèi)，矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值無(wú)顯著影響，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值基本相同.在T>～0.6 s的范圍內(nèi)，當(dāng)阻尼比ξ<5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的增大而減小，減幅隨矩震級(jí)的增大而趨緩，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨矩震級(jí)的增大而增大；當(dāng)ξ>5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的增大而增大，增幅隨矩震級(jí)的增大而趨緩，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨矩震級(jí)的增大而減小；阻尼比越遠(yuǎn)離5%，上述現(xiàn)象越明顯.

圖3 矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期變化的影響

圖4給出了T=3 s時(shí)，分別在阻尼比ξ=0.5%,2%,10%和20%處，矩震級(jí)與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖.圖4中直線為矩震級(jí)和阻尼調(diào)整系數(shù)的線性擬合線,其斜率表明了矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響程度.此外，由圖4可見(jiàn)，阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比存在異方差性.由圖4與圖2(e)～(h)的直線斜率對(duì)比可知，矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響程度與D5-95對(duì)其的影響程度基本相當(dāng).

圖4 矩震級(jí)與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖

3.3 斷層距的影響

工程中一般采用震源距、震中距或斷層距來(lái)考慮地震波傳播途徑對(duì)地震動(dòng)的影響.本文采用斷層距來(lái)考慮傳播途徑的影響，采用的斷層距為觀測(cè)點(diǎn)到斷裂面的最近距離(Rrup).

為了研究斷層距Rrup對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，本文將地面運(yùn)動(dòng)記錄按斷層距Rrup分為3組(見(jiàn)表2).

表2 基于斷層距的地面運(yùn)動(dòng)記錄分組

圖5為阻尼比ξ=0.5%,3%,7%和30%時(shí)，不同斷層距Rrup的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的變化情況.由圖5可知，Rrup對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響與周期和阻尼比有關(guān)：在T<～0.6 s的范圍內(nèi)或當(dāng)阻尼比接近5%時(shí)(如ξ=3%和7%時(shí))，Rrup對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值無(wú)顯著影響，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值基本相同；在T>～0.6 s的范圍內(nèi)，當(dāng)阻尼比ξ<5%且遠(yuǎn)離5%時(shí)(如ξ=0.5%時(shí))，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨Rrup的增大而增大；當(dāng)ξ>5%且遠(yuǎn)離5%時(shí)(如ξ=30%時(shí))，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨Rrup的增大而減小.與矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響相比，Rrup對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響較弱.

圖5 斷層距對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期變化的影響

圖6給出了T=3 s時(shí)，分別在阻尼比ξ=0.5%，2%，10%和20%處，Rrup與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖.圖6中直線為Rrup和阻尼調(diào)整系數(shù)的線性擬合線，其斜率表明了Rrup對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響程度.此外，由圖6可見(jiàn)，阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比存在異方差性.將圖6中的直線斜率分別與圖2(e)～(h)和圖4中的直線斜率對(duì)比可知，與D5-95和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響相比，Rrup對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響較弱.

圖6 斷層距與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖

3.4 場(chǎng)地類(lèi)別的影響

為了研究場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，本文按ASCE 7-10[24]中的場(chǎng)地分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)將場(chǎng)地分為A, B,C,D和E 五類(lèi)，各類(lèi)場(chǎng)地與我國(guó)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50011-2010中的場(chǎng)地類(lèi)別的對(duì)應(yīng)關(guān)系可參見(jiàn)文獻(xiàn)[25].地面運(yùn)動(dòng)記錄按場(chǎng)地類(lèi)別的分組見(jiàn)表3.

表3 基于平均剪切波速的地面運(yùn)動(dòng)記錄分組

由于A類(lèi)場(chǎng)地上的記錄較少，表3中將A和B類(lèi)場(chǎng)地上的記錄歸為一組；E類(lèi)場(chǎng)地上的記錄過(guò)少，統(tǒng)計(jì)分析時(shí)未予考慮.圖7為阻尼比ξ=0.5%，3%，7%和30%時(shí)，不同場(chǎng)地類(lèi)別的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期的變化情況.由圖7可知，場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響與周期和阻尼比有關(guān)：在T<～0.6 s的范圍內(nèi)或當(dāng)阻尼比接近5%時(shí)(如ξ=3%和7%時(shí))，場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值無(wú)顯著影響，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值基本相同；在T>～0.6 s的范圍內(nèi)，當(dāng)阻尼比ξ<5%且遠(yuǎn)離5%時(shí)(如：ξ=0.5%時(shí))，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨地表厚度30 m內(nèi)平均剪切波速Vs,30的減小(AB類(lèi)場(chǎng)地變化到D類(lèi)場(chǎng)地)而增大；當(dāng)ξ>5%且遠(yuǎn)離5%時(shí)(如：ξ=30%時(shí))，各周期點(diǎn)處的阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨Vs,30的減小(AB類(lèi)場(chǎng)地變化到D類(lèi)場(chǎng)地)而減小.與矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響相比，場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值的影響較弱.

圖7 場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期變化的影響

圖8給出了T=3 s時(shí)，分別在阻尼比ξ=0.5%，2%，10%和20%處，地表厚度30 m內(nèi)平均剪切波速Vs,30與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖.圖8中直線為Vs,30和阻尼調(diào)整系數(shù)的線性擬合線，其斜率表明了Vs,30對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響程度.此外，由圖8可見(jiàn)，阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比存在異方差性.將圖8中的直線斜率分別與圖2(e)～(h)和圖4中的直線斜率對(duì)比可知，與D5-95和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響相比，場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響較弱.

圖8 平均剪切波速與阻尼調(diào)整系數(shù)之間的散點(diǎn)圖

4 考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型

根據(jù)以上分析，持時(shí)和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)影響顯著，而斷層距和場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響較弱，可忽略，因此合理的阻尼調(diào)整系數(shù)模型應(yīng)能體現(xiàn)持時(shí)和矩震級(jí)的影響.由于在目前所使用的位移譜衰減模型[15-19]中均未包含持時(shí)這個(gè)參數(shù)，為便于工程應(yīng)用，本文在阻尼調(diào)整系數(shù)模型中僅考慮矩震級(jí)這個(gè)變量，并通過(guò)矩震級(jí)與持時(shí)的相關(guān)性來(lái)間接考慮持時(shí)的影響.

4.1 不考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)殘差隨矩震級(jí)的分布

為了確定考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型，本文首先計(jì)算了不考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)的殘差，作出殘差隨矩震級(jí)的分布，然后根據(jù)其分布來(lái)確定阻尼調(diào)整系數(shù)回歸方程的形式.殘差采用式(4)計(jì)算：

(4)

式中：ξj和Ti為代表第j個(gè)阻尼比和第i個(gè)周期點(diǎn)處的值；ln[DSF(ξj,Ti)k]為在ξj和Ti處阻尼調(diào)整系數(shù)DSF(ξj,Ti)的第k個(gè)數(shù)據(jù)值的自然對(duì)數(shù)．

(5)

將計(jì)算出的殘差按矩震級(jí)分為9組，計(jì)算每組殘差的均值.按矩震級(jí)分組的情況為：5≤Mw<5.3，5.3≤Mw<5.6，5.6≤Mw<5.9，5.9≤Mw<6.2，6.2≤Mw<6.5，6.5≤Mw<6.8，6.8≤Mw<7.1，7.1≤Mw<7.4和Mw≥7.4.限于篇幅，圖9僅給出了在T=0.1 s和3 s處，ξ=2%和20%時(shí)，殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布，在T<～0.6 s范圍內(nèi)，各周期點(diǎn)處的殘差隨矩震級(jí)的分布與T=0.1 s處基本相同；在T>～0.6 s范圍內(nèi)，各周期點(diǎn)處的殘差隨矩震級(jí)的分布趨勢(shì)與T=3 s處基本相同；以下類(lèi)同，不再贅述.圖中實(shí)心方點(diǎn)代表每組殘差的均值，實(shí)線為均值的連線，表明了殘差隨矩震級(jí)的變化趨勢(shì).由圖9可知，在T=0.1 s處，各阻尼比下的殘差基本隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)，這表明了在T<～0.6 s范圍內(nèi)矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)沒(méi)有顯著的影響；在T=3 s處，各阻尼比下的殘差相對(duì)于矩震級(jí)近似呈直線分布，表明在T>～0.6 s范圍內(nèi)矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)有顯著的影響.可見(jiàn)，通過(guò)殘差分析所反映的矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響與前文的分析結(jié)果是一致的.

圖9 不考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)中值的殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布

4.2 考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)的回歸方程

由于在長(zhǎng)周期范圍內(nèi)，不考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)的殘差相對(duì)于矩震級(jí)近似呈直線分布，為了改善長(zhǎng)周期處殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布，在指定周期點(diǎn)Ti處，本文將回歸方程取為矩震級(jí)Mw的線性函數(shù)：

μ(ξ,Ti,Mw)=b0(Ti)+b1(Ti)lnξ+

b2(Ti)(lnξ)2+[b3(Ti)+b4(Ti)lnξ+

b5(Ti)(lnξ)2]Mw．

(6)

式中：阻尼比取百分號(hào)中的整數(shù)(如阻尼比為2%，取ξ=2).在每個(gè)周期點(diǎn)處，采用SPSS統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行多元非線性回歸分析，可得到每個(gè)周期點(diǎn)處式(6)中各參數(shù)的估計(jì)值.20個(gè)周期點(diǎn)處b0～b5各參數(shù)估計(jì)值列于表4.根據(jù)表4、式(6)和式(4)可求得在ξj和Ti處每個(gè)數(shù)據(jù)與包含了線性震級(jí)項(xiàng)的回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布.圖10為在T=0.1 s和3 s處，ξ=2%和20%時(shí)， 殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布.對(duì)比圖9和圖10可知：在T=0.1 s處，殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布與不考慮矩震級(jí)影響時(shí)基本相同，再次說(shuō)明了T<～0.6 s范圍內(nèi)矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)無(wú)顯著影響，各阻尼比的殘差隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)；在T=3 s處，殘差相對(duì)于矩震級(jí)不再具有直線分布，各阻尼比下的殘差隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)(見(jiàn)圖10)，這說(shuō)明本文回歸模型的合理性且能反映出在T>～0.6 s范圍內(nèi)矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響.圖11為在ξ=0.5%和30%處，按式(6)(取Mw=5.5，6.5和7.5)所計(jì)算的阻尼調(diào)整系數(shù)中值與表1中分組Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ所計(jì)算的阻尼調(diào)整系數(shù)中值的對(duì)比.由圖11可見(jiàn)，兩者吻合得較好且本文模型能體現(xiàn)矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)中值隨周期變化趨勢(shì)的影響.

圖10 本文模型的殘差相對(duì)于矩震級(jí)的分布

圖11 本文模型計(jì)算得到的阻尼調(diào)整系數(shù)中值與不同矩震級(jí)分組的阻尼調(diào)整系數(shù)中值的對(duì)比

4.3 模型標(biāo)準(zhǔn)差

由式(2)得：

μln (SD(ξ,T))=μln (SD(5%,T))+μln (DSF(ξ,T))，

(7)

(8)

式中：μln(SD(ξ,T))，μln(SD(5%,T))，μln(DSF(ξ,T))，σln(SD(ξ,T))，σln(SD(5%,T))和σln(DSF(ξ,T))分別為ln(SD(ξ,T))，ln(SD(5%,T))和ln(DSF(ξ,T))的期望和標(biāo)準(zhǔn)差；ρ為ln(SD(5%,T))和ln(DSF(ξ,T))之間的相關(guān)系數(shù).

由式(3)可知，要得到阻尼調(diào)整系數(shù)的概率分布還必須要確定阻尼調(diào)整系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σln(DSF(ξ,T))；由式(7)和式(8)可知，要得到阻尼比不同于5%的位移譜的概率分布除了要確定阻尼調(diào)整系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σln(DSF(ξ,T))外，還需要確定相關(guān)系數(shù)ρ.由于本文主要研究位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)模型，對(duì)于相關(guān)系數(shù)ρ的確定將另作文章論述.

在式(6)中，令：

a=b0(Ti)+b1(Ti)lnξ+b2(Ti)(lnξ)2，

b=b3(Ti)+b4(Ti)lnξ+b5(Ti)(lnξ)2．

可得一元線性方程：

μ(ξ,Ti,Mw)=a+bMw．

(9)

對(duì)于一元線性方程，在Ti和ξj處，模型標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)可用式(10)[26]計(jì)算：

(10)

在指定的周期Ti處，用式(10)可求得11個(gè)阻尼比處標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，然后本文采用式(11)的函數(shù)形式來(lái)擬合標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值與阻尼比之間的關(guān)系：

(11)

式(11)中，阻尼比取百分號(hào)中的整數(shù)(如阻尼比為2%，取ξ=2).在每個(gè)周期點(diǎn)處，采用SPSS統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行非線性回歸分析，可得到每個(gè)周期點(diǎn)處a0～a3各參數(shù)的估計(jì)值(見(jiàn)表4).圖12給出了在T=0.1 s和3 s處，標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值與阻尼比之間的關(guān)系及式(11)的擬合結(jié)果，由圖可見(jiàn)擬合結(jié)果較好，且式(11)能合理地反映阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比的異方差性.

圖12 標(biāo)準(zhǔn)差與阻尼比之間的關(guān)系及標(biāo)準(zhǔn)差的擬合曲線

綜上，本文提出的考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型為：

ln(DSF)=b0(Ti)+b1(Ti)lnξ+

b2(Ti)(lnξ)2+[b3(Ti)+b4(Ti)lnξ+

b5(Ti)(lnξ)2]Mw+ε．

(12)

表4 模型回歸系數(shù)

5 本文模型對(duì)持時(shí)影響的間接考慮

以下通過(guò)殘差分析來(lái)驗(yàn)證本文所提出的阻尼調(diào)整系數(shù)模型(式(12))對(duì)地震動(dòng)持時(shí)影響的體現(xiàn).首先將4.1節(jié)和4.2節(jié)計(jì)算的殘差按相對(duì)能量持時(shí)D5-95分為9組，計(jì)算每組殘差的均值.按D5-95分組的情況為：ln(D5-95)≤1.7，1.73.8.然后分別作出不考慮矩震級(jí)影響的殘差和本文回歸方程(式(6))的殘差隨D5-95的分布.圖13為在T=0.1 s和3 s處，ξ=2%和20%時(shí)，不考慮矩震級(jí)影響的殘差相對(duì)于D5-95的分布.可以看出，在T=0.1 s處，各阻尼比下的殘差基本隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)，這表明了在短周期范圍內(nèi)D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)沒(méi)有顯著的影響；在T=3 s處，各阻尼比下的殘差相對(duì)于D5-95呈曲線分布，這表明了在短周期范圍外D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)有顯著的影響.

圖13 不考慮矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)中值的殘差相對(duì)于相對(duì)能量持時(shí)的分布

圖14為在T=0.1 s和3 s處，ξ=2%和20%時(shí)，式(6)的殘差相對(duì)于D5-95的分布.對(duì)比圖13和圖14可知：在T=0.1 s處，殘差相對(duì)于D5-95的分布與不考慮矩震級(jí)影響時(shí)基本相同，再次說(shuō)明在短周期范圍內(nèi)D5-95對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)無(wú)顯著影響，各阻尼比的殘差隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)；在T=3 s處，本文提出的包含線性矩震級(jí)項(xiàng)的回歸方程極大地改善了該處殘差相對(duì)于D5-95的分布，使得殘差相對(duì)于D5-95不再呈曲線分布，殘差基本隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)，說(shuō)明了本文模型能體現(xiàn)短周期范圍外地震動(dòng)持時(shí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響.

圖14 本文模型的殘差相對(duì)于相對(duì)能量持時(shí)的分布

根據(jù)以上分析，由于矩震級(jí)與地震動(dòng)持時(shí)的強(qiáng)相關(guān)性，本文所提出的包含線性矩震級(jí)項(xiàng)的阻尼調(diào)整系數(shù)模型能體現(xiàn)地震動(dòng)持時(shí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響.此外，由于譜衰減模型[15-19]中通常都包含了矩震級(jí)這個(gè)參數(shù),所以本文模型更便于工程運(yùn)用.

6 結(jié) 論

基于408條地震地面運(yùn)動(dòng)記錄，研究了地震動(dòng)持時(shí)、矩震級(jí)、斷層距和場(chǎng)地類(lèi)別對(duì)位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，并在此基礎(chǔ)上提出了能體現(xiàn)地震動(dòng)持時(shí)和矩震級(jí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)回歸模型，得出以下結(jié)論：

1)相對(duì)能量持時(shí)D5-95和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響與周期和阻尼比有關(guān).在短周期范圍內(nèi)，D5-95和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)無(wú)顯著影響.在短周期范圍外，D5-95和矩震級(jí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響顯著；當(dāng)ξ<5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)隨D5-95和矩震級(jí)的增加而增加；當(dāng)ξ>5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)隨D5-95和矩震級(jí)的增加而減小；阻尼比越遠(yuǎn)離5%，上述阻尼調(diào)整系數(shù)隨D5-95和矩震級(jí)變化的趨勢(shì)越顯著.

2)在短周期范圍內(nèi)，觀測(cè)點(diǎn)到斷層面的最近距離(Rrup)和場(chǎng)地類(lèi)別(Vs,30)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)均無(wú)顯著影響.在短周期范圍外，當(dāng)ξ<5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)隨Rrup的增加或隨Vs,30的減小而增加，當(dāng)ξ>5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)隨Rrup的增加或隨Vs,30的減小而減小，但與持時(shí)和矩震級(jí)的影響相比，Rrup和Vs,30的影響較弱.

3)阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比存在異方差性；阻尼比越遠(yuǎn)離5%時(shí)，阻尼調(diào)整系數(shù)的離散程度越大.

4)本文所提出的包含線性震級(jí)項(xiàng)的回歸方程能體現(xiàn)矩震級(jí)和地震動(dòng)持時(shí)對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)的影響，且模型的方差能體現(xiàn)阻尼調(diào)整系數(shù)相對(duì)于阻尼比的異方差性.

5)本文的研究結(jié)果可直接用于阻尼比為5%的位移譜衰減模型，也可為我國(guó)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范的制訂和修改提供參考.

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