基于孔隙介質模型的散體材料樁復合地基沉降分層總和分析方法*

曹文貴，唐旖旎，王江營

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

散體材料樁(如碎石樁、砂石樁等)加固軟土地基或路基是一種廣泛應用的地基加固處理技術，且散體材料樁復合地基沉降分析是地基加固處理與基礎工程設計的重要依據．但是，由于這種地基的明顯不均勻性和應力-應變關系復雜性，使得其沉降分析理論及方法研究還需要深化和完善，有必要對此進行更深入地研究.

目前，復合模量法[1-3]是最為廣泛的復合地基沉降分析方法之一，其基本思路是采用樁土復合模量代替天然地基壓縮模量，再以分層總和法來計算復合地基的沉降，為此，盛崇文[1]利用樁土復合地基的面積置換率，將載荷試驗確定的樁土模量進行簡單的加權平均處理以獲得復合模量；Omine[2]建立了雙重介質模型，在考慮樁與土各向異性基礎上，利用樁土復合地基面積置換率來確定復合模量，王鳳池等[3]考慮了樁長、樁端土性質對復合模量的影響，并利用復合地基樁體承載機理來修正復合模量面積比公式，從而對復合模量進行修正.另外，張定[4]基于碎石樁復合地基變形是豎向變形和橫向變形的疊加，提出了一種樁土復合地基沉降分析方法.雖然上述各種方法獲得了一定的成果，但是，均未體現附加應力和應力歷史對復合地基變形力學參數的影響，而且，須采用壓縮試驗曲線或靜載試驗曲線來描述樁土模量的變化，這給實際工程計算帶來了不便.于是，曹文貴和劉海濤等[5]基于樁土復合地基沉降變形機理及其非線性特征，考慮荷載作用下樁土變形力學參數的變化，建立了剛性基礎下散體材料樁復合地基沉降計算新方法.該方法反映了樁土變形力學參數的變化對復合地基沉降的影響，并且在沉降分析中避免了使用壓縮試驗曲線或靜載試驗曲線來描述模量的變化，使沉降計算過程更公式化.但是，這種方法并未反映樁土泊松比變化對復合地基沉降分析的影響，而且，在研究樁土模量變化規律時忽略了高階變形微量的影響，存在明顯的缺陷.如果在此方法的基礎上合理地解決樁土模量和泊松比變化對沉降分析的影響，必將獲得更為合理的散體材料樁復合地基沉降計算方法，這正是本文研究的核心內容.

為此，本文將考慮散體材料樁復合地基樁與土的孔隙特點，從其變形微觀力學機理研究入手，采用孔隙介質力學理論，通過分別研究樁與土變形力學參數(包括模量和泊松比)的變化規律，來探討散體材料樁復合地基沉降分析新方法，以期完善散體材料樁復合地基沉降分析的理論方法.

1 散體材料樁復合地基沉降分析模型

為了建立散體材料樁復合地基沉降分析模型，首先做如下假定：

1)建筑結構基礎為理想剛性基礎，因此，樁與土的豎向變形是協調相等的.

2)樁與土界面水平或側向變形連續.

3)考慮到散體材料樁具有較強的透水性，孔隙水極易排出，因此，不考慮孔隙水壓力對地基沉降的影響.

因此，為了分析復合地基沉降，只需求出土體的沉降量.于是，基于文獻[5]的研究思路，將散體材料樁復合地基壓縮層分為M1層，設第i壓縮分層產生的豎向變形為Si，于是，總沉降S可視為各壓縮分層豎向變形量之和，即：

(1)

將第i壓縮分層所受附加應力分為M2i級，則該層土體豎向變形Si可視為各級附加應力作用產生的豎向變形量的總和，即：

(2)

式中：dsi為第i壓縮分層厚度；εszij為第i壓縮分層在第j級荷載作用下產生的豎向應變.于是，式(1)亦可改寫為：

(3)

2 樁或土體孔隙介質力學模型

散體材料樁復合地基的樁和土均為孔隙介質體,在荷載作用下，其中孔隙可以被壓縮，即樁或土的體積會發生變化，從而，導致其變形力學參數也會隨之而變化，但是，散體材料樁和土顆粒骨架可視為傳統固體力學研究對象，其變形力學參數為常數[6]，因此，從孔隙介質微觀分析入手，就有可能建立孔隙介質變形力學參數與孔隙介質骨架變形力學參數之間的關系.為此，必須探討孔隙介質體應力與變形分別與顆粒骨架的應力和變形的關系，前者稱為孔隙介質的表觀應力和表觀變形(文獻[6]中稱為視應力和視應變)，后者稱為孔隙介質骨架的實際應力和實際變形，然后據此可建立孔隙介質力學模型，詳細內容如下.

設孔隙介質體(包括樁體與土體)的視應力為σ，孔隙率為n，其顆粒骨架實際應力為σs，由文獻[6]可得它們之間的關系為：

(4)

Lsx=(1-n)Lx，

(5)

(6)

如果令：

(7)

(8)

Δn=n-n′．

(9)

(10)

(11)

(12)

Vs=(1-n)V，

(13)

(14)

如果令：

ΔV=V-V′，

(15)

(16)

(17)

式(17)亦可改寫為：

(18)

Δn=εV(1-n)/(1-εV)．

(19)

將其代入式(10)～(12)可得：

(20)

(21)

(22)

同時，根據彈性力學理論[7]，孔隙介質表觀體應變εV可按式(23)進行計算：

(23)

忽略其中的三階微量，則式(23)亦可改寫為：

(24)

上述即為散體材料樁復合地基孔隙介質力學分析模型，下面將在此基礎上探討樁或土體變形力學參數變化規律.

3 樁與土變形力學參數變化規律

3.1 附加應力作用下樁和土變形力學參數變化規律

1)樁和土泊松比的變化規律

μsij=-εsxij/εszij或μsij=-εsyij/εszij,

(25)

(26)

將式(20)～(22)代入式(26)得：

(27)

再將式(24)及(25)代入式(27)并結合式(26)可得出μsij與νsij之間的關系，即：

(28)

其與文獻[6]結果存在較大差別，文獻[6]認為土體與其顆粒骨架泊松比是相同的即νsij=μsij，顯然不合理，因為它沒有反映土體變形力學參數隨土體變形而變化的特點，而本文得到的相應關系正反映了變形對土體泊松比的影響，因此，本文得到的相應關系更具合理性.

仿照上述推導過程，可得到在第j-1級附加應力增量的作用下該層土體視泊松比μsi(j-1)與土顆粒骨架實際泊松比νsi(j-1)之間的關系，即：

νsi(j-1)=

(29)

由于在第j級附加應力增量作用下該層土體變形分析中采用遞推方法，故式(29)右端各參量均為已知，于是，νsi(j-1)為已知，另外，認為顆粒骨架變形力學參數不變即νsij=νsi(j-1)，則利用式(28)可得：

(30)

式(30)可轉化為關于μsij的一元二次方程，求解該方程并取其合理解可得：

(31)

式中νsi(j-1)采用式(29)計算.式(31)即為附加應力增量作用下第i壓縮分層土體視泊松比變化規律，其為一個遞推公式，因此，必須用到第i壓縮分層土體在附加應力作用之前的初始泊松比μsi0，這將在本文3.2節討論.

仿照土體視泊松比變化規律的研究過程，設第i壓縮分層樁體在第j級附加應力增量作用下產生的豎向和水平向應力增量為σPzij和σPxij，σPyij，相應視應變分別為εPzij和εPxij，εPyij，可推得相應樁體視泊松比μPij的變化規律，即：

μPij=

(32)

其中νPi(j-1)為在第j-1級附加應力增量作用下該層樁體散體材料骨架顆粒實際泊松比，可按式(33)計算：

(33)

式(32)同樣為一個遞推計算公式，遞推計算過程需要的第i壓縮分層樁體在附加應力作用之前的樁體視泊松比μPi0，同樣將在本文3.2節討論.

2)樁或土視模量的變化規律

仿照前述方法，首先對第i地基壓縮分層土體在第j級豎向附加應力增量作用下進行分析，那么采用增量虎克定律描述其應力應變關系為[7]：

(34)

(35)

(36)

式中：Esij和μsij分別為第i壓縮分層土體在第j級豎向附加應力增量作用過程中變形模量和泊松比的平均值.針對土顆粒骨架采用增量虎克定律[7]得：

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

利用式(34)～(42)可得式(43)：

(43)

將式(22)，(25)及(26)代入式(43)，則式(43)可改寫為：

(44)

由于假設土顆粒骨架變形模量為常數，可利用式(44)得到第i地基壓縮分層土體在第j-1級附加應力增量作用下的變形模量Esi(j-1)的計算公式，即：

(45)

令式(44)和(45)中等式右端分別用符號αsij與αsi(j-1)代替，結合兩式可得：

(46)

式(46)即為在附加應力作用下第i壓縮分層土體視變形模量的變化規律.可以看出式(46)同樣要采用遞推方法計算，且需知道視變形模量在附加應力作用之前的初始值Esi0，這將在本文3.2節討論.

另外，由式(44)和(45)可知，第i壓縮分層土體視變形模量的變化會受到土體孔隙率變化的影響，必須討論該層土體在附加應力增量作用下孔隙率變化規律.為此，結合式(24)與(25)可得第j級豎向附加應力增量作用下該層土體視體積應變的另一個表達形式，即：

(47)

將式(47)代入式(19)可得土體孔隙率變化量，即：

(48)

將式(48)代入式(9)可得第i壓縮分層土體在第j級豎向增量附加應力作用后的孔隙率表達式，即：

nsij=

(49)

式(49)也為一個遞推計算公式，須用到第i壓縮分層土體在附加應力作用之前的孔隙率nsi0，這將在本文3.2節討論.

(50)

(51)

式中：nPij為第i壓縮分層樁體在第j級豎向附加應力增量作用下的孔隙率.令式(50)及(51)中等號右端項分別用符號αPij和αPi(j-1)代替，可得附加應力作用下第i壓縮分層樁體變形模量變化規律，即：

(52)

式(52)同樣需采用遞推方法進行計算，其初始值EPi0的取值也將在本文3.2節討論.

附加應力作用下樁體變形模量的變化同樣受其孔隙率變化的影響，仿照式(49)方法可得第i壓縮分層樁體在第j級豎向附加應力增量作用下孔隙率的變化規律，即：

nPij=nPi(j-1)-

(53)

樁體孔隙率的變化同樣需采用遞推方法進行計算，其初始值nPi0的取值也將在本文3.2節進一步討論.

3)樁和土附加應力確定方法

由散體材料樁復合地基沉降分析模型可知，要求得散體材料樁復合地基沉降值，須知道土體所受的應力增量.因為散體材料復合地基中樁與土相互影響，因此，必須從這一力學特點入手，對樁或土體進行受力分析，以求得散體材料樁復合地基的樁土應力比，從而建立散體材料樁復合地基土體所受附加應力的確定方法，具體過程如下.

以土體單元為例探討樁或土的受力情況.本文參考文獻[4,5,8,9]的方法，在第i地基壓縮分層取一個土體單元，在第j級附加應力增量作用下，考慮水平向對稱的情況，即σsxij=σsyij，并且為了分析方便，將土體單元受力變形分解為只發生水平向應變或豎向應變的兩種模型[4,5,8,9]，如圖1所示，于是，各模型應力應變關系如下：

σszij=σszija+σszijb，

(54)

σsxij=σsxija+σsxijb，

(55)

εszij=εszija+εszijb，

(56)

εsxij=εsxija+εsxijb．

(57)

圖1 土體單元受力分析

利用兩種模型分別結合增量虎克定律對土體單元進行分析，根據式(54)，(55)可得土體單元豎向及水平向應力與應變的關系[5]，即：

σszij=Esij[2μsijεsxij+(1-μsij)εszij]/[(1+

μsij)(1-2μsij)]，

(58)

σsxij=Esij(εsxij+μsijεszij)/[(1+μsij)(1-2μsij)]．

(59)

取相應樁體單元進行分析，利用上述方法可得樁體單元豎向及水平向應力與應變關系為[5]：

σPzij=EPij[2μPijεPxij+(1-μPij)εPzij]/[(1+

μPij)(1-2μPij)]

(60)

σPxij=EPij(εPxij+μPijεPzij)/[(1+μPij)(1-

2μPij)]．

(61)

由于散體材料樁復合地基土體所受應力必須考慮樁土相互作用，因此，下面將考慮樁與土所分擔應力的不同，討論土體附加應力的確定方法.設散體材料樁復合地基面積置換率為m，第i壓縮分層在第j級附加應力增量作用下樁與土應力比為Nij(即σPzij/σszij)，根據文獻[4]可得：

εsxij=[m/(m-1)]εPxij．

(62)

剛性基礎下樁與土豎向變形協調相等，即

εPzij=εszij．

(63)

利用式(63)和文獻[4]中樁體橫向變形系數kεij(即-εPxij/εPzij)，式(62)可變為：

εsxij=-kεijεszijm/(m-1)．

(64)

根據文獻[5]結果可推算出土體豎向應變εszij及水平向應變εsxij分別與地基豎向附加應力增量σzij之間的關系，即：

εszij=

(65)

εszij=

(66)

式中：σzij可利用布辛奈斯克解[10]計算得到.由式(65)與(66)可知，散體材料樁復合地基沉降與樁土應力比Nij及樁體橫向變形系數kεij有關，因此，有必要探討Nij與kεij的確定方法.

首先，根據樁土邊界水平向應力連續性可得：

σPxij=σsxij．

(67)

基于樁土模量比KEij(即EPij/Esij)的物理意義[4]，可利用式(46)及(52)求得：

KEij=KEi(j-1)αPijαsi(j-1)/[αsijαPi(j-1)]．

(68)

然后，將式(59)及(61)代入式(67)，并結合KEij的定義，可得：

Fij/KEij=(εPxij+μPijεPzij)/(εsxij+μsijεszij)．

(69)

式中：

Fij=(1+μPij)(1-2μPij)/[(1+μsij)(1-

2μsij)]．

(70)

將式(64)代入式(69)，并考慮kεij定義可得：

kεij=(1-m)(KEijμPij-μsijFij)/[KEij(1-m)

+Fijm]．

(71)

再根據樁土應力比Nij的定義，并利用式(58)和(60)可得：

Nij=KEi(j-1)[2μPijεPxij+(1-

μPij)εPzij]/{Fij[2μsijεsxij+(1-μsij)εszij]}．

(72)

利用式(66)和(67)并考慮kεij定義，化簡式(72)可得：

1-μsij)]．

(73)

可見，利用式(73)可求得相應的樁土附加應力比.

由前述可知，計算復合地基沉降必須求解一系列非線性方程，且須進行反復迭代，下面介紹具體迭代方法.

4)變形參數及最終沉降的求解方法

(ⅰ)首先，設定第i地基壓縮層樁與土在第j級增量荷載作用下的變形力學參數的初始值，其為該層樁土體在第j-1級增量荷載作用下的變形力學參數，同時，樁體橫向變形系數kεij及樁土應力比Nij取該層樁土體在第j-1級增量荷載作用下的kεi(j-1)及Ni(j-1)，即：

(74)

(75)

(76)

(77)

(ⅳ)散體材料樁復合地基沉降計算

確定第i地基壓縮分層在第j級荷載作用下豎向增量應變εszij之后，即可根據式(65)及沉降分析模型求得最終沉降，計算公式為：

(78)

3.2 不同埋深樁和土初始變形力學參數變化規律

一般情況下，散體材料樁復合地基中樁或土的初始變形力學參數可通過室內試驗確定[10]，但是，此時的變形力學參數未考慮不同壓縮分層已完成固結變形的不同，即未考慮地基應力歷史或初始地應力對變形力學參數的影響，因此，必須建立散體材料樁復合地基樁或土初始變形力學參數的確定方法.

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

式中，

(84)

(85)

(86)

由式(81)～(86)可以看出，計算初始變形力學參數是一個遞推計算過程，這里可參照本文3.1節求解方法得到第i地基壓縮分層土體所受初始地應力加載完畢時初始變形力學參數，即：

(87)

(88)

(89)

按照上述思路，同樣可得到考慮初始地應力影響下各壓縮分層樁體初始變形力學參數的確定方法.

4 工程實例分析與驗證

4.1 工程實例1

天津塘沽長蘆鹽廠載荷板試驗資料[11]：載荷板面積為3 m×3 m，下壓四根碎石樁，樁徑0.8 m，樁長9 m，面積置換率m=0.223，樁和土體變形模量分別為4.528 MPa，0.716 8 MPa，樁體泊松比與孔隙率分別為0.25，0.07，土體泊松比與孔隙率分別為0.4，0.58，樁體重度為25 kN/m3，土體重度為18 kN/m3.試驗荷載為88.2 kPa時壓板實測最大沉降為82.0 mm.

計算深度按照規范[12]要求取7 m，可將地基壓縮層分為7層,每層厚度為1 m，將附加荷載及自重荷載均分為20級加載.按3.2節方法計算考慮應力歷史影響后的初始模量Esi0，EPi0，初始泊松比μsi0，μPi0，初始孔隙率nsi0，nPi0，計算結果見表1.將表1中初始變形力學參數代入3.1節，按3.1節方法和式(78)計算地基最終沉降量，同時采用現有其他方法計算，計算結果見表2.

表1 樁土變形模量初始值(1)

表2 復合地基沉降計算結果的比較(1)

4.2 工程實例2

某水庫攔河大壩[13]所在的河床有較深的第4紀沖擊層分布，用振沖碎石樁對地基加固.選取現場試驗中BC-1組載荷試驗曲線進行計算，該載荷板尺寸為1.8 m×1.8 m，樁體直徑為1 m，長度為9 m，按正三角形布樁，面積置換率m=0.24.樁和土變形模量分別為3.5 MPa，1.5 MPa，重度分別為25 kN/m3，20 kN/m3.樁泊松比與孔隙率分別為0.25,0.07，土泊松比與孔隙率分別為0.40，0.52.試驗荷載為108 kPa時壓板實測最大沉降為42.0 mm.

計算深度按照規范[12]要求取9 m，將地基壓縮層分為9層,每層厚度為1 m，將附加荷載及自重荷載均分為20級加載.按實例一計算過程，得樁土變形力學參數初始值見表3，沉降計算結果見表4.

表3 樁土變形模量初始值(2)

表4 復合地基沉降計算結果的比較(2)

從上述工程實例分析的過程和結果可以看出，采用本文方法計算的沉降值更接近地基沉降的實際觀測值，表明本文方法具有較強的合理性和可行性.雖然本文方法與其他方法相比，計算精度雖然沒有明顯提高，但避免了地基土壓縮試驗曲線和經驗系數的使用，還全面考慮了樁土變形力學參數變化對沉降的影響，因而具有明顯的優越性.

5 結 論

1)從樁土受力與微觀變形研究入手，建立了反映樁土表觀變形力學參數與顆粒骨架實際變形力學參數之間關系的孔隙介質模型，較現有相關模型具有更廣泛地應用范圍.

2)考慮剛性基礎下散體材料樁復合地基沉降特點，運用上述孔隙介質分析模型，引進分級加載思想，建立了附加應力和初始地應力對樁土變形力學參數的影響模型.

3)建立了反映樁土變形力學參數非線性變化特征的改進分層總和分析方法，其不僅反映了樁土變形力學參數隨埋深和附加應力變化的特征，而且還能避免壓縮試驗曲線的使用.

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