黏彈性阻尼夾芯板水下聲輻射數值計算

胡昊灝， 商德江

（1．哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，哈爾濱 150001；2．哈爾濱工程大學 水聲工程學院，哈爾濱 150001）

在結構表面敷設黏彈性阻尼層是船舶，飛機等航行器實現被動噪聲控制的重要手段，一般有自由層阻尼和約束層阻尼（俗稱夾芯板）兩種敷設方式。Foin［1］比較了這兩種方式在具有相同黏彈性層厚度時的降噪效果，結果表明在整個分析頻帶內，約束層阻尼的降噪效果都要優于自由層阻尼。

近些年來國內外關于敷設黏彈性阻尼層結構振動與聲輻射的計算主要有兩類方法，第一類是將阻尼層按類似流體的處理方式，白振國等［2－3］在分析敷設覆蓋層的復雜圓柱殼體水下聲輻射時采用了這種方法，該方法優點是計算過程較簡單，但是僅限于自由層阻尼敷設方式（約束層阻尼中剪切波分量不能忽略）。第二類是采用三維彈性理論來描述覆蓋層的動力學特性，陳美霞［4］在計算敷設阻尼材料的雙層圓柱殼聲輻射問題時，采用三維Navier方程來描述阻尼材料的運動，Berry［5］采用類似方法處理了覆蓋黏彈性層的矩形板水下聲輻射問題。三維彈性理論由于對應力－應變的分布沒有作任何近似處理，所得結果精度高，但該方法需要給出三維彈性方程，應力和應變的邊界條件，以及連續性條件，最后聯合求解，這種方法計算量很大，只有在模型層數很少，加載方式，邊界條件等都非常簡單時才有可能求解。由于三維彈性理論計算過于繁瑣，Reddy等［6－7］采用二維彈性理論（假設橫向應力為零）來分析由纖維增強的復合層合板殼的動力學問題。Yin［8］和曹雄濤［9］分別采用基于 Kirchhoff假設的經典層合板理論（CLPT）和基于Mindlin假設的一階剪切形變理論（FSDT）計算了加雙周期肋骨的無限大復合層合板的聲輻射問題。CLPT與FSDT待求未知數較少，計算較快，但是CLPT忽略了剪切形變的影響，僅適合薄板，而FSDT中存在剪切修正因子的確定較為繁瑣的問題，且不滿足板表面應力自由假設。為了避免以上問題Ghinet等［10］采用了更為精確的離散層理論來分析較厚的復合夾層結構的動力學問題，然而該方法的待求未知數隨著所分析層數的增加而增加，不利于提高計算效率。

本文采用二維彈性理論中精度較高的離散層理論來分析黏彈性復合夾芯板的振動與聲輻射特性，并結合傳遞矩陣法［11］將待求未知數的個數降到與單層板相同。需要特別指出的是上一段提到的由纖維增強復合層合板，各層均表現為各向異性，而本文要分析的黏彈性復合夾芯板則是各層均滿足各向同性，因此剛度系數要作相應改變。

1 模型描述

如圖1，一矩形夾芯板，其四邊均簡支于無限大剛性障板上，板上側為無限大水域，下側為真空，考慮其在諧和機械點力激勵下的聲輻射問題。夾芯板的底板和約束層為彈性材料，而芯層為黏彈性材料，各層材料均滿足各向同性。在推導夾芯板動力學方程之前，先對模型作如下假設：

（1）對每一層材料均考慮其橫向位移，膜位移以及剪切位移；

（2）認為各層的橫向位移相等，也就是說沿厚度方向橫向位移為常數；

（3）在各層材料的交界處滿足位移以及剪切應力連續。

圖1 四邊簡支夾芯板示意圖Fig．1 Simply supported sandwich plate

1.1 位移模型

圖2為夾芯板的位移場示意圖，左側為發生形變前的位移分布，右側為底板形變后的位移分布，滿足上文假設的位移場表達式為：

圖2 夾芯板位移場Fig．2 Sandwich plate displacement field

式中：i分別為第i層板沿x，y方向的位移，而則分別為第i層板繞y軸和繞x軸的剪切轉動位移，z（i）為第i層板中性面與底板中性面的距離。

1.2 應力應變場

為了節省篇幅，應變場按如下簡化方法表示：

式中 U1，U2，U3分別代表 u，v，w方向的位移，而 x1，x2，x3則分別為 x，y，z方向坐標。

應力與應變關系滿足胡克（Hooke）定律：

式中的Qij表示各向同性板的剛度系數。材料楊氏模量可表示為復數形式 E＝E0（1＋i*η），η為材料損耗因子。

1．3 位移傳遞矩陣

由假設（3）可知在各層交界處滿足位移連續和剪切應力連續：

由以上連續性關系可以求出第i層與第i＋1層的位移場滿足：

式中

進一步可得到第i層位移場與第1層的位移場之間的關系為：

式中［T］＝［ti－1］［ti－2］…［t1］為各層與底板位移場的傳遞矩陣。

2 夾芯板運動方程

2.1 系統動能

這里通過虛功原理建立系統動力學方程，首先求系統的動能

式中ec為單位面積的動能，將夾芯板各層位移表達式結合約束層及芯層與底板位移傳遞關系（10），可求得僅與底板位移場有關的單位面積系統動能表達式為：

其中系數m1，m2…m13為質量系數

2.2 系統的應變能

系統應變能表達式為：

式中ed為應變能密度，將應力應變關系（5）結合約束層及芯層與底板位移傳遞關系（10），可得到僅與底板位移場變量有關的應變能密度表達式為：

式中 k1，k2…k38為剛度系數。

2．3 外力做功：

式中外力f（x，y）包括兩部分：諧和機械點激勵力F＝以及板表面的流體聲壓載荷P（x，y，t），其表達式可由 Rayleigh積分公式得到：

其中 ρ0為流體密度，k0為聲場波數，w·（x′，y′）為板表面振速分布為板表面上的點與場點的距離。

由式（11），（13），（15）可得到系統的哈密頓函數（Hamiltonian）為

由上文可知，此時的哈密頓函數僅與底板的位移分量

2．4 Rayleigh-Ritz解：

因為夾芯板滿足四邊簡支邊界條件，所以可以將位移形式解設為：

為了書寫簡便，后文中省略了時間因子ejωt。

由虛功原理可知：

式中δ表示變分，將形式解（18）代入上式可得到僅與底板位移模態幅值有關的系統運動方程，此時方程未知數的個數由最初的15個減少到5個，因此起到提高計算效率的作用：

這里為底板的位移場向量，［M］為系統質量矩陣系統復剛度矩陣0，0，0，0｝T為外力激勵。其中示板表面聲壓模態幅值，Zmnpq為聲輻射阻抗，具體表達式可由 Rayleigh積分得到：

直接通過數值方法計算以上四重積分非常繁瑣費時，通過坐標變化令 κ＝x－x′，τ＝y－y′改變積分路徑，可將原來的四重積分化為二重積分［12］，以自輻射阻Rmnmn為例：

其中：

本文采用參考文獻［12］中的方法將式（23）中的二重積分通過極坐標變換結合三角函數積化和差公式化為一組一重定積分，這種方法較傳統的輻射阻抗計算方法［13］，計算效率有較大提高。

求解系統運動方程（20）可得到夾芯板橫向位移模態幅值amn，進一步可得到系統的均方振速以及輻射聲功率表達式。

3 模型驗證與參數分析

3.1 算法驗證

Foin等［1］給出了一四邊簡支的矩形夾芯板均方振速響應曲線，為了驗證本文所給算法的正確性，取與Foin相同的模型進行計算，并比較兩者的結果，同時也將計算結果與用有限元商業軟件ANSYS所得結果對比。夾層板長為1 m，寬為0．3 m，底板和約束層均為鋁板厚度分別為3 mm，0．5 mm，芯層為均勻黏彈性阻尼層，其密度為1 680 kg／m3，楊氏模量為2．6×108Pa，泊松比為0．3，損耗因子為0．6，厚度為0．5 mm，周圍流體為空氣，參考振速級為1，從圖3可以看出本文計算結果與Foin模型的計算結果以及有限元商業軟件ANSYS計算結果均有較好的一致性，從而證明了所給方法可以正確求解夾芯板的動力學問題。

圖3 比較不同方法計算夾芯板均方振速Fig．3 Comparison the mean square velocity of sandwich plate with different methods

在本算例中，頻率為500 Hz時，模態階數m，n分別取15，6時計算結果收斂；1 000 Hz時 m，n分別取23，10收斂；2 000 Hz時 m，n分別取35，14收斂。很顯然系統的收斂性與分析頻率以及結構尺寸有關，分析頻率越高所取的模態階數越大才能滿足收斂性，本算例所分析的頻率范圍取較低的模態階數計算結果已經收斂。

3.2 參數分析

以下算例中所分析模型為一長1 m，寬0．5 m的夾芯板，底板與約束層均為鋼板，厚度分別為0．005 m和0．002 m，芯層為黏彈性橡膠，密度為1 680 kg／m3楊氏模量為2．6×108Pa，泊松比為 0．45，損耗因子 0．6，芯層厚度為 0．01 m，激勵點位置在（0．08 m，0．07 m），輻射聲功率參考級為0．67×10－18W。

從圖4看到，敷設約束阻尼層后，系統的輻射聲功率級有明顯下降趨勢，尤其在中高頻范圍，模態峰值得到了很好的抑制。下面分析影響夾芯板聲輻射的主要參數。

圖4 比較夾芯板與僅有底板時輻射聲功率Fig．4 Comparison sandwich plate sound radiated power with base plate alone

由圖5，增加芯層厚度，在所分析的頻率范圍，能有效降低夾芯板的輻射聲功率級，同時也能抑制大部分的高頻諧振模態，因為增加芯層厚度相當于增加了系統剛度以及單位面積質量，這兩方面的因素都會導致聲輻射下降，且單位面積質量增加會使模態諧振峰值產生偏移。當然，并非芯層厚度越大越好，厚度太大不利于系統輕質設計要求，而且厚度過大時剪切形變對高頻聲輻射會有較大影響，所以合理選取芯層厚度很重要。

圖6為改變芯層楊氏模量時，夾芯板輻射聲功率的變化趨勢，所取的楊氏模量值都是工業黏彈性材料常用到的，當楊氏模量分別取E1＝106（Pa）和E2＝107（Pa）時，兩者輻射聲功率變化很小，這是因為此時芯層楊氏模量與面板楊氏模量（2．6×1011（Pa））所差量級太大，改變芯層楊氏模量對整體影響不大；當楊氏模量取 E3＝2．6×108（Pa）和 E4＝7．8×108（Pa）時，后者的輻射聲功率在中高頻段時要低于前者，且模態峰值得到了有效抑制，這是因為增加芯層楊氏模量同樣會改變系統的剛度。

圖5 芯層厚度對輻射聲功率的影響Fig．5 The effects of core thickness to sound radiated power

圖6 芯層楊氏模量對輻射聲功率的影響Fig．6 The effects of core Young’s modulus to sound radiated power

圖7表明增加芯層材料的損耗因子，能有效降低諧振峰處的聲輻射，但對于非諧振峰處的聲輻射則沒有明顯的改善，且整個頻帶內未出現頻率峰值偏移現象。

圖7 芯層損耗因子對輻射聲功率的影響Fig．7 The effects of core loss factor to sound radiated power

4 結 論

本文采用數值方法建立了含黏彈性材料的復合夾芯板水下振動與聲輻射模型，并驗證了模型的正確性，得到如下結論：

（1）將復合層合板理論中的離散層理論應用于黏彈性復合板能夠正確求解復合夾芯板的動力學問題，通過傳遞矩陣技術結合變分法原理能夠降低運動方程維數，從而提高計算效率。

（2）黏彈性材料的厚度，楊氏模量以及損耗因子是影響夾芯板聲輻射的重要因素，應根據具體工況合理設置以達到噪聲控制的目的。

（3）本文僅討論了四邊簡支邊界條件下的被動約束層夾芯板聲輻射問題，為了擴充解決問題的范圍，對于兩對邊簡支，另兩對邊任意支承的階梯變厚度夾芯板可沿縱向分段離散再次借用傳遞矩陣求解［14］。

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