GOCE梯度數據坐標系轉換及誤差分析*

蘇 勇 范東明 黃 強

(西南交通大學地球科學與環境工程學院，成都 611756)

GOCE梯度數據坐標系轉換及誤差分析*

蘇 勇 范東明 黃 強

(西南交通大學地球科學與環境工程學院，成都 611756)

分析逐點旋轉法模型轉換過程中誤差對轉換結果的影響，給出了梯度張量的轉換策略。處理結果表明，GOCE的姿態誤差滿足設計要求，但GOCE梯度張量觀測數據質量非常差，包含大量的低頻有色噪聲，在轉換前需要對觀測數據進行濾波處理，且采用“移去-恢復”方法能顯著提高梯度數據的轉換精度。

GOCE衛星;引力梯度;梯度張量轉換;逐點旋轉法;誤差分析

目前，有多個機構正致力于利用GOCE觀測數據恢復地球重力場［1－3］。于錦海等［4－5］采用張量不變量法反演得到了相應的GOCE重力場模型。利用張量不變量法解算地球重力場模型對梯度數據所在的坐標系沒有要求，研究的主要對象是梯度張量的不變量，從理論上講不需要考慮梯度數據的坐標轉換問題。但由于GOCE衛星梯度儀設計的原因，GOCE 只能有效給出 VXX、VYY、VZZ、VXZ四個高精度的梯度分量，而無法有效給出VXY、VYZ兩個低精度的梯度分量，因此GOCE任務無法獲取全張量梯度數據。一個直觀簡單的解決辦法是利用已有重力場模型模擬兩個低精度的梯度分量，并替換掉觀測值。但問題是，無法直接模擬梯度儀坐標系GRF中的梯度分量，需要將模擬的其他坐標系中的梯度分量轉換到GRF中，梯度張量數據坐標系的轉換問題無法回避。同時，文獻［4，6］的研究結果表明，張量不變量法對衛星的姿態控制還是有要求的。文獻［7－12］的研究結果表明，逐點旋轉法的轉換效果要優于最小二乘配置法。

利用梯度數據反演地球重力場模型一般有兩種策略［13］:1)觀測數據適應函數模型，將GRF中的梯度數據轉換到其他所需的坐標系中;2)函數模型適應觀測數據，將函數模型轉換到觀測數據所在的坐標系中。由于重力場位系數大多數情況下是在ERF、IRF或LNOF中解算得到的，但GOCE獲取的是GRF中的梯度數據，因此GOCE衛星梯度數據坐標系的轉換就顯得很有必要。本文將主要研究梯度數據或函數模型在各個坐標系中轉換的逐點旋轉法。

1 逐點旋轉法模型

利用逐點旋轉法將梯度張量由一個直角坐標系轉換到另一個直角坐標系的廣義函數模型為［9－10，14－15］:

其中φ、λ分別為衛星質量中心的瞬時經緯度。

其中 r=(x，y，z)，v=(vx，vy，vz)。由此得梯度張量在各個坐標系中的廣義轉換模型為:

2 衛星姿態誤差分析

由于衛星采用磁力矩器控制其飛行姿態，受地球磁場的影響，GRF和LORF兩個坐標系之間存在旋轉。若令3個旋轉角φ為翻滾角，θ為俯仰角，Ψ為偏航角，則:

分析發現，采用磁力矩器控制衛星姿態時，衛星的姿態會出現微小的偏差(偏差反映為3個歐拉角的變化，但最大值不會超過 ±4°［16］)，同時反映出GRF和LORF兩種坐標系極為相近。

假設衛星空間位置在經緯度方向的誤差分別為Δλ、Δφ，忽略非線性項 ΔλΔφ，得 ERF 與 LNOF 之間的轉換矩陣為:

以GOCE衛星為例，假設衛星的定位精度為10 cm，造成經緯度差異的量級約為10－8～10－9rad，則ERF與LNOF之間轉換矩陣的精度只能達到10－8～10－9量級。假設衛星的定位精度為5 cm，造成經緯度差異的量級約為 10－9～10－10rad，則 ERF 與LNOF之間轉換矩陣的精度只能達到10－9～10－10量級。由此可見，ERF與LNOF之間轉換精度的高低直接取決于衛星軌道坐標的精度。若衛星的定位精度為5～10 cm，可以保證引力梯度在ERF和LNOF之間的轉換精度達到10－13～10－14s－2量級。

若兩個直角坐標系的歐拉旋轉角為ξ={α，β，γ}，則式(1)中的轉換矩陣R為:

由于歐拉旋轉角ξ一般較小，近似取sinξ≈ξ，cosξ≈1，并忽略非線性項，得:

將式(12)代入式(2)，并忽略非線性項，化簡后可得:

根據誤差傳播定律，由式(13)得梯度張量各分量的誤差傳播公式為(這里僅給出主對角線的3個分量，其余可類似得到):

可以推知，當姿態角誤差分別為10、20、50角秒時，對主對角線三個梯度分量會造成1×10－12、2×10－12、5 ×10－12s－2的誤差［6］。因此，對于精度達到3×10－12s－2左右的GOCE梯度觀測值而言，衛星的姿態控制誤差是不能忽略的。

由于SST-PSO-2數據中的歷元和EGG-NOM-2數據中的歷元時刻不一樣，為了對EGG-NOM-2中的梯度數據進行坐標系轉換，將SST-PSO-2中的數據內插到與EGG-NOM-2中的歷元相對應的時刻，利用內插后得到的ERF與IRF轉換四元素可以得到將梯度數據從ERF轉換到IRF的轉換矩陣，同時將其與IERS網站上計算得到的ERF轉換到IRF的轉換矩陣進行比較。由圖1可知，利用SST-PSO-2數據中的四元素計算得到的ERF到IRF轉換矩陣的精度達到了10－10左右的量級，可以保證引力梯度在ERF和IRF之間的轉換精度達到10－14～10－15s－2量級，完全滿足GOCE梯度測量的要求。

圖1 ERF到IRF轉換矩陣與IERS計算值之差Fig.1 Conversion matrix from ERF to IRF and differences between IRF values and IERS values

3 梯度張量的轉換策略

利用2009-11-02一天的GOCE幾何學軌道數據，采用EIGEN-5C模型(前300階)和GO_CONS_GCF_2_DIR_R3模型(240階)分別模擬在ERF和IRF中的梯度張量，前者模擬值作為真實值，后者模擬值作為參考值。按照圖2的流程分別采用直接逐點旋轉法和“移去-恢復”逐點旋轉法將ERF中的梯度數據轉換至IRF中，并與模擬的IRF中的梯度值進行比較(圖3)?？梢钥闯觯捎趨⒖贾亓瞿Ｐ偷牟町悾M的參考值和真實值之間的差值在10－12量級(圖3(a));無論是采用直接法(圖3(b))還是“移去-恢復”法(圖3(c))，轉換后的精度均比原始模擬值的精度低，這是由于轉換矩陣存在誤差。但采用“移去-恢復”法進行旋轉的精度要比直接旋轉的精度高一個量級以上，非常接近原始模擬值，可以認為其主要受轉換矩陣精度的影響(即星載恒星敏感器的精度限制)。

圖2 “移去-恢復”法旋轉流程示意圖Fig.2 Schematic diagram of rotation gradients with the“remove-restore”method

圖3 逐點旋轉法的精度Fig.3 Accuracy of pointwise rotation

本文采用的數據為EGG-NOM-2、EGG-TRF-2和SST-PSO-2，選擇的參考重力場模型為GO_CONS_GCF_2_DIR_R3。具體數據處理流程為:首先獲取EGG-NOM-2中每個歷元對應時刻的衛星位置，以EGG-NOM-2中的歷元時間為參考(由于EGG-TRF-2數據是EGG-NOM-2數據經過進一步處理得到的，因此兩者歷元時間一樣)，將SST-PSO-2中的軌道數據和姿態數據內插至與EGG-NOM-2對應的各個歷元。然后沿軌模擬 ERF(或IRF)中的梯度值［16－19］，將模擬的梯度張量轉換至GRF中作為參考引力梯度張量，替換掉兩個低精度的觀測分量VXY、VYZ，同時得到其他分量的擾動引力梯度值。對其他觀測分量的擾動引力梯度值進行帶通濾波，再加上參考引力梯度張量，得到濾波后GRF中的引力梯度張量值。

4 結語

本文給出了梯度張量在不同坐標系中轉換的逐點旋轉模型，并分析了各種誤差對梯度張量轉換的影響，引入“移去-恢復”方法對梯度張量進行轉換?！耙迫?恢復”方法是利用重力場頻譜的可疊加特性，由于GOCE實測梯度數據含有大量的低頻有色噪聲，利用實測數據減去高精度先驗重力場模型的模擬值，可以有效削弱低頻誤差的影響，因此“移去-恢復”方法的轉換誤差要比直接轉換的誤差小。實際處理結果表明，GOCE的姿態轉換矩陣的誤差對梯度張量轉換結果的影響不會超過測量帶寬內的精度，對原始梯度張量觀測值進行濾波處理是必須的，采用“移去-恢復”方法能顯著提高梯度數據的轉換精度。

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2 Pail R，et al.Global gravity field model derived from orbit and gradiometry data applying the time-wise method［C］.ESA Living Planet Symposium，Bergen，Norway，2010.

3 Migliaccio F M，et al.The space-wise approach and first space-wise gravity field model［C］.ESA Living Planet Symposium，Bergen，Norway，2010.

4 于錦海，趙東明.引力梯度不變量與相關邊界條件［J］.中國科學:地球科學，2010，40(2):178 － 187.(Yu Jinhai，Zhao Dongming.The gravitational gradient tensor’s invariants and the related boundary conditions［J］.Science China Earth Science，2010，40(2):178 －187)

5 于錦海，萬曉云.利用引力梯度不變量解算的GOCE引力場模型［J］.中國科學:地球科學，2012，42(9):1 450 －1 458.Yu Jinhai，Wan Xiaoyun.Recovery of the gravity field from GOCE data by using the invariants of gradient tensor［J］.Science China Earth Science，2012，42(9):1 450 －1 458)

6 吳星，等.基于非全張量衛星重力梯度數據的張量不變量法［J］.地球物理學報，2011，54(4):966 －976.(Wu Xing，et al.Method of tensor invariant based on non-full tensor satellite gravity gradients［J］.Chinese Journal of Geophysics，2011，54(4):966 －976)

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致謝 感謝歐空局(ESA)提供GOCE觀測數據。

COORDINATE SYSTEM CONVERSION OF GOCE GRADIENTS DATA AND ERROR ANALYSIS

Su Yong，Fan Dongming and Huang Qiang
(Faculty of Geoscience and Environment Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756)

The gravitational gradients along the orbit observed by GOCE satellite is given in the gradiometer coordinate system(GRF)while the Earth’s gravity field model from gradients is generally in non-instrument coordinate system.Due to GOCE can not measure full tensor gradient efficiently，it is necessary to replace VXY、VYZas model values and to converse coordinate system of gradient.Therefore，in the rotation process，the error of the gradients data and the error of the rotation matrix have be taken into account.A pointwise rotation model of gradients in various coordinate systems and analysis the impact of various errors in conversion process of gradients were described，and gradients tensor rotation strategy is discussed simultaneously.Actual processing results show that the attitude error of the GOCE meets the design requirements，but the quality of GOCE gradients tensor，is not good for containing a large number of low-frequency colored noises，which needs to filter before conversion.In addition，“remove-restore”method can significantly improve the accuracy.

GOCE satellite;gravitational gradient;tensor rotation;point-wise rotation;error analysis

P223.0

A

1671-5942(2014)03-0151-04

2013-09-26

高等學校博士學科點專項科研基金項目(2012018412006);中央高校基本科研業務費專項資金項目(SWJTU10ZT02，SWJTU12BR012);西南交通大學博士研究生創新基金項目。

蘇勇，男，1987年生，博士研究生，主要研究方向為衛星重力測量。E－mail:suyongme@foxmail.com。