具有初始彎曲的1000 MW汽輪機低壓轉子的振動特征分析

吳文青，謝誕梅，楊 毅，胡鵬飛

（武漢大學 動力與機械學院，武漢 430072）

彎軸事故可能發生在轉子的運輸、安裝或者使用過程中。雖然對大部分的旋轉機械而言，轉子彎曲（包括熱彎曲和初始彎曲）的幅度都非常微小，有時甚至可以忽略不計，但是，對于需要長期運行的大型汽輪發電機組而言，由于其軸系跨度大、且轉子直徑大，其細微變化都將嚴重影響軸系的穩定性。運行中，轉子的彎曲可以由很多因素引起：工況快速變動中產生的熱變形、轉子受到冷熱交替的沖擊、碰磨、摩擦部位的熱效應、軸系剛度的改變等。研究成果表明，彎軸引起的振動響應狀態與傳統的由于質量不平衡造成的和轉速變化一致的振動響應非常相似，二者僅在振動幅值和相位角上存在著一些微小的區別，特別在極低速或極高速情況下這種區別比較明顯。對于有初始彎曲的轉子，當轉速接近0時，振幅接近初始彎曲值；反之，在高轉速下，因為彈性變形與彎曲變形呈180°反向，振幅趨于0。幾十年來，學者們對初始彎曲故障引起的轉子振動現象進行了深入的研究。林富生等［1］研究了有初彎的剛度非對稱轉子的動力學特性，并進行了相關實驗。羅廷等［2］研究了具有初始彎曲的多圓盤轉子系統的一階振動特性。Nicholas等［3］通過理論和實驗的方法研究了彎軸狀態下撓性轉子的不平衡響應；Parkinson等［4］指出轉子在彎軸和質量不平衡下具有不同的振動響應；Shiau等［5］研究了殘余彎曲對具有傾斜輪盤和不平衡質量的簡化輪盤－轉子系統的動力學響應的影響；Edwards等［6］則給出了通過測量轉動信號確定轉子彎曲和彎曲形狀的模態分量判斷法。上述文獻沒有涉及交叉剛度、回轉效應、剪切模量和慣性效應等，而這些因素對大型汽輪機轉子的影響不容忽視。

1 000 MW超超臨界機組憑借良好的運行性能在中國得到快速發展。然而，運行經驗顯示，很多1 000 MW超超臨界汽輪發電機組都存在振動偏大的現象，特別是低壓轉子的振動比較突出。資料顯示，在機組的調試和運行初始階段，低壓轉子的彎軸故障越來越突出。造成這種故障的原因可能是由于低壓轉子存在著不均勻的溫度場，而不均勻的溫度場可能是由于機組啟停過程中溫度的快速增加／減少所造成。針對這一問題，本文選取某1 000 MW超超臨界汽輪機的低壓＃2轉子為研究對象，研究其在具有初始彎曲狀態下的振動特性［7］。圖1給出了低壓＃2轉子－軸承系統的結構圖，在建立有限元模型時考慮了軸系的回轉效應、剪切彈性模量、轉動慣量。整個轉子被劃分為46個節點。計算中，取兩軸承處的初始支撐剛度相同（kxx＝kyy＝2．45×109N／m）、阻尼相同（cxx＝cyy＝3×103N·s／m）。

圖1 低壓＃2轉子－軸承系統模化Fig．1 Modeling of a LP B rotor-bearing system

1 模態分析

對于一個多自由度的轉子－軸承系統，其振動方程通常按如下方程描述：

式中：q為廣義坐標系下的單位矢量；M為質量矩陣；G為回轉矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Ω為轉子旋轉速度；F（t）為合力。

1．1 自由振動

對于自由振動，F（t）＝0。此時，方程（1）的狀態空間表達可以寫成［8］：

一階微分方程的空間矢量X＝｛q q·｝T是

因此，自由振動的解可以寫成如下形式：

式中，X0是復矢量，s是復標量。將式 （4）代入式 （3）并整理得：

因指數不為零，故

式（6）是特征值的求解問題，其解有2n對共軛復數：

式中：si為第i模態的特征值，它以共軛復數的形式出現；ωni、ωdi、ζi分別為固有頻率、固有阻尼頻率和阻尼系數。

1．2 不平衡響應

作用在節點k上的廣義力矢量可以用偏心輪盤的偏心距離ε和偏心角度β表示［6］。

式中：δ和γ分別是t＝0時在Oxy軸平面產生的外部不平衡力和力矩的大小。將方程（8）代入方程（1）即有：

其穩定解可以通過假設 q（t）＝R（q0ejΩt）求得（其中q0為復數）。因此

1．3 彎軸響應

對于一個彎曲轉子，其運動方程可以寫成［6］

式中：qe為節點處的彈性彎曲矢量；q為該節點處總的彎曲矢量。因此有q＝qe＋qb，其中qb表示帶有初始彎曲的轉子在靜止狀態下彎曲矢量，由此可得qe＝qqb。因此，方程（11）可以改寫成

彎曲轉子的各幾何截面的詳盡定義如文獻［9］所述。因為轉子旋轉，所以描述彎曲轉子狀態的方程是時間的函數，于是有 qb（t）＝R（qb0ejΩt）其中 qb0為復數。因此

令其解的形式為 q（t）＝R（q0ejΩt），則

2 計算結果

2．1 轉子固有頻率

表1給出了轉子在0 r／min和3 000 r／min之間的前8階固有頻率（特征值）。轉速為0時，固有頻率成對出現，這是因為轉子在x方向和y方向的慣性及支持剛度完全相同。當轉速達到3 000 r／min時，在回轉效應的作用下，每一對固有振動頻率會發生分離現象。其原因是該轉子及其輪盤的直徑大而導致回轉效應的影響也大。需要說明的是，因方程根的實部非常小，其阻尼系數近似為0，因此有阻尼的固有頻率與無阻尼的固有頻率非常接近。

表1 前8階的特征值及對應的固有頻率Tab 1．The first eight eigenvalues and natural frequencies0 rev／min3000 rev／minRoot s

2．2 案例分析

2．2．1 案例 1：轉子的支撐各向同性

（1）不平衡響應

假設在轉子11號和31號節點（圖1所示）上的相同相位角位置各附加一個大小相同的不平衡質量（0．001 m）。圖2給出了施加不平衡質量后x方向上的不平衡響應（因為轉子是軸對稱，所以其在x方向和y方向的響應一致）。由圖可知，在轉速為1 360、2 750和3 680 r／min時轉子的不平衡響應達到最大值。比較發現，這幾個轉速和轉子的前三階固有頻率基本一致，只有正進動。當轉子過臨界轉速時，相位角幾乎產生了180°的改變（由于阻尼的存在，相位角的變化不完全等于180°）。而當轉速低于2 240 r／min之前，2節相位相同。在共振轉速和反共振轉速2節點的相位角都會發生翻轉。11號節點處的相位角在轉速為2 250 r／min時由約180°翻轉至約 －180°，而在2 890 r／min時又由約－180°翻轉至約180°；31號節點處的相位角在轉速為3 050 r／min時由約180°翻轉至約 －180°。

圖2 轉子11、31號節點x方向的不平衡響應Fig．2 Unbalance response of the rotor at node 11，31 in the x direction

（2）彎軸響應

本文在計算彎曲轉子的不平衡響應時，首先通過有限元計算得到轉子的初始彎曲值，Christopher等［9］對此有過詳盡的論述。圖3給出了通過有限元模型獲得的階梯軸在垂直平面的撓曲變形分布。轉子上施加了輪盤和轉子的質量力。

圖4給出了轉子系統對在初始彎曲不平衡力作用下、在11、31號節點處的振動響應。

圖3 階梯軸在垂直平面的撓曲變形分布Fig．3 Stepped shaft deflection in vertical plane

圖4 彎軸狀態下轉子11號、31號節點x方向上振動響應Fig．4 The response of the rotor at node 11 and node 31 in x direction due to a bent rotor

與圖2中因不平衡力而產生的響應相比，雖然二者的響應結果非常相似，但在轉子的低速區和高速區存在著細微差別：首先，在轉速為2 670 r／min附近時，轉子的11號節點處的響應值為0；其次，11和31號節點在第二、第三峰值處均未出現反共振；第三，最大響應分別發生在轉速為 1 360 r／min，2 750 r／min和3 680 r／min時，這與不平衡力引起的轉子最大響應值一致；最后，11號節點處的相位角在2 170 r／min時由約180°翻轉至約 －180°，而31號節點處的相位角在2 870 r／min時由約 180°翻轉至 －約 180°。

2．2．3 案例 2：轉子的支撐各向異性

對同一軸系，本文還計算了軸承支撐剛度變化的影響：即在其他參數不變的條件下，將其軸承支撐方式改變為各向異性，軸承的初始支撐剛度給定為kxx＝2．45×109N／m及 kyy＝2．00×109N／m。

（1）不平衡響應

在上述條件下，同樣假設在轉子11號和31號節點（圖1所示）上的相同相位角位置各附加一個大小相同的不平衡質量（0．001 m）。此時的不平衡響應如圖5所示。

由圖5可知，當轉子轉速為 1 340、1 360、2 620、2 760、3 360和3 670 r／min時響應達到最大。此外，在這種條件下，轉子同時出現正進動和反進動現象。

由于系統x、y方向的支撐剛度不一樣，造成了這兩個方向上渦動幅度不一樣，如圖6和圖7所示。

圖5 轉子11號、31號節點x方向上不平衡力作用下的響應（橢圓長軸方向）Fig．5 Response of the rotor at node 11 and node 31 in x direction due to out-of-balance force at node 11 and node 31（the length of the semimajor axis of the orbit）

圖6 11號節點處x、y方向上的振動響應，著色區域為反進動Fig．6 Response in x and y direction at node 11．The shaded region indicates backward whirl

圖7 31號節點處x、y方向上的振動響應，著色區域為反進動Fig．7 Response in x and y direction at node 31．The shaded region indicates backward whirl

圖8 彎曲轉子11、31號節點處x方向上的振動響應Fig．8 The response of the rotor at node 11 and node 31 in x direction due to a bent rotor

仔細觀察圖6和圖7不難看出，在x和y方向的振幅最大響應處，相位的響應也發生改變，但x方向上相位角的變化跟y方向上相位角的變化并不一致。圖6和圖7中的著色區域表示反進動的轉速區域（所對應的x和y方向的相位響應不同）。由此可知，在某些轉速區域，轉子的一些部位進行反進動運動而另外一些部位進行著正進動運動（交叉模態）。

（2）彎軸的響應

對于彎曲轉子（圖3所示），其11、31號節點處振動幅值和相位角的響應如圖8所示。可以看出，在轉速為1 340 r／min和1 360 r／min區域存在著兩個峰值，同時存在著正進動和反進動。

圖9和圖10給出了節點11和節點31處x、y方向上振動響應。圖中陰影區域表示反進動的轉速區域（所對應的x和y方向的相位響應不同）。

圖9 彎曲轉子11號節點處x、y方向上的振動響應Fig．9 Response in x and y direction at node 11 due to a bent rotor

圖10 彎曲轉子31號節點處x、y方向上的振動響應Fig．10 Response in x and y direction at node 31 due to a bent rotor

圖11 各向異性支撐下彎曲轉子11（虛線）、31（實線）號節點處渦動軸心軌跡（×表示軌跡的起點，◇表示軌跡的終點）Fig．11．Whirl orbits at node 11（dashed）and node 31（sdid）for the bent rotor on anisotropic bearings．The cross denotes the start of the orbit and the diamond denotes the end

與不平衡響應類似，在某些轉速區域，轉子的一些部位進行反進動運動而另外一些部位進行著正進動運動，不同的是，所對應的轉速范圍不同。圖11給出了這2個節點在不同轉速下的軸心軌跡圖。由圖可知，在上述條件下，這些軸心軌跡呈橢圓形，可能是正進動也可能是反進動。

3 結 論

本文研究了1 000 MW超超臨界汽輪發電機組低壓＃2轉子在不平衡力和彎曲狀態下的振動瞬態響應，所得結論如下：

（1）由不平衡力和轉子彎曲激發的轉子振動響應特征雖然非常相似，但是仍然有著輕微的差別；

（2）轉子在定速下旋轉會出現因質量不平衡或彎曲而產生的渦動，當轉子支撐在各向同性軸承上時，無論是激振力是正向或反向渦動，所引起的振動響應均為正進動；

（3）而當轉子支撐在各向異性軸承上時，無論是激振力是正向或反向渦動，所引起的振動響應均將是為反進動。

［1］林富生，孟光．有初彎的剛度非對稱轉子的動力學特性分析及實驗研究［J］．應用力學學報，2002，19（3）：96－101．

［2］羅廷，劉淑蓮，鄭水英．具有初始彎曲的多圓盤轉子系統的動力學特性分析［J］．振動與沖擊，2010，29（S）：173－175．

［3］Nicholas J C，Gunter E J，Allaire P E．Effect of residual shaft bow on unbalance response and balancing of a single mass flexible rotor－part 1［J］．Journal of Engineering for Power，ASME，1976，98（2）：171－178．

［4］Parkison A G，Darlow M S，Smalley A J．Balancing flexible rotating shaft with initial bend［J］．AIAA journal，1984，22（5）：683－689．

［5］Shiau T N，Lee E K．The residual shaft bow effect on dynamic response of a simply supported rotor with disk skew and mass unbalances［J］．Journal of Vibration，Acoustic，Stress and Reliability in Design，ASME，1989，111（2）：170－178．

［6］Edwards S，Lees A W，Friswell M．I：The Identification of a rotor bend from vibration measurement［C］／／Proceedings of the International Modal Analysis Conference-IMAC，1998，V2：1543－1549．

［7］ Luo J，Liu Z，Shi Y，et al．The research on supporting stiffness of LP rotor of ultra-supercritical turbine［C］／／The 2nd International Conference on Electrical and Control Engineering，IEEE，2011：1846－1848．

［8］Friswell M I，Penny JE T，Garvey SD，et al．Dynamics of rotating machines［M］．New York，Cambridge University Press，2010．

［9］Christopher D W，Michael W R．Shaft deflection-a very，very long example ［C］／／ ASEE Southeast Section Conference，2013．

［10］ Ngo V T，Zhang Heng-liang，Xiong Yang-heng，et al．Dynamic analysis of a rig shafting vibration based on finite element［J］．Front．Mech．Eng．2013，8（3）：244－251．