Boost變換器的參數選擇與非最小相位分析

皇金鋒， 劉樹林

(1.西安科技大學電氣與控制工程學院，陜西西安 710054;2.陜西理工學院電氣工程學院，陜西漢中 723003)

其中圖3所示的脈沖函數波形f1(t)及小信號擾動分量 φ^(t)的數學表達式為［8］

注:由Boost變換器穩態平衡條件知

0 引言

Boost變換器具有升壓功能，同時其功率開關管一端與輸入電源共地，其驅動電路設計更容易等優點，在光伏發電系統、新能源應用等許多領域具有廣泛的應用前景，研究對其性能改善和控制策略優化是一個熱點。Boost變換器以電容電壓作為輸出量進行反饋控制時，是一個非最小相位系統，表現為小信號數學模型中存在復平面右半平面的一個零點。這個零點的一個顯著的特征就是在占空比突變的情況下，除發生超調外，輸出電壓在開始階段，會出現先下降后上升(或先上升后下降)的變化，即出現負調現象，這種負調現象會惡化控制系統的動態品質，導致系統的過渡過程時間延長，而且在負調時間段內，控制器接受到相反的反饋信號，形成正反饋系統，嚴重的影響系統的暫態性能及穩態性能［7］，因此對Boost變換器而言抑制負調尤為重要。

為了改善Boost變換器的控制性能，文獻［1］采用了串級結構控制器改善其控制性能;文獻［2－5］提出采用非線性控制思路來提高其控制系統性能。以上文獻從控制策略方面提高Boost變換器的系統性能。分析Boost變換器數學模型可以看出，引起其非最小相位反應與變換器參數設計有關系，關于參數對非最小相位引起的負調現象文獻［6］對準Z源逆變器的內在特性及不同組件容量對逆變器性能的影響;文獻［7］對Boost變換器右半平面零點的物理意義進行了深入分析。基于以上分析，本文從Boost變換器參數設計角度探討提高暫態性能以及減小非最小相位所引起的負調現象，給出抑制或減小負調與參數設計之間的關系，以便在設計和元件選擇上進一步提高變換器的性能，減小非最小相位負調對系統的影響，對Boost變換器的優化設計，具有重要指導意義。

1 Boost變換器脈沖波形積分法建模分析

Boost變換器電路拓撲如圖1所示。

圖1 Boost變換器Fig.1 Boost converter

Boost變換器隨著開關管的導通與關斷其電路的工作模態呈周期性變化，這使得傳統的線性分析思路無法進行建模分析［8］。本文采用參考文獻［8－11］提出的脈沖波形積分法對其進行建模，其建模的思路是在已知變換器的電路拓撲和工作脈沖波形的條件下，引入非連續周期性脈沖函數，用周期性脈沖函數將變換器在一個周期的各個子電路拓撲統一成一個拓撲，依此拓撲建立開關變換器的小信號模型［8－11］。Boost變換器工作在電感電流連續模式(CCM)時對應圖2所示的2個電路子拓撲。

圖2 CCM Boost變換器工作模態Fig.2 CCM Boost converter mode

Boost變換器由于功率開關器件VT及功率二極管VD的導通與關斷，其電路拓撲呈周期性變化，可以利用圖3所示脈沖函數將變換器在一個周期中將兩個子電路拓撲統一成一個電路拓撲。

圖3 CCM脈沖周期波形Fig.3CCM Pulse waveform

利用圖3所示的脈沖周期波形將流過功率開關器件VT的電流利用脈沖函數f1(t)變換為電流源，將功率二極管VD兩端電壓利用脈沖函數f1(t)變換為電壓源，這樣就可以將圖2所示的2個子電路拓撲統一成為一個電路拓撲，如圖4所示。

圖4 CCM Boost變換器統一電路拓撲Fig.4 CCM Boost converter circuit topology uniform

根據圖4給出的統一電路拓撲，可以列寫狀態方程為

其中圖3所示的脈沖函數波形f1(t)及小信號擾動分量 φ^(t)的數學表達式為［8］

式(1)引入小信號擾動量，此時圖4中各支路的變量就由穩態分量和小信號動態分量兩部分組成，如式(3)所示，其中“^”表示小信號分量。

注:由Boost變換器穩態平衡條件知

對式(4)取拉氏變換。根據參考文獻［8］可知圖3所示的脈沖波形所圍成的面積實際上等于該小信號采樣值與e－st乘積在這個周期的積分，所有脈沖之和即為該采樣函數的拉氏變換［8－11］。因此式(4)中的小信號分量拉氏變換結果為

同理可得

將上面拉氏變換的結論代入式(4)得

將式(5)進行化簡，可得

由式(6)可得CCM Boost變換器輸入－輸出的小信號動態數學模型為

同理，可由式(6)得CCM Boost變換器控制－輸出的小信號動態數學模型為

由上面建模結果可以看出，Boost變換器輸入－輸出數學模型即式(7)為最小相位系統，其決定了變換器啟動時暫態特性;而式(8)表明該系統用于設計控制系統的數學模型為一個非最小相位系統，即數學模型含有一個右半平面的零點，該零點會對系統輸出電壓因電路參數不同將有不同的影響，下文將對此進行詳細分析。

2 非最小相位與電路參數之間關系分析

由建立的數學模型分析可以看出，輸入－輸出數學模型決定系統啟動暫態性能，即電感L、電容C、負載R等共同決定系統啟動時的超調量、過渡過程時間、上升時間等;而用于設計控制系統的控制－輸出的數學模型表明該系統有一個右半平面的零點，在S平面中，右半平面的零點位置隨著Boost變換器的電感L、負載R及占空比D的變化而變化。這些參數的變化會引起Boost變換器的振蕩和非最小相位反應。為了具體說明這些參數的影響，針對具體一組變換器參數進行說明，并且在保持其他參數不變的情況下只改變其中一個參數，畫出不同的零、極點根軌跡圖，根據其根軌跡及電路仿真來研究同一電路元件中不同參數對系統輸出電壓的影響情況［6］。

2.1 電感L對系統的影響分析

取Boost變換器參數:輸入電壓Vin=12 V、電容C=470 μF、負載R=5 Ω，占空比D=0.4、開關頻率fs=50 kHz。下面就工作在CCM下不同電感量(L=100 μH、1 000 μH、3 000 μH)分別進行討論。采用仿真軟件PSIM6.0進行仿真分析，仿真結果給出系統啟動過程和穩定運行時占空比突變(在40 ms時占空比由0.4突變為0.5，在70 ms時由0.5突變為0.4)的情況下輸出電壓的變化情況。圖5給出不同電感值對應系統的根軌跡，圖6給出不同電感值系統啟動過程及系統非最小相位反應。

圖5 不同電感值對應的零、極點根軌跡Fig.5 Pole-zero locus of the different inductance value

圖6 不同電感值對應的系統啟動及非最小相位反應Fig.6 System start and Non-minimum phase response in different inductance value

由圖5分析可以看出，隨著電感量從100 μH到3 000 μH增大，系統在S平面左半平面的極點和右半平面的零點隨電感量增大而靠近原點。由圖6仿真結果可以看出，體現系統輸入－輸出數學模型的動態過渡過程隨著極點向原點移動，系統的過渡過程超調量減小，振蕩頻率減小，即仿真結果和實際參數變化關系一致;體現控制－輸出數學模型(占空比突變)的過渡過程隨著極點和零點向原點靠近，系統的過渡過程超調量減小，振蕩頻率減小，同時系統的負調現象(右半平面零點引起)隨著電感量的增加而更加嚴重，即當占空比增大(減小)時輸出電壓沒有立刻增大(減小)，反而先減小(增大)而后增大(減小)，而且隨著電感量增大負調現象越嚴重，這一點與右半平面非最小相位特征是一致的。

2.2 電容C對系統的影響

取Boost變換器參數:輸出電壓Vin=12 V、電感L=100 μH，負載R=5 Ω，占空比D=0.4、開關頻率fs=50 kHz。工作在CCM下不同電容量(C=100 μF、470 μF、1 000 μF)在50 ms時D由0.4突變為0.5。圖7給出不同電容值對應系統的根軌跡，圖8給出不同電容值系統啟動過程及系統非最小相位反應。

圖7 不同電容值對應的零、極點根軌跡Fig.7 Pole-zero locus of the different capacitance value

由圖7分析可以看出，隨著電容量從100 μF到1 000 μF增大，系統在S平面右半平面的零點位置沒有發生變化，而左半平面的極點隨電容量增大而靠近原點。由圖8仿真結果分析可以看出，隨著極點向原點移動，系統的過渡過程時間延長;由圖8(a)、圖8(b)比較可以看出，隨著電容量增大，輸出電壓的紋波由1.5%降為0.3%，即電容量越大，紋波越小;同時由圖8可以看出，隨著電容量的增大系統非最小相位引起的輸出電壓負調沒有發生改變，這一點與右半平面零點沒有發生變化是一致的，即負調現象不隨電容量變化而發生變化［13］。

圖8 不同電容值對應的系統啟動及非最小相位變化Fig.8 System start and Non-minimum phase response in different capacitance value

2.3 負載R對系統的影響

取Boost變換器參數:輸入電壓Vin=12 V、電容C=470 μF、電感L=100 μH占空比D=0.4、開關頻率fs=50 kHz。工作在CCM不同負載(R=5 Ω、1 Ω、0.5 Ω)，占空比變化Δd=0.1。圖9給出不同電阻值對應系統的根軌跡，圖10給出不同電阻值系統啟動過程及系統非最小相位反應。

圖9 不同電阻值對應的零、極點根軌跡Fig.9 Pole-zero locus of the different resistance value

圖10 不同電阻值對應的系統啟動及非最小相位變化Fig.10 System start and Non-minimum phase response in different resistance value

由圖9看出，隨著負載阻值由5 Ω減小到0.5 Ω，系統在S平面右半平面的零點靠近原點、左半平面的極點沿虛軸靠近原點，沿實軸遠離原點。由圖10看出，隨著極點向原點移動，系統的過渡過程超調量減小;隨著零點向原點靠近，系統的負調現象更加嚴重。即負調隨著負載的加重而加劇。這一點與上面數學模型關于非最小相位特征是一致的。

2.4 占空比D對系統的影響

取Boost變換器參數:輸入電壓Vin=12 V、電容C=470 μF、電感L=100 μH、負載R=5 Ω、開關頻率fs=50 kHz。工作在CCM不同的占空比(D=0.1、0.3、0.5)，占空比變化 Δd=0.1。圖11給出不同占空比對應系統的根軌跡，圖12給出不同占空比系統啟動過程及系統非最小相位反應。

由圖11看出，隨著占空比D由0.1增加到0.5，系統在S平面右半平面的零點靠近原點、左半平面的極點靠近原點。由圖12看出，隨著極點向原點移動，系統的過渡過程超調量增大，過渡過程時間延長;隨著零點向原點靠近，系統的負調現象雖然有增加，但是不明顯，其主要原因是占空比變化最大范圍Dmax≤1，其變換范圍太小(和電感、電容的參數變化相比較)，所以由占空比引起的負調現象并不明顯。

圖11 不同占空比對應的零、極點根軌跡Fig.11 Pole-zero locus of the different Duty cycle

圖12 不同占空比對應的系統啟動及非最小相位變化Fig.12 System start and Non-minimum phase response in different Duty cycle

3 變換器參數選擇與暫態性能優化設計

由第2節分析可以看出，Boost變換器的啟動暫態性能主要由電感、電容、負載共同來決定，而系統非最小相位反應即負調現象由電感、占空比、負載等共同決定。如何對這些參數進行優化設計，使得系統即能滿足啟動暫態響應，又能兼顧非最小相位引起的負調現象是一個關鍵問題。根據Boost變換器已有的研究成果［12］對其進行優化設計。為了獲得系統整體優化設計思路，首先對每個影響系統暫態性能的參數進行分析，進而總結給出系統總體參數優化設計思路。

3.1 不同電路參數對系統暫態性能的影響分析

由第2節分析可以看出，電感、電容、占空比、負載等對系統暫態響應都有影響，下面分別就其對系統暫態影響進行具體分析。

1)電感對系統影響分析

［12］知，Boost變換器根據電感電流的最小值是否等于零，將其工作模式劃分為電感電流連續模式(CCM)和電感電流斷續模式(DCM)兩種模式，其臨界電感取值為LC。但是工作在CCM的Boost變換器根據電感電流的最小值與輸出電流的比較，可以將其劃分為電感完全供能模式(CISM)和電感不完全供能模式(IISM)，其臨界電感取值為LK。其臨界電感LC和LK計算式為

由式(9)、式(10)可以看出，工作在CCM的電感僅當負載和占空比不變時，適當提高開關頻率就可以減小臨界電感取值，由2.1節分析可知，減小電感取值就可以減小非最小相位引起的負調。

2)電容對系統影響分析

由2.2節分析可知，Boost變換器系統輸出電壓的負調與電容選擇大小沒有關系，不同的電容取值會影響輸出電壓紋波(即電容越大，輸出電壓紋波越小)和系統的暫態過渡過程。同時由文獻［12］知，輸出電壓紋波具有以下特點:工作在CCM－CISM輸出電壓紋波最小且與電感無關，其紋波電壓大小為

由式(11)可以看出，在開關頻率、負載、輸出電壓和占空比不變的情況下，工作在CCM－CISM輸出電壓紋波隨電容增大而減小，與電感選擇大小沒有關系。

3)占空比對系統影響分析

由2.4節分析可以看出，占空比變化引起的負調現象并不明顯，主要原因是占空比變化范圍太小(和電感、負載參數變化相比較)，同時，Boost變換器輸出電壓大小由占空比決定，因此，占空比一般不做為優化參數。

4)負載參數對系統影響分析

一般對Boost變換器而言，其所帶的負載一般屬于某一個范圍{Rmin～Rmax}。由2.3節分析可以看出，負載最重(即阻值取Rmin)，系統輸出電壓所對應的負調現象最嚴重，輸出紋波電壓最大(即對應電容選擇滿足紋波要求所取最小電容Cmin);由式(9)、式(10)分析可以看出，負載越輕(即負載阻值取Rmax)，對應CCM臨界電感取值最大(即對應臨界電感最小值Lmin)。因此由負載參數變化范圍可以確定最小臨界電感Lmin，最小濾波電容Cmin。

5)開關頻率對系統影響分析

由上面的小信號數學模型可以看出，開關頻率與系統的啟動過程及非最小相位引起的負調反應沒有明顯的關系，但是通過3.1節第1)部分電感分析可以看出，當提高開關頻率時，由式(9)、式(10)分析看出，可以減小LC和LK電感取值，減小臨界電感取值意味著擴大了變換器設計電感取值范圍，由2.1節分析可以看出，較小的電感取值更有利于減小負調反應，而且較大的電感取值范圍同時可以兼顧啟動特性。由2.2節分析可以看出，增大或減小電容不會引起系統非最小相位反應(即負調現象)變化，但是，由式(11)可以看出，增大開關頻率可以減小紋波，即滿足系統要求紋波的前提下，通過提高開關管頻率就可以減小電容取值，相當于擴大變換器設計時的電容取值范圍，較大的電容取值范圍更方便對系統暫態性能進行優化設計。雖然提高開關頻率可以間接的改善系統的啟動及非最小相位反應，但是開關管的頻率提高受開關器件、變換器轉換效率及電磁兼容等方面情況影響，所以在一定范圍內提高開關頻率可以間接優化系統暫態性能和非最小相位反應。

3.2 變換器整體參數優化設計分析

Boost變換器系統參數整體優化須兼顧啟動暫態性能及非最小相位帶來的負調現象、系統的品質因子、輸出電壓紋波、開關工作頻率以及變換器自身諧振頻率之間關系等方面進行整體參數優化設計。由第2節參數分析可以看出，影響Boost開關變換器啟動暫態性能及非最小相位反應負調現象的因素很多，即待優化參數較多。但是通過3.1節分析可以看出，由于占空比和負載不能優化設計，那么可待優化的參數即電容和電感。由前面電容分析可以看出，工作在CCM－CISM的變換器輸出紋波電壓與電感量選擇無關，利用這一特點，電感選擇時將其設計在CCM－CISM區域(電感量越接近LK，即電感量越小，其引起的負調現象越弱)，這樣電感選擇就可以不用考慮輸出紋波電壓對系統的影響。同時由2.2節參數分析知電容對非最小反應負調現象沒有影響，那么電容選擇則主要考慮輸出紋波電壓的要求。由式(11)知變換器輸出電壓的最大紋波量就決定了最小電容Cmin。利用以上電感和電容的特點，選擇電感和電容時可以單獨考慮而不用考慮其相互影響。如果電感和電容不滿足系統參數優化設計指標要求，則可以通過提高開關工作頻率來擴大其選擇范圍，來滿足系統啟動暫態性能及非最小相位即負調反應等性能指標要求［13－14］。

4 參數選擇優化實驗驗證

4.1 參數優化設計仿真驗證

為了驗證上面提出Boost變換器參數優化設計思路及優化方法正確性，文中給定一組變換器參數進行優化并進行仿真驗證。Boost變換器參數為:輸入電壓Vin=12 V;負載R=5～50 Ω;輸出電壓Vo=20 V;紋波電壓ΔVo≤200 mV;系統負調電壓ΔVF≤500 mV。

由上面給出的輸出電壓可以計算出D=0.4。待優化參數為:電感L、電容C、開關管工作頻率fs。首先設定開關工作頻率fs=100 kHz，則由紋波電壓ΔVo≤200 mV可以根據式(11)計算出濾波電容的最小值Cmin=80 μF。當負載最輕(即R=50 Ω)時對應電感處于CCM－CISM范圍的最小值，由式(12)可以計算出Lmin=LK=90 μH，只要選擇電感量大于90 μH，此時Boost變換器就工作在CCMCISM。綜合系統的品質因子、輸出電壓紋波、非最小相位負調反應等因素，文中選擇C=100 μF、L=100 μH、最重負載R=5 Ω(即最大紋波及最大負調現象)，進行仿真結果驗證。仿真思路和占空比變化同2.1節電感參數變化選擇思路一致。仿真結果如圖13所示。

仿真結果表明:將電感選擇在CCM－CISM，保證了系統輸出紋波電壓小于200 mV，同時當系統占空比由0.4突變為0.5或由0.5突變為0.4，系統負調電壓限制在500 mV以內，系統過渡過程時間大大縮短，在5 ms內已基本穩定。仿真結果表明:文中提出的Boost變換器參數優化設計思路及優化方法的正確性。

圖13 優化后系統啟動及非最小相位的影響Fig.13 System start and Non-minimum phase response after optimization

4.2 參數優化設計實驗驗證

Boost變換器參數為:輸入電壓Vin=14 V;開關頻率fs=100 kHz;負載R=5 Ω;電容C=100 μF;占空比D=0.4。由于開關器件等電路損耗，因此當輸入電壓為Vin=14V時輸出電壓不是23.3 V，實際輸出電壓為20 V。為了更明顯的觀察當系統占空比發生變化時的效果，將占空比由D=0.4突變為D=0.6。電感取不同值(L=20 mH、10 mH、100 μH)時表現出不同的負調響應，實驗結果如圖14所示。

圖14 不同電感值對應的系統非最小相位變化Fig.14 Non-minimum phase response in different inductance value

實驗結果分析:將電感選擇在CCM－CISM后，電感取L=20 mH時，系統輸出負調電壓ΔVF=4 V，當電感取L=10 mH時，系統輸出負調電壓ΔVF=3 V，當電感取L=100 μH時，系統輸出電壓負調已基本沒有。實驗結果表明:文中提出的Boost變換器參數選擇與優化設計方法的正確性。

5 結語

本文利用脈沖波形積分法建立了Boost變換器工作在CCM的小信號動態數學模型，根據建立的數學模型詳細討論了電感、電容、負載、占空比、頻率等參數對系統暫態性能和非最小相位引起的負調電壓影響，得到以下結論:較大的電感、滿載負載、較大的占空比使得系統的非最小相位反應即負調現象更加明顯;不同的電容值會影響系統的暫態性能和輸出電壓紋波，對非最小相位反應沒有影響。總結歸納給出提高Boost變換器暫態性能及減小非最小相位反應的參數優化設計思路。仿真和實驗結果驗證了上述結論。

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