波紋管驅動超精密定位平臺建模及復合控制

田艷兵， 王濤， 王美玲， 張棟

(1.北京理工大學 自動化學院，北京 100083;2.青島理工大學自動化工程學院，山東青島 266520)

0 引言

精密伺服是超精密加工中的關鍵技術，是衡量一個國家超精密加工水平的重要指標。目前，國內外超精密伺服控制精度已經達到納米級。精密伺服定位系統多以電驅動，為避免摩擦對控制效果的影響，一般裝配有氣浮導軌。電機驅動分為直接驅動和間接驅動兩種模式。間接驅動借助滾軸絲杠等傳動機構將電機轉動轉換為直線運動，其傳動效率較低，往返行程間隙大，限制了控制精度的提高;直接驅動采用直線電機驅動［1］，如音圈電機等［2］，傳動效率高，但是輸出力較小。2007年，東京工業大學的H.Shino等采用8個音圈電機驅動［3］，完成了5nm精度等級的二維精確定位，定位精度很高，行程受到限制。特別是對于二維定位多采用“H”型疊壓結構，機械結構復雜。有學者嘗試在一個平面機械結構內的二維定位，天津大學的馮曉梅等設計了基于音圈電機的氣浮平臺，精度能達到微米級［4］。

目前，氣動伺服系統多采用氣缸驅動，電磁干擾小，設備維護方便。近年來，氣缸驅動或者氣缸復合驅動的超精密定位系統在國內外得到廣泛研究和運用，取得了一些成果。臺灣科技大學的Mao－Hsiung Chiang等采用氣缸和壓電驅動結合的模式［5］，較好的解決了控制精度和運動行程的問題，其控制精度達到微米級，但兩級進給模式使得機械結構復雜，不利于控制精度的提高。

基于氣缸的定位伺服系統精度不高，往往需要配備雙級驅動機構，在二維定位中采用的“H”型結構后，使得機械平臺更復雜，各種承載平臺之間存在的摩擦不利于精密控制［6］。本文設計了一種基于新型金屬波紋管驅動的單級進給模式的氣動定位平臺，以氣浮平臺為支撐，采用高精密光柵尺進行位移反饋，簡化了系統機械結構，降低了成本。針對系統在運動過程中存在的遲滯現象，建立基于PI的遲滯數學模型，為了改善系統的控制效果，采用了PI逆模型控制和反饋PID自整定控制，在2 500 μm的行程范圍內，取得了較好的控制精度和響應速度。

1 硬件平臺

系統硬件主要由3部分組成。基于波紋管的運動驅動機構;氣浮導軌產生的靜壓軸承支撐的工作平臺以及位置檢測反饋部分。由單片機調節高精度壓力比例閥，控制波紋管內部壓力，調整其伸縮量，控制平臺位移。為增加平臺剛度和穩定性，在運動平臺另一側安裝有預緊彈簧。整個系統的結構框圖和實物圖如圖1所示。

圖1 系統結構框圖和實物圖Fig.1 Block diagram and actual picture of the system

1.1 運動驅動機構

系統驅動機構采用電氣比例閥控制的驅動波紋管。波紋管是一類子午線呈波紋狀的旋轉體，依靠內部氣體壓力的變化產生伸縮運動，產生位移。按形狀可分為“U”型、“Ω”型、“S”型等［7］。其中“U”型波紋管承受壓力大，靜態特性較好，輸出位移與輸入信號線性關系好，無摩擦，模型簡單。通過單片機的12位D/A數據口控制高速比例閥，實現波紋管的位置控制［8］。

1.2 支撐體結構

支撐體結構主要由氣浮導軌和工作平臺組成，工作平臺由高剛度的多孔質氣浮導軌產生靜壓空氣軸承支撐。

氣浮導軌為工作臺定向并提供無摩擦支撐。氣浮導軌的氣孔噴射壓縮空氣到工作臺表面產生懸浮力，當懸浮力與工作平臺重量平衡時，平臺處于穩定懸浮狀態。支撐臺負載發生變化或有外界擾動時，氣浮平臺表面和載物臺之間的間隙改變，懸浮力重新達到平衡［9］，具有自平衡能力。該系統氣浮導軌為封閉矩形，氣浮導軌的上下、左右均有氣孔。上下兩側氣浮導軌會在上、下兩個面產生靜壓面，以提高靜壓軸承的剛性，左、右兩個面靜壓面起到導向作用。對于空氣靜壓軸承設計可以采用有限元分析方［10－11］，在此不再贅述，多孔質空氣靜壓軸承的原理示意圖如圖2所示。

圖2 氣浮導軌Fig.2 Aerostatic slider

1.3 檢測元件

系統采用MicroE公司生產的Mercury3500系列的光柵尺進行位置反饋，其檢測分辨率可以達到5nm［12］。

2 系統遲滯模型

波紋管作為驅動機構，近年來已有學者對其進行了一定的研究，其工作壽命和機械特性已經在實驗中得到驗證［13］。作為執行機構，波紋管在低速或者靜態下，有著很好的線性，但是其采用氣體驅動，由于氣體本身的可壓縮性，在動態運動的情況下，波紋管驅動系統輸入和輸出之間存在遲滯現象。遲滯是指系統的運行軌跡在上行和下行之間存在間隙，也即系統的輸入和輸出之間并不是一一對應的關系，具體到波紋管來說，就是其電磁比例閥的輸入電壓所對應的波紋管產生的輸出位移不是一一對應的，這對于超精密定位系統有著較大的影響。

目前關于波紋管的遲滯特性大多基于金屬材料特性進行改進，來減小遲滯的影響，但是效果不好。本文對其遲滯特性進行研究，通過建立系統遲滯模型，找出針對性的控制策略，降低遲滯對系統定位精度的影響［14］。

系統遲滯特性由其初載曲線確定。在該系統中，其初載曲線可以通過實驗獲取，將驅動電磁壓力比例閥從無源狀態下開始，逐步施加驅動電壓到最大值過程中，采集位移參數，得到波紋管驅動平臺的運行軌跡。為了驗證波紋管的遲滯特性，平臺加載后，進行初載特性實驗，其實驗數據見表1。

波紋管驅動平臺的初載特性實驗在低頻輸入下進行，電壓的變化速率較慢。實驗中系統輸入電壓信號變化速率為0.5 V/s，系統的輸出響應可以很好的抑制波紋管的動態特性，增加系統模型的精度。

表1 實驗數據Table 1 Experimental data

2.1 PI模型

從表1的實驗數據中可以看出，波紋管驅動系統遲滯現象明顯，需要建立針對性的遲滯模型。目前常見的遲滯模型有Preisach模型、KP模型、PI模型等。PI模型是從Preisach模型發展而來的一種模型［15］，由Krasnosel’skii和Pokrovskii建立，由許多加權重疊的間隙算子(Backlash Operator)組成的，算子的特性由閾值r和權值ω決定，不同閾值的遲滯算子通過加權ω疊加，形成遲滯特性曲線。閾值r決定了基本遲滯算子的寬度，權值ω決定了基本遲滯算子的斜度［16］。

在構建遲滯模型時，間隙算子的數學形式為

其中，T為采樣周期。式(1)是一個基于y(0)的遞歸公式，有

y0為系統在沒有激勵源的情況下的初值，一般情況下可以取0。

加權ω之后形成加權遲滯算子，即

從而PI遲滯模型可以通過n個加權遲滯算子累加得到，有

PI模型的一個顯著優點是模型的解析逆容易得到，從而可以通過PI逆模型對控制對象線性化，線性化后的模型便于控制和分析，在線性化的基礎上進行控制方案的研究，其線性化原理如圖3所示［17］。

圖3 基于PI逆矩陣的控制器設計原理Fig.3 Controller design based on PI inverse matrix

2.2 模型參數辨識

從式(4)可以看出，決定系統PI模型的2個主要參數為r和ω。在實際操作過程中，PI模型參數的辨識可以利用系統帶載實驗數據形成的初載曲線進行，根據實驗數據，對式(5)所描述的數學模型，用Matlab的ployfit函數進行擬合，并用最小方差優化，可以得到辨識后的系統參數如表2所示。

表2 參數辨識結果Table 2 Result of parameters identification

結合PI模型，其解析逆模型參數也容易求得，可以建立基于逆模型的前饋控制器，能夠較好的完成軌跡跟蹤。

2.3 模型驗證

為了驗證建立模型的精度，在實驗室平臺上進行實驗［18］。仿真實驗中將系統模型放在SIMULINK中進行，壓力比例閥輸入信號和壓力輸出按線性關系處理。而對于實驗平臺則是按照一定規律輸入電壓信號，通過光柵尺檢測位移輸出。上位機軟件采用Labwindows進行設計，下位機采用MSP430單片機系統對高精度壓力比例閥進行控制，調整壓力，控制波紋管伸縮量，并和上位機進行通信。在實驗中，電磁比例閥控制電壓信號變化軌跡為(0.0v－1.5v－0.0v－1.4v－0.2v－1.0v－0.5v－0.8v－0.6v)。

變化速率為0.5V/s，實驗輸出和模型輸出如圖4所示。

圖4 模型輸出和實驗輸出Fig.4 Model output and experimental output

從圖中可以看出，通過初載曲線擬合建立的PI遲滯模型可以很好地逼近系統的實際輸出，所建立的遲滯模型是有效的，精度較高。

3 控制策略研究

實驗表明，在波紋管驅動特性中，遲滯特性是影響其控制精度的主要因素，因此在控制器設計中，重點考慮遲滯特性的線性化，根據PI模型采用PI逆模型進行處理。

3.1 前饋開環控制

將波紋管驅動系統辨識得到的遲滯模型進行求逆，逆模型直接串聯在被控對象前面，將系統線性化，逆模型作為前饋控制器。這種方案稱為前饋控制方案，盡管缺少反饋環節，但是在某些精度要求不高的場所，該種方案可以減少位置檢測反饋裝置，從而從很大程度上降低成本。實驗研究表明，采用直接前饋開環控制，控制精度可以達到十幾個微米的等級，因此也有一定的實用價值。

考慮系統在運動過程中存在的動態特性影響，可以在前饋控制器前加入針對動態特性的控制環節，作為總的前饋控制器。波紋管驅動精密定位平臺前饋控制框圖如圖5所示。

圖5 系統遲滯逆模型開環控制Fig.5 Open-loop control based on inverse hysteresis model

3.2 基于PSO自整定的復合控制方案

為了進一步提高系統的控制精度，在定位系統中采用了前饋開環控制加反饋環節的控制方案。前饋控制用來校正波紋管驅動執行器的遲滯非線性，提高對參考位移信號的跟蹤能力;反饋調節用來進一步校正前饋補償沒有消除的偏差以及由模型的不確定性帶來的誤差，從而彌補建模帶來的定位誤差，使得工作平臺跟蹤精度進一步提高［19］。

反饋環節采用數字PID控制，PID參數對于控制效果非常重要，但參數整定較為繁瑣，且效果不一定最佳，特別是系統模型參數變化的情況下，PID參數需要針對不同情況進行整定。對于定位平臺，由于其承載質量的不同，不同的PID參數會影響控制效果［20］。為了改善參數整定效果，考慮到運動控制系統調整周期短，在復合控制中，通過粒子群算法對PID參數進行優化，確定系統最優參數，可以將不同負載時的控制參數預先整定儲存，以改善系統的實時性能，提高系統的控制精度。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是遺傳算法的一種，和遺傳算法相似，它也是從一定范圍內的隨機解出發，通過迭代尋找最優解，通過適應度函數－fitness來評價辨識參數的品質，但它比遺傳算法規則更為簡單，它沒有遺傳算法的“交叉”(Crossover)和“變異”(Mutation)操作，主要是通過模擬鳥群尋找食物的過程，提出的優化算法［21］。該算法簡單，編程較容易實現。PSO算法的關鍵在于適宜度函數的設計，根據運動控制系統的特點和控制效果，適宜度函數可以選擇為

其中，W1，W2，W3，W4為權重函數，在尋優過程中，充分考慮運動定位控制的特點，對系統的穩態誤差和調節時間作為2個主要衡量指標，權值分別取值為50，30，2，10。

對于該適宜度函數，采用PSO算法進行尋優［22］，目的是使適宜度函數達到極小值。PID控制效果取決于3個參數Kp、Ki、Kd，因此訓練的粒子維數為3，粒子數目取30個，最大迭代次數2 000次。PSO算法參數整定的具體實現步驟為:

1)系統初始化，設定Kp、Ki、Kd初值，確定Kp、Ki、Kd的范圍，賦予粒子初始位置和速度以及pbest和gbest，確定系統的合法的Vmax和Xmax。

2)對每個粒子Kp、Ki、Kd階躍響應，實驗得到時域內的性能指標e(∞)、ts、tr和σ%。

3)根據階躍響應參數，據式(6)計算種群中每個粒子適應度值。

4)對于每一個粒子，根據計算的適宜度函數，尋求更優值，確定是否更新其pbest和gbest值。

5)更新粒子的速度和位置。

6)判斷粒子位置和速度的合法性。

7)如果達到最大迭代次數轉至8)，否則轉至2)。

8)尋優結束，得到PSO尋優后PID的參數，即Kp、Ki、Kd。

PSO尋優的PID復合控制方案框圖如圖6所示。

圖6 基于PSO的復合控制方案Fig.6 Compound control based on PSO

4 實驗和分析

分別利用傳統PID控制和自尋優PID復合控制方案控制，在波紋管驅動平臺上進行實驗，系統主要參數為

m為移動平臺的自重和負重;A為波紋管有效受力面積;ps為氣源壓力;p0為靜壓軸承氣源壓力。

4.1 PID控制方案

對于傳統的PID控制，進行實驗研究，取Kp=0.46，Ki=0.06，Kd=0.01，其階躍穩態誤差為0.16 μm、超調量為3.7%，如圖7所示。

圖7 PID控制階躍響應Fig.7 Step response

三角波跟蹤和正弦跟蹤平均誤差分別為0.41 μm和0.67 μm，見表3。

表3 控制效果比較Table 3 Positioning accuracy of different control schemes

4.2 基于PSO的PID自整定方案

實驗按照定位實驗和軌跡跟蹤實驗進行，階躍響應選取30 μm階躍信號，其實驗響應曲線如圖8所示，系統的調整時間0.06 s左右，超調在2%左右，穩定誤差小于0.05 μm。

圖8 PSO尋優PID階躍響應Fig.8 Step response based on PSO

跟蹤實驗采用三角波和正弦波輸入。三角波實驗時，波紋管預加壓伸縮到1 000 μm，誤差曲線以1 000 μm為基準。正弦波輸入頻率為2.5 Hz，避免負值輸入，輸入從零值開始，數值偏向時間軸一側。其軌跡跟蹤效果如圖9和圖10所示。

圖9 鋸齒波跟蹤實驗Fig.9 Sawtooth tracking experiment

從圖中可以看出在PSO優化參數后的復合控制方案下，系統跟蹤效果很好。三角波輸入，跟蹤最大誤差為0.32 μm，平均為0.12 μm;正弦波輸入，跟蹤誤差平均為0.18 μm，達到亞微米級或納米級。滿足超精密定位平臺的需求。與傳統PID控制相比，其平均誤差和最大誤差均有較大改進，見表3。

圖10 正弦跟蹤實驗Fig.10 Sine tracking experiment

5 結論

本文設計了一種基于波紋管驅動的超精密運動平臺，實驗表明，實驗平臺定位精度達到了超精密定位的要求。波紋管驅動的定位平臺在國內外研究和應用較少，其主要優點有:

1)波紋管驅動相比較電動驅動而言，波紋管采用氣動作為驅動能量，環境干擾小，維護方便。

2)波紋管本身在較大行程中有著很高的定位精度，這一點是其他超精密驅動裝置，如壓電等所部具備的，因此在一些較大行程的超精密驅動中可以避免兩級驅動的模式。采用PSO進行參數優化之后的復合控制方案，控制精度較高。

3)波紋管造價低廉，有著明顯的價格和成本優勢。

4)波紋管能量來源為氣源，相對于電動而言，其驅動力的大小取決于管腔內的壓力和波紋管截面積，因此在同等體積下，其輸出推力相對于電機推力較大。

5)由于波紋管本身的柔性特性，可以考慮在一個平面內實現二維定位，從而避免的傳統的“H”型結構，降低了系統的機械結構復雜程度，便于設計和控制，也降低了平臺的硬件成本。

波紋管作為一種新型的驅動器件，研究表明其在超精密控制中有很好的應用前景，但是也存在諸多問題，目前還沒有專門的企業生產驅動用波紋管，本實驗中用到的波紋管為專門設計，其機械性能還有待進一步研究，其機械壽命也還需要進一步考慮和驗證，希望更多地專家和學者給予關注。

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