表象與定義相融合 深化概念理解

王少平

表象和定義是一個概念的兩個側面，是概念形成的共同體。前者表示概念的內部表征，是思維的重要組成部分；后者是概念的外部表征，是進行交流的基本工具。在數學概念教學中，有的學生只掌握了概念的定義而無表象；有的學生只有表象，而未掌握定義。這兩種現象，均表明學生沒有真正透徹地理解概念。如果僅有表象而沒有定義，則會由于表象的模糊性造成概念理解的不清晰；如果僅有定義而無表象，則會造成學生無法理解定義本身抽象性的形式化語句。所以，應當將二者進行合理整合，方可尋求小學數學概念教學的有效途徑。下面將結合“認識角”的教學，就概念教學的不同階段中表象與定義的整合策略進行探討。

一、 概念的感知階段，滲透表象和定義

由于小學生思維是以直觀形象思維為主，所以小學數學概念教學中，教師常常會通過呈現直觀材料讓學生感知概念。教師所選取的直觀材料作為概念的實物原型，其中便融入了概念的本質屬性，其直觀形象性便于學生了解概念的表面特征，利于形成直觀表象。

教學“認識角”時，課一開始，教師用課件出示剪刀、三角尺、鬧鐘等實物，讓學生指認角在哪兒。學生指認之后，教師又問：“你還能在哪些物體上找到角呢？”接著學生們在書上、黑板上、門框上……找到了角。

這一環節呈現的感知材料中，包含了角的一般屬性，學生在指認角的過程中初步感知了“角”，并在頭腦中初步形成角的直觀表象，使直觀材料與概念原型、角的表象與定義屬性之間發生關聯。但此時的表象都是不確切的，學生的學習并不深入，僅是停留于概念的表面特征，并未達到抽象的層次。在下面的教學中，應引領學生在感知的基礎上逐步豐富表象和反思抽象，直至形成定義。

二、 概念的表象階段，揭示定義的屬性與特征

為了幫助學生理解概念，不致于將概念的認識停留在以直觀材料為主的表象上，教師應借助表象引導學生在已有感知的基礎上，從不同的角度、不同的側面對概念的屬性、特征進行表征，這將是學生認知的一次“質”的飛躍。

上一環節教師讓學生到生活中找的“角”，沒有脫離實物，都是對具體材料的表征。接下來，教師讓學生在一組圖形中找角，學生找到了“長方形、三角形、正方形、平行四邊形”中的“角”，這是借助圖形進行表征。在“找角”后，教師演示將“角”從圖形中分離，即把“角”從圖形中“請”下來，也就是畫了一個“角”，從而學生明確“‘角和長方形、三角形一樣，也是一個平面圖形”，繼而認識角的各部分名稱，這是對角進行的語言表征。

由指出實物上的角、找圖形上的角再到畫角，這一過程中，不同形式的直觀感知，為學生豐富了角的表象。從實物表征、圖形表征到語言表征，這些對角的不同表征方式體現出了認知層次的差別：采用實物和圖形表征角，都只限于直觀水平，而對于角的本質并未真正理解。而語言表征，才反映出學生對角的概念理解層次的提升，因為它揭示了概念的本質屬性。

但表征材料本身的“模糊性”、“歧義性”使課堂上也出現了這樣的聲音：“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的圖形。”“角，就是長方形、三角形等圖形的一部分。”對于這樣不準確的定義，則需要進行更深一步的學習，幫助學生實現“自我修正”。

三、 概念定義階段，完善和修正概念表象

學生之所以在課堂上出現“角，就是長方形等圖形的一部分”，“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的圖形”的定義，究其原因有兩個：一是角的表象在不斷變化而定義則相對穩定；二是表象自身的不完善，甚至是殘缺性，才導致學生的認識不完善。為此，教師要引領學生及時概括抽象出相關定義，并對定義進行分析，給學生以準確的、清晰的概念表象，并通過定義對表象進行辨析、完善。

教師把角從圖形上“請”下來，學生運用語言表征“角”之后，教師讓學生們摸一摸三角板上的角，找到“尖尖的、直直的”感覺，繼而認識“角”是由一個尖尖的“頂點”和兩條直直的“邊”組成的圖形。緊接著，教師又讓學生畫出一個這樣的角。接下來，教師讓學生用吸管、小棒、細繩、圓片等不同的材料做出一個角，并指出角的頂點和邊分別在哪里。至此，學生才擁有了一個清晰、準確的角的表象，而關于角的定義亦是呼之欲出了。但教學不能止步于此，教師又安排了一個角的大小比較環節，在比較中明確角的大小與邊的長短無關，而與兩條邊張開的大小有關，從而學生對影響其大小的無關變量與有關變量有了更為明晰的認識。至此，學生們對角的認識不再拘泥于直觀的表象材料，而是更趨于理性。

四、 概念運用階段，豐富表象闡釋定義

數學概念形成的過程中，運用表象表征概念，有兩種功用：一是“具體——抽象”的表征階段，一是“抽象——具體”的表征階段。而數學概念的運用，多是用概念去表征具體材料，即讓學生用抽象的本質屬性去判斷新的具體材料的屬性。如果新的具體材料與前一階段中的具體材料相同或相仿，則學生們很快就可以做出回答。然而，當新的具體材料是概念的變式或新的現實情境時，則要重復“具體——抽象”的過程，對新屬性進行抽象。由此可見，有干擾的操作材料更有利于知識內化。

“認識角”這一課的練習環節，教師設計了變式練習：判斷下列圖形中的兩個角，哪個角大，哪個角小？為什么？

圖1和圖2通過肯定例證中無關特征的變化，凸顯了概念的本質屬性：角的大小與邊的長短無關。學生在辨析中體驗到角的外在形式上的可變性，深刻感悟到角的大小其本質屬性的不變性。在這一辨析過程中，學生運用概念闡釋了角的定義，于闡釋中內化了概念。這一變式材料的提供，為概念的建立提供了更加豐富的表象材料。

總之，只有在概念教學的各個階段，引導學生將概念的形式定義與內在思維表象加以融合，使學生認知結構不斷完善，并通過言語交流、操作運用等不同的表征方式，才可幫助學生厘清概念本質，使概念的理解得到深化。

【責任編輯：陳國慶】