帶約束的最小二乘求解算法在高光譜像元分解的應用

朱懷朝

摘要：本文主要研究德行高光譜數據經降維降噪選擇純凈像元，根據參照實際情況和實測光譜，最終根據所作工作確定了ANC約束下比ASC約束下、無約束最小約束算法的解混，并且ASC約束下算法比無約束最小約束算法效果好。

關鍵詞：遙感混合光譜模型最小二乘算法

1 非線性混合光譜分解模型

非線性混合光譜模型指的是當高光譜遙感中混合像元所占面積比較小時，光譜能量間涉及到反射以及散射等物理反應，如果入射光子和剩下的光子發生兩次以及多次散射時的反應。

r（λi）=Fjrj（λi）+FjFsrj(λi)rs(λi)+ε（λi），s，j=

1，2，…，m代表像元數目，i=1，2，…，n代表光譜通道，Fj，Fs代表豐度，即像元所占面積比，ε（λi）、ε代表光譜通道誤差、總誤差。

開始我們假設是以線性混合方式組合的，那么令

ρ（λi）=Fjρj（λi）+ε（λi），j=1，2，…，m代表端元數目，Fj代表豐度；ε代表通道中誤差，P代表實測波譜，ρ代表高光譜數據，則有：

ρ=ρ(λ1)

ρ(λ2)

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ρ(λn)，f=F1

F2

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F1，ε=ε(λ1)

ε(λ2)

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ε(λn)；

P=ρ1(λ1) ρ2(λ1) … ρm(λ1)

ρ1(λ2) ρ2(λ2) … ρm(λ2)

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ρ1(λn) ρ2(λn) … ρm(λn)

即ρ=Pf+ε，豐度Fj滿足條件， Fj=1，Fj代表端元面積比Fj≥0；則該問題應該是p、ρ是已經知道值，求解f知：ε=ρ-Pf，取ψ=εTε，對f求導數，得到PTρ-PTPf=0，即f=(PTP)-1PTρ。

2 ASC約束下最小二乘算法和IDL結果展示

設想全部遙感數據中像元豐度值滿足約束條件豐度值和是一，則有：ρ=Pf+ε

Fj=1j=1，2，…，m代表端元數目；Fj代表豐度值，ε代表所有光譜通道誤差和，P代表實測波譜，ρ代表德行尾礦數據。

3 ANC約束下最小二乘法算法及其具體實現

設想全部遙感數據中像元豐度值滿足約束條件豐度值全部為正，則有：ρ=Pf+ε

Fj≥0各字母代表的意義完全與以上兩種算法一致。

開始用無約束最小二乘已經求得f=(PTP)-1PTρ，我們又令αls=f。Minε=(Pf-ρ)T(Pf-ρ)，其中f≥0，調進正約束常量c=[c1，c2，…，cm]T，cj?0，j=1，2，…，m，組成非負約束矩陣c=[c1，c2，…，cm]T，組成數學分析中的Lagrangian乘數：J=(Pf-ρ)T(Pf-ρ)+λ(α-c)

如果α=c，因為=0可以求解：

(PTP)-1PαANC-PTρ+λ=0

這兩個式子就是運用2行迭代方程控制如下：

αANC=(PTP)-1PTρ-(PTP)-1λ=αls-(PTP)-1λ

λ=PT(ρ-αANC)

αANC和Lagrangian乘以λ=（λ1，λ2，…，λm），乘數必須符合λj=0j∈P

λj?0 j∈R

迭代算法中必須首先解決出無約束最小二乘算法的豐度值αls即f，要是無約束最小二乘算法結果所有都是正值，此時終止該算法。

對德行尾礦數據實施降維降噪以后，再選取ANC約束下最小二乘算法實施解混，對于隨機選取的四種礦物分布分析，含砷黃鐵礦、藍銅礦、斜綠泥石在分布分別為40%、20%、60%左右，古銅輝石在四號庫附近的分布比較均勻。

4 三種算法優劣比較

4.1 中國乃至發達國家截止現在沒有完全統一的說法來衡量像元分解算法的優勢和劣勢，但結合研究區域實測值可來比較三種算法豐度誤差圖，將研究區域誤差信息圖比較，發現ANC即非約束條件下運用最小二乘解混方法誤差小。

分別是ANC、ASC、無約束最小二乘算法解混誤差圖

4.2 同時運用均方差比較

RMSE=x（i）、y（i）分別是原圖像中和解混后同一混合像元在第i個光譜波段的地物豐度和。

[解混方法

無約束最小二乘混合像元分解

ASC約束下的最小二乘混合像元分解方法

ANC約束下的最小二乘混合像元分解方法][RMSE

0.3121

0.2910

0.2113]

參考文獻:

[1]浦瑞良，宮鵬.高光譜遙感及其應用[M].北京：高等教育出版社，2000:254.

[2]童慶禧，張兵，鄭蘭芬.高光譜遙感原理、技術與應用[M].北京：高等教育出版社，2006:415.

[3]Qian Du，Chein-I Chang，Linear Mixture Analysis-Based Compression.IEEE Transaction on Geo science and Remote Sensing[J]，2004：875-891.

本文的研究內容來源于恩師成都理工大學王茂芝教授項目：中國地質調查局計劃項目“地質勘查遙感系統集成與綜合應用示范”（項目編號：1212011120226）；數據來自EO-1/Hyperion，波長0.4-2.5微米，空間分辨率30米，波段數242。