錐序約束下定數截尾情形兩指數總體均值的估計及性質

李巧玲

摘要：本文給出了在定數截尾情形，在錐序約束α1λ1≤λ2≤α2λ1，α1>0，α2>0，α1≤α2條件下，兩指數總體均值λ的約束極大似然估計i，i=1，2。證明了i具有比常用估計量Si更小的均方誤差，并且給出了i對Si的漸進效率，i=1，2。

關鍵詞：錐序約束約束極大似然估計均方誤差漸進效率

本文首先給出了錐序約束下定數截尾情形兩指數總體均值的極大似然估計；然后討論了錐序約束下的極大似然估計的一些性質，得出了錐序約束下的極大似然估計具有比常用估計更小的均方誤差，并且給出了錐序約束下的極大似然估計對常用估計的漸近效率。

設X1，…，Xn1和 Y1，…，Yn2分別為來自均值為λ1和λ2的指數總體的簡單隨機樣本，其中α1λ1≤λ2≤α2λ1，α1>0，α2>0，α1≤α2。X(1)，…，X(r)和Y(1)，…，Y(r)分別為(n1，r)和(n2，r)定數截尾方案下的前r個次序統計量。記

則S1：（r，r/λ1），S2：（r，r/λ2）。

1 錐序約束α1λ1≤λ2≤α2λ1下λi(i=1，2)的約束極大似然估計

①當α1S1≤S2≤α2S1時，易知λi在錐序約束下的極大似然估計為Si，i=1，2。

②當S2<α1S1時，易知似然函數應在錐的邊界上達到最大，因此只需考慮參數空間{(λ1，λ2):λ2=α1λ1}上的點，這相當于在約束λ2=α1λ1下求Lagrange函數G（λ1，λ2，α）=2(lnn！-ln(n-r)！)-rlnλ1-rS1/λ1-rlnλ2-

rS2/λ2+α(λ2-α1λ1)的最大值點，即錐序約束下的極大似然估計。由Lagrange乘子法可得：

解之，得到λ1，λ2在錐序約束下的極大似然估計分別為

③當S2>α2S1 時，同②一樣，只需在約束λ2=α2λ1下求Lagrange函數G(λ1，λ2，α)=2（lnn！-ln(n-r)！）-rlnλ1-rS1/λ1-rlnλ2-rS2/λ2+α（λ2-α1λ1）的最大值點，同樣可得到λ1，λ2在錐序約束下的極大似然估計分別為：

由①，②，③可知在錐序約束α1λ1≤λ2≤α2λ1下，

λ1和λ2的約束極大似然估計分別為

2 均方誤差的比較及對Si的漸進效率

本節我們通過定理1和2證明錐序約束下的極大似然估計具有比常用估計更小的均方誤差，并且給出了錐序約束下的極大似然估計對常用估計的漸近效率。

為了以后討論的方便，記

易見 和R（Si）分別是 和Si的均方誤差，

也是它們在平方損失下的風險， 是對Si的

效率。

并且記y1=λ2/α1λ1，y2=λ2/α2λ2，y3=1/y1，y4=1/y2，則y1≥1，0

因

又因S1：（r，r/λ1），S2：（r，r/λ2）且S1與S2相互獨立，類似于文獻[6]的證明方法，可得

其中

A(y1)=(2r+1)/4(y12-2y1-3)，

B(y1)=1/2(y1+4r+3)>0，

C=-2(2r+3)/4<0。

用同樣的方法我們可以得到

其中

A1(y2)=(2r+1)/4(y22-2y2-3)<0，

B1(y2)=(2r+1)/2(y2-y22)+r(1+y2)>0，

C1(y2)=y22-ny2<0。

對的有關性質，有定理1成立。

定理1

①

②當=c0（大于0的常數）時，有

③當a2/a1→+∞時，有 。

證明：

①只需證K1<0，K2≤0。

記f(t)=A(y1)t2+B(y1)t+C則我們可得出當A(y1)≠0時，二次方程f(t)=0的兩根分別為：1/(1+y1)，。

當A(y1)>0時，1/(1+y1)是唯一的正根；當A(y1)<0時，1/(1+y1)是較小正根。

當A(y1)=0時，1/(1+y1)是唯一正根。于是當t∈[0，1/（1+y1）]時，f(t)<0。于是k1<0。

a記f1(t)=A1(y2)t2+B1(y2)t+C1(y2)

當0

b當r/(r+1)≤y2≤1時，把K2看作y2的函數并記φ（y2）=K2，對φ（y2）求二階導數得

于是當y2>r/(r+1)時， >0，即φ（y2）是凸函數。

又因為

因此當y2∈[r/（y+1，1）時，φ（y2）≤0，于是結論①成立。

②因

a當y1>1時，即λ2>α1λ1時，

因y1>1，故（1+y1）2/4y1>1，于是當r→∞時，K1→0。

同理可得0

b當y1=1時，即λ2<α1λ1時，

由Stirling公式可知當r→∞時，

于是當n1→∞時，K1→-1/4。

而K2=φ(1)= ，

同樣可得當n1→∞時，K2→-1/4。

由a知，α1λ1≤λ2≤α2λ1時，

從而有。

由a，b知，當λ2=α1λ1或λ2=α2λ1，且a1≠a2時，

有

于是有。

由b知當α1λ1=λ2=α2λ1時，

于是有，綜上可知結論②成立。

③因4t(1-t)≤1，可得

可知當a2/a1→∞時，有K1=0，K2=0，于是

從而當a2/a1→∞時， 于是結論③成

立。

對的有關性質，有定理2成立。

定理2

①

②當=c0(大于0的常數)時，有

③當a2/a1→+∞時，有。

證明：因為

。

類似于前面的計算可得

其中

A2(y3)=(2r+1)/4(y32-2y3-3)<0，

B2(y3)=(2r+1)/2(y3-y32)+r(1+y3)>0，

C2(y3)=y32-ny3。

其中A3(y4)=(2r+1)/4(y42-2y4-3)

B3(y4)=1/2(y4+4r+3)>0

C=-(2r+3)/4<0。

類似于定理1的證明方法可得此定理成立。

參考文獻：

[1]趙世順，王德輝，宋立新.錐序約束下兩個指數總體均值的估計[J].吉林大學學報(理學版)，2001(3):5-10.

[2]周偉萍，張德然，楊興瓊.序約束下兩個幾何總體參數的Bayes估計[J].山東理工大學學報(自然科學版)，2007(06).

[3]趙世舜，宋洋，宋立新.對稱熵損失下兩個指數總體均值的序約束估計[J].吉林大學學報(理學版)，2007(01).