淺埋圓形基礎豎向地基承載力極限分析上限解

陳飛+練繼建+王海軍

文章編號：16742974(2014)06009207

收稿日期：20130514

基金項目：國家高技術研究發展計劃(863計劃)資助項目(2012AA051702)；國家國際科技合作專項資助項目(2012DFA70490)；天津市應用基礎及前沿技術研究計劃資助項目(青年基金項目)(12JCQNJC04000)

作者簡介：陳 飛（1986-），男，河北邢臺人，天津大學博士研究生

通訊聯系人，Email: bookwhj@tju.edu.cn

摘 要：圓形基礎是一種應用廣泛的基礎形式，而目前基礎承載力研究主要集中在條形基礎上，對圓形基礎研究較少.針對現有圓形基礎承載力求解方法中存在的問題，構建了多塊體離散破壞模式，同時考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，求得豎向極限承載力的上限解表達式，并編制了最優化計算程序.將計算結果與已有的滑移線解、上限解、Hansen解以及工程實測資料進行廣泛比較，證明該處計算淺埋圓形基礎承載力的方法是更加準確合理的.然后根據計算結果分析了圓形基礎地基滑裂面特性，發現由于同時考慮了土體重度，計算得到的地基滑裂面范圍小于經典的對數螺旋滑裂面，滑裂面范圍隨內摩擦角的增大而增大，隨重度增加而減小，隨基礎埋深的增大而增大.



關鍵詞：承載力；多塊體離散模式；相容速度場；最優化方法；臨界滑裂面



中圖分類號：TU470 文獻標識碼：A

Upperbound Limit Analysis of theVertical Bearing 

Capacity of Circular Shallow Foundations



CHEN Fei, LIAN Jijian, WANG Haijun

(State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin Univ, Tianjin 300072, China)

Abstract: The circular foundation is one of the most widely used foundation types. However, little emphasis has been placed on the research of the bearing capacity for circular shallow foundations than strip footings. To solve this problem, an upperbound solution of the bearing capacity of circular shallow foundations was presented on the basis of the limit analysis by building a multiblock discrete model and taking soil weight, cohesion, and overload into account. Then, the present solutions have proved more accurate through comparisons with measured values found in references and calculation results using other methods. Additionally, analyses of the ground slide surface were carried out, which show that the scope of the slide surface searched is smaller than that of the classical logarithmic spiral surface, due to the weight of the soil. The scope of the slide surface increases with the increase of internal friction angle and embedded depth, but decreases with the increase of the unit weight of soil.

Key words:bearing capacity; multiblock failure mechanism; compatible velocity field; optimization; critical slide surface



圓形基礎是比較常見的一種基礎形式，在工程界應用頗為廣泛，尤其在近年來經常被用作新型結構的基礎[1].目前承載力問題研究多集中在條形基礎上[2-4]，對于圓形基礎，目前仍在均勻、無重量條件下推導出的Prandtl解基礎上，引入各種經驗修正系數，如Terzaghi, Hanson, Vesic等建議的三項疊加法.這些修正方法缺乏嚴格的理論依據，且計算結果往往偏差較大[5]，給圓形基礎的設計和校核等帶來不便，因此非常有必要對圓形基礎豎向承載力進行研究.

目前地基承載力計算研究的主要方法有極限平衡法[6]、滑移線方法[7]、極限分析法[8]等.極限分析法是以塑性理論上下限定理求解極限荷載的一種分析方法，Chen[9]在上下限定理基礎上建立了土體穩定分析的一般方法，該方法具有嚴格的理論基礎，且可以避開分析復雜的應力和應變隨外荷載如何變化，只需求出最終達到塑形極限狀態時所對應的破壞荷載.Donald和Chen[10]提出了建立在對土條進行斜分條的塑性力學上限解法，并使用最優化方法來求解臨界破壞模式，該方法在邊坡穩定分析[10]和擋土墻土壓力[11]等領域已有較多成功的應用，逐漸成為一種統一的、實用的土體穩定數值解法.近年來該方法也逐漸用于求解基礎承載力，如Soubra[8]使用斜條分法得到了條形基礎的承載力系數，計算結果優于傳統的三項疊加法；Lyamin和Sloan[12]將上限解法和有限元方法結合，得到了一種新的計算基礎承載力的數值方法；Shiau[13]、秦會來[14]、Huang[15]等將斜條分法用于分層地基，構建新的多塊體離散模式，得到了雙層地基條形基礎的承載力上限解.綜上所述，斜分土條上限解法在基礎承載力領域的研究大都集中在條形基礎，至于淺埋圓形基礎，目前相關研究較少.李亮[16]、張國祥[17]等選用對數螺旋面作為滑裂面，采取上限法求解了圓形基礎承載力，但對數螺線滑裂面是在無重土假設下得到的，當考慮土重因素時，無法獲得理論解[2].

針對上述研究現狀，本文將斜分土條法應用到淺埋圓形基礎承載力的極限分析中，同時考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，推導了豎向承載力的上限解表達式，并編寫最優化計算程序，得到了更加準確合理的圓形基礎承載力上限解和地基滑裂面，分析了滑裂面性質及影響因素.為了檢驗本文上限解計算結果，將計算結果與目前已有的滑移線解、上限解、Hansen解以及工程實測資料進行了比較.

1 圓形基礎承載力上限分析

1.1 上限定理

對于一個處于極限狀態的地基，假定在地基土體里存在一個塑性區，在這一塑性區和邊界上，如果由于某一外荷載增量ΔT*導致一個塑性應變增量，就可以通過虛功率原理求解相應于這一塑性變形模式的外荷載T*.上限定理指出，在所有運動許可變形場所對應的極限荷載中，真實的荷載最小.若將滑動土體分成若干具有傾斜側面的土條，假定沿條塊底面和側面土體均達到了極限平衡狀態，根據虛功原理可以得到以下方程：

WV*+T*V*=∑ni=1Dli+∑ni=1Ddi. (1)

式中：W為塑性區的體積力；T*為相應于塑性變形模式的外荷載；V*為塑性速度；Dl為沿土條側面的內能耗散率；Dd為沿土條底面的內能耗散率.

1.2 多塊體離散模式

在上述定理的基礎上，建立淺埋圓形基礎多塊體離散模式，如圖1所示.地基破壞區域分為錐形主動破壞區ABC，以及由n個土條組成的輻射狀剪切破壞區BCD.假定材料遵守摩爾庫倫破壞準則和相關聯的流動法則.在豎向外荷載作用下，錐形主動破壞區(ABC)以v0豎直向下運動，速度與基礎相同.輻射狀剪切破壞區(BCD)內的任一土條速度vi與滑動界面的夾角為φ，與相鄰條塊的相對速度為vi,i+1，并與該兩條塊的交界面的夾角也為φ.相鄰條塊的移動應保證條塊之間不發生重疊或分離，由此便可以推求任一條塊的運動速度vi和相鄰兩條塊之間的相對速度vi，i+1：

vi=v0cos (θ－φ)sin (β1－2φ)∏i－1j=1sin (αj+βj－2φ)sin (βi+1－2φ),(2)

vi,i+1=v0cos (θ－φ)sin (β1－2φ)sin (αi+βi－βi+1)sin (βi+1－2φ)×

∏i－1j=1sin (αj+βj－2φ)sin (βi+1－2φ)．(3)

圖1 地基多塊體離散模式

Fig.1 Section view of multiblock failure mechanism

1.3 功率計算與上限分析

內能耗散即速度間斷面上的能量耗散，外功率包括重力做功功率、基礎周圍負荷做功功率和極限荷載做功功率.

假設基礎直徑為D，取土體微元進行分析，如圖2所示，根據幾何關系可以得到以下關系式：

li=D2cos θ∏i－1j=1sin βjsin (αj+βj),(4)

di=D2cos θsin αisin (αi+βi)∏i－1j=1sin βjsin (αj+βj), (5)

ri=D2+13lisin θ+∑i－1j=1αj－π2+li+1sin θ+∑ij=1αj－π2．(6)

式中：li為條塊徑向長度；di為條塊底邊長度；ri 為條塊重心位置.



圖2相容速度矢量關系

Fig.2 Compatible velocity field

按照微元體計算功率并積分后可得：

1)錐體重力做功功率：

ΔWABC=18πγD3f1(θ,αi,βi)v0,(7)

f1=13tan θ.(8)

式中：q, c, γ分別為地基土的邊載、黏聚力和容重；θ為主動破壞區錐體頂角；αi和βi 為土條三角形內角.

2)條塊區重力做功功率：

∑ni=1ΔWi=18πγD3f2(θ,αi,βi)v0, (9)

f2=

∑ni=1cos (θ－φ)sin (β1－2φ)sin αisin βicos 2θsin (αi+βi)×

sin (βi－θ－φ－∑i－1j=1αj)∏i－1j=1sin 2βjsin 2(αj+βj)×

∏i－1j=1sin (αj+βj－2φ)sin (βi+1－2φ)×

1+13cos θsin (θ+∑i－1j=1αj－π2)∏i－1j=1sin βjsin (αj+βj)+13cos θsin (θ+∑ij=1αj－π2)∏ij=1sin βjsin (αj+βj)．(10)

3)基礎周圍邊載做功功率，假設基礎埋深為H，則邊載q=γH，邊載做功功率：

ΔWq=14πD2qf3(θ,αi,βi)v0,(11)

f3=cos (θ－φ)sin (β1－2φ)sin (βi－θ－φ－∑i－1j=1αj)×

2cos θ∏nj=1sin βjsin (αj+βj)+4×

∏n－1j=1sin (αj+βj－2φ)sin (βi+1－2φ)．(12)

4)豎向外力做功功率：

ΔWpu=Pvv0. (13)

式中：Pv為基礎所受外力.

5)能量耗散率：

a. 沿錐側面：

ΔDABC=14πD2cf4(θ,αi,βi)v0,(14)

f4=sin θcos φcos (θ－φ)sin (β1－2φ). (15)

式中：ΔD為斜條塊底面或側面的內能耗散.

b. 沿條塊底面總耗散率：

∑ni=1ΔDdi=14πD2cf5(θ,αi,βi)v0,(16)

f5=

∑ni=1sec θcos φcos (θ－φ)sin (β1－2φ)×

sin αisin αi+βi?∏i－1j=1sin βisin αi+βi×

∏i－1j=1sin αj+βi－2φsin βj+1－2φ×

2+1cos θsin θ+∑i－1j=1αj－π2?∏i－1j=1sin βisin αi+βi+1cos θsin θ+∑ij=1αj－π2?∏ij=1sin βisin αi+βi． (17)

c. 沿條塊側面總耗散率：

∑ni=2ΔDli=14πD2cf6(θ,αi,βi)v0,(18)

f6=

∑ni=1sec θcos φcos (θ－φ)sin (β1－2φ)sin αi－1+βi－1－βisin βi－2φ×

∏i－1j=1sin βisin αi+βi?∏i－2j=1sin αj+βi－2φsin βj+1－2φ×

2+1cos θsin θ+∑i－1j=1αj－π2?∏i－1j=1sin βisin αi+βi． (19)

在豎向荷載作用下，兩相鄰條塊之間接觸面作用力方向無相對速度分量，條塊前后表面無能量損失，故總的能量耗散率為式(14)、式(16)和式(18)之和：

∑ΔD=ΔDABC+∑ni=1ΔDdi+∑ni=2ΔDli. (20)

由上限定理可知，內能消散率等于外力的總功率，可建立等式經化簡后如下：

Pv14πD2=

12γD－f1(θ,αi,βi)－f2(θ,αi,βi)+

cf4(θ,αi,βi)+f5(θ,αi,βi)+f6(θ,αi,βi)+

q－f3(θ,αi,βi) ．(21)

2 上限解的計算與檢驗

2.1確定臨界狀態的數值分析方法

由式(21)可以看出，極限承載力pu是變量θ, αi和βi的函數，變量數目為2n+1.根據上限定理，在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應的荷載中，極限荷載為最小.因此求解極限荷載即為尋找使得pu取得最小值時的變量值(θ, αi, βi)，最優變量值構成的破壞面即為臨界滑裂面，如圖3所示.故上述問題可以歸結為，對于一個具有2n+1個自變量ZT的目標函數pu，尋找使pu獲得最小值的自變量[見式(22)]，屬于多變量非線性規劃問題.

pu=f(θ,α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn)，

ZT=θ,α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βnT． (22)

非線性規劃中的最優化方法為解決此類問題提供了強有力的手段.目前已有許多十分成熟的計算方法，如單行法、模式搜索法、隨機搜索法、遺傳算法等，都可以較好地解決最小值分析問題，近幾年實際應用表明，采用單行法等直接搜索法可能更為有效[2].



圖3 搜索臨界滑裂面(軸對稱示意圖)

Fig.3 Search of critical slip surface (axisymmetric diagram)

本文采用Matlab編程進行最優化計算，選用單形法尋優，在循環搜索過程中，通過自變量θ,αi和βi反復迭代、擴充和收縮，使單形不斷更新、逼近極值點，逐漸由滑裂面1向滑裂面2逼近，變量θ,αi和βi逐漸過渡到使目標函數最小的新數值θ′,αi′和βi′.

2.2 上限解與滑移線解比較

首先以承載力系數Nq為例，對計算方法和結果進行驗證.Bolton和Lau[7]針對圓形淺埋基礎利用滑移線法進行計算，得到圓形基礎的承載力系數Nq，計算結果被廣泛引用.滑移線法從構造應力場出發，雖與上限解屬同一理論體系，但由于其不能證明構造的靜力許可應力場在全局范圍內適用，滑移線解的上下限性質不明確.令c=0, γ=0，代入式(21)，計算結果即為對于圓形淺埋基礎普遍適用的承載力系數Nq.劃分條塊數量越多，計算結果無疑更加準確，在計算時取一系列不同的條塊數量(n=1, 2, 3, …)進行試算.將φ=30°時的Nq計算結果隨條塊數量變化關系繪于圖4，從中可以看出，隨著斜條塊數目n的增加，Nq變化率逐漸降低，當條塊數目n=10時，Nq變化率降至0.06%，計算結果已趨于穩定，滿足精度要求.下面將本文上限法計算得到的Nq數值與Bolton和Lau[7]滑移線解進行比較，見圖5．可以看出，本文上限解結果與滑移線法結果數值比較相近，并且兩種方法反映的Nq變化規律也非常一致：Nq隨內摩擦角增大而變大，并且增加幅度也逐漸增大.與滑移線解結果相比，上限解計算結果普遍偏小，因此是更加準確的，驗證了本文計算方法的可靠性.

2.3 與工程實例資料和其他上限解對比分析

為進一步驗證本文上限解，將其與文獻[5]和

[16]中工程實例實測值、文獻[16]中上限解和按照Hansen經典解計算結果進行比較，見表1.從表1中數據對比可以看出：本文上限解計算結果與實測值非常接近，誤差基本控制在10%以內，尤其黏土土質上限解與實測值吻合良好，在粉土和砂土質中誤差稍大，最大誤差分別為12.3%和10.9%；上限解大都略大于實測值，這是符合上限定理的，原因在于它從構建一個處于塑性區和滑裂面上的位移場出發，本身即是從上限方向逼近真實解的.

與Hansen解和文獻[16]上限解計算結果相比，可以看出本文計算結果更加接近實測值，Hansen解在軟黏土中誤差較大；本文上限解大都大于文獻[16]上限解，這是由于文獻[16]上限解選用的是Prandtl對數螺旋面作為滑裂面，計算時不考慮土體重度，因此得到的承載力的上限解偏小，而本文求解時同時考慮了土體自重、邊載、黏聚力等因素，計算承載力時自動搜索到最危險的滑裂面，計算結果更加符合實際情況，同時這也驗證了本文上限解搜索到的地基滑裂面的合理性.下面將對計算得到的地基滑裂面進行比較分析.

n

圖4φ=30°時Nq隨劃分條塊數目變化趨勢



Fig.4Trends of Nq according to the 

number of strips for φ=30°



/c

圖5承載力系數Nq計算結果對比



Fig.5 Calculation result of Nq and comparison



表1 豎向極限承載力計算結果比較

Tab.1 Comparison between present ultimate bearing capacity and data in references

序號

土名

H

/ m

γ

/(kN?m-3)

c

/ kPa

φ

/(°)

實測值

/ kPa

本文上限

解/ kPa

相對誤差：

(8)－(7)(7)×100

Hansen解

/kPa

文獻[16]

上限解

/kPa

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

1

黏土

3.0

19.50

22.0

22.0

950

927.3

2.4

1 175.3

1 020.9

2

黏土

2.6

16.20

28.4

15.2

450

436.6

3.0

635.2

391.8

3

粉土

2.0

18.10

23.0

14.5

350

362.4

3.5

514.3

376.7

4

粉土

2.0

20.60

25.0

18.3

750

694.5

7.4

1145.5

626.3

5

粉土

1.6

20.80

9.8

24.8

850

872.3

2.6

616.3

769.3

6

砂土

2.2

20.40

5.1

32.4

2 500

2 693.6

7.7

2v795.2

2 218.9

7

砂土

2.5

22.40

5.3

36.2

4 500

4 742.5

5.4

5 574.7

4 812.3

8

砂土

1.8

21.20

7.7

26.4

1 000

1 109.1

10.9

1 374.8

949.5

9

粉土

0

17.06

9.8

20.0

220

245.6

11.7

218.8

—

10

粉土

0.3

17.06

9.8

20.0

257

279.8

8.9

306.9

—

11

粉土

0.4

17.70

12.8

22.0

410

447.3

9.1

493.0

—

12

粉土

0.5

17.65

14.7

25.0

550

617.7

12.3

1 187.6

—

3 地基滑裂面比較分析

3.1 滑裂面比較

為了研究上述地基滑裂面性質，比較其與文獻[16]中使用的經典的對數螺線滑裂面的不同，特選取以下算例進行計算分析，基礎直徑D=5 m，埋深H=1.5 m，地基土重度為γ=20 kN/m3，內摩擦角φ=30°，黏聚力c=10 kPa.對上述基礎進行上限計算分析，圖6滑裂面1為計算得到的地基滑裂面形狀的軸對稱剖面圖.由①錐形主動破壞區和②10個輻射狀剪切破壞區構成.可以看出：破壞范圍在90°左右，其中輻射狀剪切破壞區依次由條塊1~10構成，其中條塊1~9的形狀和大小及破壞模式非常接近，條塊10的范圍較大.與文獻[16]中使用的對數螺線滑裂面(圖6中滑裂面2)相比，可以看出本文地基滑裂面范圍較小，這是由于計算時考慮了土體自重造成的；由于對數螺線滑裂面是在無重土的情況下得到的，所以其滑裂范圍較大，直接應用于考慮土重時的圓形基礎承載力計算是不合理的.本文計算得到的臨界滑裂面同時考慮了q, c和γ的影響，并可看出臨界滑裂面受土體自重影響較大.



圖6 滑裂面圖示與比較(軸對稱剖面圖)

Fig.6Critical slip surface and comparison with logarithmic

spiral surface (axisymmetric diagram)



3.2臨界滑裂面影響因素

進一步研究地基土重度和內摩擦角對地基滑裂面的影響，對上述算例取多組不同的φ, γ, H，研究基礎臨界滑裂面的變化情況，計算得到的臨界滑裂面的形狀如圖7，圖8和圖9所示.



圖7 滑裂面形狀隨內摩擦角變化軸對稱圖



Fig.7 Axisymmetric diagram of critical slip surface 

with variation of the internal frictional angle





圖8 滑裂面形狀隨重度變化軸對稱剖面圖



Fig.8 Axisymmetric diagram of critical slip surface 

with variation of the unit weight of the foundation





圖9 滑裂面形狀隨埋深變化軸對稱剖面圖



Fig.9 Axisymmetric diagram of critical slip surface 

with variation of the depth of embedment



可以得到以下結論：

1)當D=5 m，H=1.5 m，γ=20 kN/m3，c=10 kPa時，取φ分別為20°，25°，30°，35°和40°，得到臨界滑裂面如圖7所示，可以看出臨界滑裂面范圍隨內摩擦角的增大而擴大，①區錐形體頂角θ逐漸增大，②區滑裂范圍向外向下延伸，同時引起承載力數值的增大.

2)當D=5 m，H=1.5 m，φ=30°，c=10 kPa時，取γ分別為0，5 kN/m3，10 kN/m3，15 kN/m3，20 kN/m3和25 kN/m3，得到臨界滑裂面如圖8所示，可以看出當地基土重度變大時，滑裂面范圍變小變淺，①區錐形體頂角θ逐漸減小，②區滑裂范圍收縮，這與3.1中的結論是一致的，即地基重度會減小滑裂面范圍.

3)當D=5 m，γ=20 kN/m3，φ=30°，c=10 kPa時，取深徑比H/D分別為0，0.1，0.2，0.3，0.4和0.5，得到臨界滑裂面如圖9所示，當基礎埋深增大時，錐形體頂角隨之增大，輻射區滑裂范圍向外向下延伸，滑裂面范圍變大.

4結 論

承載力問題是巖土工程的基本課題之一，目前研究主要集中在條形基礎上，對圓形基礎研究較少，這給圓形基礎設計校核帶來不便.基礎承載力受到土性、邊載、基礎形狀等多種因素影響，鑒于基礎承載力問題的復雜性，采用極限分析法對淺埋圓形基礎承載力進行分析求解，構建了多塊體破壞模式協調的機動速度場，避開復雜的應力應變關系，可同時考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，得到了圓形基礎豎向極限承載力的上限解，并通過計算分析得出以下結論：

1)本文上限解與實測值以及多種計算方法得到的結果進行了廣泛比較，與文獻資料中實測結果對比，發現二者非常接近，并且本文計算結果比已有上限解、滑移線解和Hansen解更準確，說明了本文計算方法的合理性和準確性.

2)采用本文計算方法得到了圓形基礎地基滑裂面，并與其他作者使用的經典的對數螺旋滑裂面進行比較，發現本文計算得到的地基滑裂面范圍較小較淺．這是由于本文采取多塊體離散模式，計算時同時考慮了地基土重度、黏聚力和邊載因素，地基土重度使得滑裂面范圍變小，更加符合實際情況.

3)較全面地討論了地基主要土質參數對地基滑裂面的影響，發現臨界滑裂面隨內摩擦角的增大而增大，隨重度增加而減小，隨埋深的增大而增大.

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