高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的案例分析

張劍祥 周云

【摘要】作為最基本、最常用的思想方法，化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要的角色，使學(xué)生能夠快速準(zhǔn)確地解題。本文對(duì)化歸思想及其原則進(jìn)行了論述，并通過(guò)幾個(gè)案例分析了化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；原則；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；案例分析

一、引言

目前，很多教師都已經(jīng)意識(shí)到了思想教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，并努力嘗試從數(shù)學(xué)思想角度去教學(xué)。但大多數(shù)教師只是將數(shù)學(xué)思想拘泥于解題技巧的運(yùn)用，不能夠深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想，更不能站在一定高度上使其廣泛化。好多學(xué)生反映上課時(shí)能聽(tīng)懂，但是碰到稍微難一點(diǎn)的數(shù)學(xué)題就不會(huì)解，中學(xué)學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)之后常因用不到就忘掉了，但數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維和推理方法仍銘記在腦海中。這些都是數(shù)學(xué)思想方法在起作用，化歸思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本和最常用的思想方法，但是許多高中學(xué)生對(duì)這一思想的運(yùn)用還不熟練，教師有必要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生化歸思想方面的培養(yǎng)。

二、化歸思想及其重要性

化歸思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，就是在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，通過(guò)將題目變化或轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而使復(fù)雜問(wèn)題得到解決。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，化歸思想方法無(wú)疑占據(jù)著重要的地位，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決總與化歸思想密切聯(lián)系，在數(shù)學(xué)研究中得到了廣泛的應(yīng)用，如由未知向已知的轉(zhuǎn)化、由復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，由新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等各種轉(zhuǎn)化，結(jié)果都是由陌生轉(zhuǎn)位熟悉，從而解決問(wèn)題。化歸思想有利于改變數(shù)學(xué)教育落后的局面，不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法改革的深入，從而加強(qiáng)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，全面提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量。

三、劃歸原則

化歸思想具有多層次和重復(fù)性的特點(diǎn)，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中，為了充分調(diào)動(dòng)和運(yùn)用我們熟悉的知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，有效地進(jìn)行劃歸，在劃歸過(guò)程中應(yīng)遵循以下原則：首先是熟悉化原則，就是將陌生的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題，如將非等差等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列；第二是簡(jiǎn)單化原則，是將復(fù)雜的高難度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決從而解決原復(fù)雜問(wèn)題；第三是具體化原則，在分析和解決問(wèn)題時(shí)，將抽象的問(wèn)題具體化，將問(wèn)題直觀化進(jìn)行求解；最后是和諧化原則，就是將問(wèn)題的展現(xiàn)形式轉(zhuǎn)變?yōu)楦臃蠑?shù)學(xué)中和諧統(tǒng)一的形式，如讓沒(méi)有規(guī)律的式子變得越來(lái)越有規(guī)律。

四、案例分析

1.由高次式向低次式的轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)中有許多高次式，使學(xué)生們不知道從何下手，如果能用化歸思想把高次式轉(zhuǎn)化為低次式，問(wèn)題就可以很容易迎刃而解。

例：已知，求的值。

從題目中可以看出，本題所給的條件是含字母x的一次等式，而問(wèn)題是含x的四次式，我們可以把問(wèn)題通過(guò)降次，轉(zhuǎn)化為熟悉的低次等式從而解決問(wèn)題。

2.由多元向一元轉(zhuǎn)化

當(dāng)題目中出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)，學(xué)生一般都會(huì)想到消除未知數(shù)。一元的未知數(shù)很好消除，但對(duì)于多元未知數(shù)就有一定難度了，如果能把多元轉(zhuǎn)化為一元未知數(shù)，問(wèn)題就容易多了。

例：若，求。

本題可以新增加一個(gè)未知數(shù)k，表面看似乎是把問(wèn)題更加復(fù)雜化了，但是可以把問(wèn)題中的三個(gè)未知數(shù)都轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)k，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。

,x=3k，y=-5k，z=8k，

3.幾何問(wèn)題向代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化

例：在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， P為AB邊上任意一點(diǎn)。求證：|AP2|+|BP2|=2|CP2|

分別以AC、BC所在的直線為x軸、y軸，C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，依題意設(shè)A(a， 0)，B(0，a)， C(0， 0). 則AB邊上的點(diǎn)P為（x， y）

|AP2|+|BP2|=(x-a)2+(y-0)2+(x-0)2+(y-a)2=

2x2+2y2-2a(x+y-a)

由于點(diǎn)P在AB邊上，所以

x+y-a=0，|AP2|+|BP2|=2x2+2y2，

2|CP2|=2x2+2y2=|AP2|+|BP2|

由此可見(jiàn)，用化歸思想把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，就把問(wèn)題的難度降低了很多。

4.由動(dòng)向靜轉(zhuǎn)化

世間萬(wàn)物都是相對(duì)靜止的，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的，我們要用運(yùn)動(dòng)的，變化的觀點(diǎn)來(lái)看待問(wèn)題，在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也一樣，把通常認(rèn)為的不變量看成變量，或許就可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例：對(duì)于任意a∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=x2+(a

-4)x+2-2a的值恒大于零，求x值的取值范圍。

在本題中，一般學(xué)生都會(huì)把x看成變量，這樣的話，題目就成了比較繁雜的二次函數(shù)問(wèn)題，這時(shí)候我們可以利用化歸思想把a(bǔ)看成變量，就使題目轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問(wèn)題。

設(shè)g(a)=x2+(a-4)x+2-2a=(x-2)a+x2-4x+2=f(x)

為以a為變量的一次函數(shù)，要使g(a)>0并且滿足條件a∈[-1,1]，則只需要g(-1)>0并且g(1)>0即可，把a(bǔ)=-1和1分別代入(x-2)a+x2-4x+2>0即可求出x的取值范圍為(-∞,0)∪(4,+∞)

除了以上分析的幾種方法外，規(guī)劃思想方法還有很多種，比如配方法、分解法、建模法、特殊化法等，這些劃歸方法在高中數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，教師在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)對(duì)這些方法不斷進(jìn)行總結(jié)，充分引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，把必要的解題技巧傳授給學(xué)生，讓學(xué)生能夠感受到劃歸方法的精妙和作用，并使學(xué)生熟練掌握這些方法。

五、結(jié)語(yǔ)

總之，化歸思想從復(fù)雜到簡(jiǎn)單、從陌生到熟悉來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮著重要的作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用化歸思想解題的訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握劃歸方法，快速準(zhǔn)確地進(jìn)行解題，提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量。

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