在運動中分析,在變化中求解

吳金有

在初中數學中與“動”有關的問題一般都是教學中的難點，而且這類問題對學生思維品質的培養和各種能力的提高都有很大的促進作用。在近年的中考命題中，許多地區都以“動點”的問題作為壓軸題。這類試題集代數與幾何的眾多知識點于一題，滲透了分類討論、數形結合等教學思想。

這類試題以運動的點、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個或多個變量，要求確定變量與其他量之間關系，或變量在一定條件下為定理時，進行相關幾何計算和綜合性解答。解決這類題，一般要根據圖形變化的過程，對其不同的情況進行分類求解。本文以各地市的中考動點型問題為例進行分析。

一、動點與列函數關系相結合

此類問題一般是通過參變量時間t，并利用幾何的一些性質，得到關于含t的代數式，由此來描述動點的運動過程，使動點視為定點參與計算，從而列出含參變量t的函數關系式，這是初中數學中解決“動點”問題最常用的方法之一。

例1[2014年沖刺卷]如圖，直線Y=- 3-4 x+6與坐標軸分別A,B 兩 點，動點P、Q同時從0出發，同時到達A點，運動停止，點Q沿線段AO運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿線段O→B→A運動。

（1）寫出A、B兩點的坐標；

（2)? 設點Q運動時間為1秒，∠OPQ面積為S，求S與t之間的函數關系式;

（3）當S=48-5時，求P點的坐標，并求出O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M坐標。

分析：本題是動點和函數關系式的綜合性試題，這類的問題難度不太大。處理方法是探索P點運動規律，對運動過程進行分類討論。再根據題目的要求列函數關系式。

二、動點與圖形相似結合

這種“動點與圖形相似結合”的綜合性試題，它讓動點帶幾何圖形的運動變化，在變化中利用相似的討論方法進行分類討論。

例2[2009廣西欽州]如圖，已知拋物線y=(3-4 )x2+bx+c與坐標軸交于A、B、C三點，?A點的坐標為（-1，0），過點C的直線y=( 3-4t )x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點C的坐標是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；

（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由。

分析：以P、H、Q為頂點的三角形隨P點的運動形狀不斷變化，但△COQ的形狀和各邊長是固定不變，利用相似三角形的知識和相似討論的方法不難求解本題的答案。

三、動點與最值問題相結合

動點與最值問題相結合是近年來興趣的新型試題，這類題目綜合性和探索性較強，要求學生在動中求靜，必須要對圖形分析、觀察，才能正確地求解。

例3[2014中考模擬卷]如圖，在平面直角坐票系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4、3）。平行于對角線AC的直線M從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t(秒)。

（1）點A的坐標是 ，點C的坐標是 ；

（2）設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式；

（3）探求（2）中得到的函數S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，要說明理由。

分析：本題以動點為背景，要求學生正確分析變量和其他量之間的內在聯系，建立變量與其他量之間的函數關系式，并運用數形結合的知識和方法去解決二次函數的最值問題。解題過程中滲透數形結合思想。

四、動點與分類討論相結合

分類討論在數學中應用比較廣泛，它對考查學生全面分析問題、考慮問題可能產生的多種情況的能力有獨特的作用。

例4[2007金華] 如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4，√3），點B在x正半軸上，且∠ABO=30°．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒√3個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在x軸上取兩點M，N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示），并求出當等邊△PMN的頂點M運動到與原點O重合時t的值；

（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB內部作如圖2所示的矩形ODCE，點C在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

分析：解答這類問題要進行分類討論，隨P在線段BA上移動，△PMN的大小及位置都發生變化，則等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的形狀發生變化，找到重疊部分“形”變化時的t進行分類討論。解答此題要求學生仔細審題，根據條件分類畫出圖形，通過觀察、比較、分析圖形的變化，提示圖形之間的內在聯系。這種題型有一定探索性，知識的綜合性強，對學生的思維能力要求高，試題有一定的區分度，深受命題老師的歡迎。

參考文獻：

[1]張奠宙，李士.《數學教育學導論》.高等教育出版社，2003年

[2]朱仁寶、王榮德主編.《21世紀老師素質修養》.浙江大學出版社，2001年

[3]布盧姆等編.《教育評價》.華東師范大學出版社，1988年