向量數量積幾何意義的應用
2014-09-27 10:35:48李政輝
都市家教·下半月 2014年8期
李政輝
【摘要】向量是高中數學新課程新增的知識，每一年都進入了高考試題．向量的數量積是向量中的重點，它的幾何意義幫助學生理解向量作為工具的內涵．恰當應用向量數量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運算量。
【關鍵詞】幾何意義；數量積；向量
設a→、b→是兩個非零向量，| b→|cos
一、用數量積幾何意義解線性規劃
教材對求解形如Z=ax+by的目標函數在線性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數（目標函數）轉化為求直線在y軸截距的問題，然后利用線性規劃知識來求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因為為定值，所以由數量積的幾何意義可知，Z的最值依賴于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點的最佳點即為最優點．當可行域存在點A，使在方向上的投影||cosθ最大時，Zmax=·；當可行域存在點B，使在方向上的投影||cosθ最小時，Zmin=· 。
例1設變量x，y滿足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )
（A）1，-1（B）2，-2
（C）1，-2（D）2，-1
解：作出圖1，設N（x，y）為可行域內任一點，
M（1，2），則Z=·，由數量積的幾何意義：
當N（x，y）在點A（0，1）處時，Zmax=2；
當N（x，y）在點B（0，－1）處時，Zmin=-2。
二、用向量數量積幾何意義解如下平面幾何的問題
1.平面多邊形的問題
例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數量積最大的是()
A. B.
C. D.
解：四個選項都有，由數量積的幾何意義知某個向量在向量方向上的投影最大數量積就最大，過點P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。
2.有關圓的問題
在圓上一點引半徑和一條不過圓心的弦，因為圓心與弦中點的連線垂直弦，故半徑對應的向量在弦投影等于弦的一半。
例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請求出；若不是，請說明理由。
解：如圖3，過點O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2
3.有關三角形的問題
設O是△ABC的外心，因為外心是三邊中垂線的交點，故由向量數量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。
例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。
解： 注意到向量的加法運算及數量積
的幾何意義，便有如下簡解。
·=·(-)=·-·
∵O為是△ABC的外心，
∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，
·= 1-2 ||2= 25-2
故·=8
三、用向量數量積幾何意義解立體幾何距離問題
設平面α的一個法向量為n→，A為平面α外一點，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內任一點，則由數量積的幾何意義得：點A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對值。
∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，
∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)
例5.已知正方形ABCD是邊長為4，E、F分別為AB和AD的中點，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點B到平面GEF的距離。
解：如圖5，建立空間直角坐標系，則G(0，0，2)，F(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).
所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)
設平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，
∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)
∴得點B到平面GEF的距離為：
d=|·n→|/| n→|=2√11/11
用向量法解空間距離時，( * )式為求距離的統一公式，其中求兩條異面直線的距離時，n→為與兩異面直線的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線上的任意兩點；在求兩平行平面的距離時，n→為兩平面的一個法向量，A、B分別為兩個平面內任意兩點。
以上是向量數量積幾何意義應用的幾個方面，向量數量積幾何意義的應用豐富了中學數學內容，拓寬了學生的視野，對培養學生的數形結合能力、探索能力和創新能力起到很好的效果。
【摘要】向量是高中數學新課程新增的知識，每一年都進入了高考試題．向量的數量積是向量中的重點，它的幾何意義幫助學生理解向量作為工具的內涵．恰當應用向量數量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運算量。
【關鍵詞】幾何意義；數量積；向量
設a→、b→是兩個非零向量，| b→|cos
一、用數量積幾何意義解線性規劃
教材對求解形如Z=ax+by的目標函數在線性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數（目標函數）轉化為求直線在y軸截距的問題，然后利用線性規劃知識來求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因為為定值，所以由數量積的幾何意義可知，Z的最值依賴于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點的最佳點即為最優點．當可行域存在點A，使在方向上的投影||cosθ最大時，Zmax=·；當可行域存在點B，使在方向上的投影||cosθ最小時，Zmin=· 。
例1設變量x，y滿足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )
（A）1，-1（B）2，-2
（C）1，-2（D）2，-1
解：作出圖1，設N（x，y）為可行域內任一點，
M（1，2），則Z=·，由數量積的幾何意義：
當N（x，y）在點A（0，1）處時，Zmax=2；
當N（x，y）在點B（0，－1）處時，Zmin=-2。
二、用向量數量積幾何意義解如下平面幾何的問題
1.平面多邊形的問題
例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數量積最大的是()
A. B.
C. D.
解：四個選項都有，由數量積的幾何意義知某個向量在向量方向上的投影最大數量積就最大，過點P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。
2.有關圓的問題
在圓上一點引半徑和一條不過圓心的弦，因為圓心與弦中點的連線垂直弦，故半徑對應的向量在弦投影等于弦的一半。
例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請求出；若不是，請說明理由。
解：如圖3，過點O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2
3.有關三角形的問題
設O是△ABC的外心，因為外心是三邊中垂線的交點，故由向量數量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。
例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。
解： 注意到向量的加法運算及數量積
的幾何意義，便有如下簡解。
·=·(-)=·-·
∵O為是△ABC的外心，
∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，
·= 1-2 ||2= 25-2
故·=8
三、用向量數量積幾何意義解立體幾何距離問題
設平面α的一個法向量為n→，A為平面α外一點，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內任一點，則由數量積的幾何意義得：點A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對值。
∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，
∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)
例5.已知正方形ABCD是邊長為4，E、F分別為AB和AD的中點，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點B到平面GEF的距離。
解：如圖5，建立空間直角坐標系，則G(0，0，2)，F(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).
所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)
設平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，
∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)
∴得點B到平面GEF的距離為：
d=|·n→|/| n→|=2√11/11
用向量法解空間距離時，( * )式為求距離的統一公式，其中求兩條異面直線的距離時，n→為與兩異面直線的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線上的任意兩點；在求兩平行平面的距離時，n→為兩平面的一個法向量，A、B分別為兩個平面內任意兩點。
以上是向量數量積幾何意義應用的幾個方面，向量數量積幾何意義的應用豐富了中學數學內容，拓寬了學生的視野，對培養學生的數形結合能力、探索能力和創新能力起到很好的效果。
【摘要】向量是高中數學新課程新增的知識，每一年都進入了高考試題．向量的數量積是向量中的重點，它的幾何意義幫助學生理解向量作為工具的內涵．恰當應用向量數量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運算量。
【關鍵詞】幾何意義；數量積；向量
設a→、b→是兩個非零向量，| b→|cos
一、用數量積幾何意義解線性規劃
教材對求解形如Z=ax+by的目標函數在線性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數（目標函數）轉化為求直線在y軸截距的問題，然后利用線性規劃知識來求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因為為定值，所以由數量積的幾何意義可知，Z的最值依賴于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點的最佳點即為最優點．當可行域存在點A，使在方向上的投影||cosθ最大時，Zmax=·；當可行域存在點B，使在方向上的投影||cosθ最小時，Zmin=· 。
例1設變量x，y滿足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )
（A）1，-1（B）2，-2
（C）1，-2（D）2，-1
解：作出圖1，設N（x，y）為可行域內任一點，
M（1，2），則Z=·，由數量積的幾何意義：
當N（x，y）在點A（0，1）處時，Zmax=2；
當N（x，y）在點B（0，－1）處時，Zmin=-2。
二、用向量數量積幾何意義解如下平面幾何的問題
1.平面多邊形的問題
例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數量積最大的是()
A. B.
C. D.
解：四個選項都有，由數量積的幾何意義知某個向量在向量方向上的投影最大數量積就最大，過點P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。
2.有關圓的問題
在圓上一點引半徑和一條不過圓心的弦，因為圓心與弦中點的連線垂直弦，故半徑對應的向量在弦投影等于弦的一半。
例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請求出；若不是，請說明理由。
解：如圖3，過點O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2
3.有關三角形的問題
設O是△ABC的外心，因為外心是三邊中垂線的交點，故由向量數量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。
例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。
解： 注意到向量的加法運算及數量積
的幾何意義，便有如下簡解。
·=·(-)=·-·
∵O為是△ABC的外心，
∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，
·= 1-2 ||2= 25-2
故·=8
三、用向量數量積幾何意義解立體幾何距離問題
設平面α的一個法向量為n→，A為平面α外一點，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內任一點，則由數量積的幾何意義得：點A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對值。
∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，
∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)
例5.已知正方形ABCD是邊長為4，E、F分別為AB和AD的中點，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點B到平面GEF的距離。
解：如圖5，建立空間直角坐標系，則G(0，0，2)，F(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).
所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)
設平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，
∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)
∴得點B到平面GEF的距離為：
d=|·n→|/| n→|=2√11/11
用向量法解空間距離時，( * )式為求距離的統一公式，其中求兩條異面直線的距離時，n→為與兩異面直線的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線上的任意兩點；在求兩平行平面的距離時，n→為兩平面的一個法向量，A、B分別為兩個平面內任意兩點。
以上是向量數量積幾何意義應用的幾個方面，向量數量積幾何意義的應用豐富了中學數學內容，拓寬了學生的視野，對培養學生的數形結合能力、探索能力和創新能力起到很好的效果。
