函數(shù)對(duì)稱性的探究

王斌

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是競(jìng)賽和高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.本文擬從函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì).

一、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究

定理1.函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=f（2a-x）.

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.

（充分性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y=f（x）.

∵f（x）+f（2a-x）=2b，∴f（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.

故點(diǎn)P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱，充分性得征.

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2.函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

定理3.①若函數(shù)y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

②若函數(shù)y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

③若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱，

∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）

又∵函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對(duì)稱，

∴f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得

f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

二、不同函數(shù)對(duì)稱性的探究

定理4.函數(shù)=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對(duì)稱.

定理5.①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱.

②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱.

③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱.

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③.

設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y=f（x）.記點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P′（x，y），則x=a+y，y=x-a，∴x=a+y，y=x-a代入y=f（x）中得x-a=f（a+y），∴點(diǎn)P′（x，y）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上.

同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y=f（x）的圖像上.故定理5中的③成立.

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關(guān)于直線x=y成軸對(duì)稱.

三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性列表

注：①上表中k∈Z.

②y=tanx的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是（kπ/2，0），而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊(cè)（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y=tanx的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)是（kπ，0），這顯然是錯(cuò)的.

四、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（）（第十二屆希望杯高二第二試題）

（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

（D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f（10+x）為偶函數(shù)，∴f（10+x）=f（10-x）.

∴f（x）有兩條對(duì)稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴x=0，即y軸也是f（x）的對(duì)稱軸，因此f（x）還是一個(gè)偶函數(shù).故選（A）.

例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）、y=g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）

（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）2002

解：∵y=f（x-1）和y=g（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

∴y=g（x-2）反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g（x-2）的反函數(shù)是：y=2+g（x），∴f（x-1）=2+g（x），∴有f（5-1）=2+g（5）=2001，

故f（4）=2001，應(yīng)選（C）.

例3.設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）=f（1-x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=-x，則f（8.6）=？搖 ？搖.（第八屆希望杯高二第一試題）

解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴x=0是y=f（x）對(duì)稱軸.又∵f（1+x）=f（1-x），∴x=1也是y=f（x）對(duì)稱軸.故y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4.函數(shù)y=sin（2x+）的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）（1992年全國(guó)高考理）

（A）x=- （B）x=- （C）x= （D）x=.

解：函數(shù)y=sin（2x+）的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是2x+=kπ+.

∴x=-π，顯然取k=1時(shí)的對(duì)稱軸方程是x=-，故選（A）.

例5.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）=（ ）

（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5

解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心；

又∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），∴直線x=1是y=f（x）對(duì)稱軸，故y=f（x）是周期為2的周期函數(shù).

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5，故選（B）.