例說“極端性”原理在物理解題中的應(yīng)用

鄭艷秋

“極端性”原理是解決物理問題的一個(gè)重要方法，從極端情形（最大值、最小值、極端有利、極端不利、邊界情形、極端位置等）入手分析，往往能發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，此法不僅在競(jìng)賽問題中用途廣泛，事實(shí)上，在平時(shí)的解題過程中，為了尋求更清晰的解題思路、更簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法，我們也會(huì)不經(jīng)意地“走極端”，本文舉例說明。

一、利用極端，巧探范圍

物理解題中經(jīng)常會(huì)遇到求范圍的問題，若能預(yù)先求出范圍的上界（或下界），則所求的范圍將應(yīng)運(yùn)而生。

例1：如圖1所示，MN為正對(duì)的兩個(gè)平行板，可以吸附打到板上的電子，兩板間距離為d，板長(zhǎng)為7d，在兩個(gè)平行板間只有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若有電量為e的電子流，從左側(cè)不同位置進(jìn)入兩板間的電子能打到兩板上，被兩板吸收，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小取值可能是下述四個(gè)值中的（ ）

①B= ②B= ③B= ④B=

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

圖1

析與解：從左右兩側(cè)得出磁場(chǎng)的臨界半徑為r=，r=25d，所以磁場(chǎng)范圍應(yīng)為>B>，故答案應(yīng)為A項(xiàng)。

例2：如圖2所示，在光滑水平面上，小球A以v=2m/s的速度與靜止的球B發(fā)生彈性正碰，則碰撞后小球B的速度可能為（ ）

圖2

A.0.5m/s B.2m/s C.3.5m/s D.5m/s

析與解：兩球發(fā)生彈性碰撞，有：

mv=mv+mv

mv=mv+mv解之得：v=

討論：當(dāng)m≥m時(shí)，v→0；當(dāng)m=m時(shí)，v→2v=4m/s。

這表明球B的速度可能在區(qū)間0～4m/s內(nèi)，由此可選A、B、C。

二、利用極端，簡(jiǎn)化計(jì)算

物理中的有些計(jì)算，若用常規(guī)方法進(jìn)行求解，可能計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜，而從極端情形考慮，“框定”運(yùn)算范圍，往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例3：如圖3所示，小桶和桶內(nèi)的砂質(zhì)量為m，小車和車內(nèi)的砂質(zhì)量為m，釋放小車后小車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如果從小車中取出質(zhì)量為△m的砂放入小桶中，再釋放小車，則小車的加速度可能為：（ ）

A.g B.g C.g-g D.g

析與解：本題用極端代入，令△m=0，應(yīng)有a=0，將△m=0代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有B、D兩個(gè)選項(xiàng)取值為零，故A、C不正確。

令△m=m應(yīng)有a=g，將△m=m代入B、D兩個(gè)選項(xiàng)中，只有D取值為g，故本題的正確答案為D。

例4：兩個(gè)相同的正方體鐵絲如圖4中（1）所示放置，并沿對(duì)角線方向以速度v、v向兩邊運(yùn)動(dòng)，已知v=v、v=2v，則兩線框的交點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度v多大？

析與解：先考慮兩種特殊情況：

（1）v=0，v=2v，見圖（2），此時(shí)，M點(diǎn)的速度為v=vcos45°=v。

（2）v=v，v=0，見圖（3），此時(shí)，M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為v=vcos45°=v。再考慮題設(shè)情形，v=v，v=2v，只要將v和v作疊加即可，v=v。

三、利用極端，化不等為等

等與不等是物理中普遍存在的問題，不等的邊界是等，若能將不等的問題轉(zhuǎn)化為相等問題進(jìn)行處理，往往會(huì)使問題的難度降低，縮短解題的過程和時(shí)間。

例5：在光滑水平軌道上，有兩個(gè)半徑都是r的小球A、B，質(zhì)量分別為m、2m，當(dāng)兩球心間的距離等于或小于L時(shí)，兩球間存在恒定的相互作用斥力F，設(shè)球A從遠(yuǎn)離球B為L(zhǎng)處以速度v0沿兩個(gè)小球球心連線向原來靜止的B球運(yùn)動(dòng)，如圖5所示，欲使兩個(gè)小球不發(fā)生碰撞，求v0必須滿足的條件？

圖5

析與解：設(shè)從兩球心相距為L(zhǎng)開始，經(jīng)過時(shí)間t后，兩球A、B的位移分別為s、s，則：

s=vt-t，s=t，若兩球剛好接觸，有s-s=L-2r代入得：

t-vt+（L-2r）=0，要兩球不發(fā)生接觸，則t無實(shí)解，有△<0，即：

（-v）-4×（L-2r）<0得：

v<。

四、利用極端，起極端作用

例6：沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，通過某一段位移S后作用的時(shí)間為t，而通過下一段相等的位移S所用的時(shí)間為t，試求加速度a的大小。

析與解：對(duì)本題，可列出方程S=vt-at ①

S=（v-at）t-at ②

由①、②兩式得：a=，所得出的結(jié)果是否可信，可做如下檢驗(yàn)，令t=t，這時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)將蛻化為勻速直線運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將t=t代入a的表達(dá)式，即得a=0，所以答案可信。