近兩年高考數學（廣東卷）數列題巧解

劉品德

數列是一類定義在正整數集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的特殊函數，可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征.新課程下高考（廣東卷）更加突出數列是特殊函數的本質考查，在解答這類題時架起函數與數列之間的橋梁，揭示它們間的內在聯系，就能輕松作答.本文以近兩年高考（廣東卷）的數列題為例，先對試題作出分析，再介紹其巧解方法.

一、高考真題

例1（2013廣東，理19）設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-， n∈N？鄢.（1）求a2的值；（2）求數列{an}的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

例2（2014廣東，理19）設數列{an}的前項n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N？鄢，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求數列{an}的通項公式.

二、試題分析

近年廣東高考數列解答題，常與不等式證明結合作為壓軸題的形式出現，這類問題既需要證明不等式的基本思想和方法，又要結合數列本身的結構和特點，有著較強的技巧性，能綜合考查考生的邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.因此有關數列不等式的證明是一個?？疾凰サ念}型，用“放縮法”證明數列不等式更是歷年高考命題的熱點，對“放縮法”的巧妙運用往往能體現出創造性，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果.但2014年就一改常態，不考不等式證明，考歸納推理、數學歸納法，這讓很多考生不適應，完全在意料之外，整個題切入似乎比較難，導致廣東今年數學高考成績的平均分比去年低10多分.

兩道題的常見解法：

例題1解答一：

（1） 解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.

∴當n=1時，2a1=2S1=a2--1-=a2-2

又∵ a1=1

∴ a2=4

（2）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.

∴ 2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1- ①

∴ 當n≥2時，2Sn-1=（n-1）an- ②

由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）

∵ 2an=2Sn-2Sn-1

∴ 2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）

∴ -=1

∴ 數列是首項為=1，公差為1的等差數列.

∴ =1+1×（n-1）=n，∴ an=n2（n≥2）

當n=1時，上式顯然成立.

∴ an=n2，n∈N？鄢.

（3）證明：由（2）知，an=n2，n∈N？鄢

① 當n=1時，=1<，原不等式成立.

② 當n=2時， +=1+<，原不等式亦成立.

③ 當n≥3時， ∵ n2>（n-1）·（n+1），∴ <

∴ ++…+=++…+<1+++…++

=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）

=1+（-+-+-+…+-+-）

=1+（+--）=+（--）<

當n≥3時，原不等式亦成立.

綜上所述，對一切正整數n，有++…+<.

例題2解答一：

解：⑴由題意得：S2=4a3-20，S3=S2+a3=5a3-20

又S3=15

∴ a3=7，S2=4a3-20=8

又S2=S1+a2=（2a2-7）+a2=3a2-7

∴ a2=5，a1=S1=2a2-7=3

綜上知a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用數學歸納法證明.

① 當n=1時，結論顯然成立.

② 假設當n=k（k≥1）時，ak=2k+1

則Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2）

又Sk=2kak+1-3k2-4k

∴ k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6

∴ ak+1=2（k+1）+1

即當n=k+1時，結論成立.

由①②知，？坌n∈N？鄢，an=2n+1.

三、試題評價

從試題的設計來看，第一道數列試題充分體現了考基礎、考能力、考素質、考潛能和以考生發展為本的考試目標.試題的第（1）問比較常規，屬于送分題，學生比較容易上手，以增加學生解決綜合題和戰勝困難的信心；第（2）問利用遞推關系求數列通項公式，這應該是學生比較熟悉的，這樣可以讓他們能夠心平氣和地思考問題，但在思維的層次上和運算能力上作了一個適當的提升，對中等偏下的學生設置了障礙；第（3）問是為一些優秀學生提供了充分展示自己智力的平臺，讓這些學生能夠脫穎而出.這樣，逐步增加試題思維的難度，達到通過數列壓軸題增加試卷區分度的目的，對今后中學數學教育改革有良好的推動與導向作用.第二道數列題，第（1）問求數列的前三項，通過解方程組可以求出；第（2）問不少考生還是試圖通過公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求，也是平時備考復習做得比較多的題型，發現做不下去，很少考生能發現第（1）問的提示作用，利用歸納推理，先猜后證，再用數學歸納法證明，這也與平時教學有關. 從評卷情況來看，數列解答題雖然一看題目似乎是可以用“通性通法”求解，但很多考生的思維定勢比較明顯，不能做到靈活變通，導致對數列題的解答“會而不對”.

四、試題巧解

筆者深入分析這兩道題發現：事實上都是考查數列是特殊函數的本質，也就說可以從函數的角度來分析作答，如果能夠先求出函數Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表達式，再由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求an就是水到渠成的事了.

下面根據題目條件的特點，用待定系數先求Sn再求an.

例題1解答二：

（1）解略.

（2）解：由題意可設Sn=an3+bn2+cn+d（a≠0）

則an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）3+b（n+1）2+c（n+1）+d]-（an3+bn2+cn+d）

=3an2+（3a+2b）n+a+b+c

由條件=an+1-n2-n-，即2Sn=nan+1-n3-n2-n

可得：2an3+2bn2+2cn+2d=（3a-）n3+（3a+2b-1）n2+（a+b+c-）n對？坌n∈N？鄢成立.

∴ 2a=3a-，2b=3a+2b-1，2c=a+b+c-，d=0.又a1=S1=a+b+c+d=1，解得a=，b=，c=，d=0.

∴ Sn=n3+n2+n，n∈N？鄢

當n≥2時

an=Sn-Sn-1=（n3+n2+n）-[（n-1）3+（n-1）2+（n-1）]=n2

∴ an=n2，n∈N？鄢.

（3）解略.

例題2解答二：

（1）解略

（2）解：由題意可設Sn=an2+bn+c（a≠0）

則an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）2+b（n+1）+c]-（an2+bn+c）=2an+a+b

由條件Sn=2nan+1-3n2-4n，可得an2+bn+c=（4a-3）n2+2（a+b-2）n對？坌n∈N？鄢成立

∴ 4a-3=a，2a+2b-4=b，c=0，解得 a=1，b=2，c=0，

∴ Sn=n2+2n，n∈N？鄢

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-[（n-1）2-2（n-1）]=2n-1

當n=1時，上式顯然成立.

∴ an=2n-1，n∈N？鄢.

以上介紹的待定系數法求Sn，揭示數列是特殊函數的本質，思路清晰，真正體現“數學是自然的”，達到化繁為簡、化難為易的效果.

五、教學啟示

今年高考數學（廣東卷），考生普遍反映后幾道大題難度有些大.從閱卷反饋情況來看：無法動筆的空白卷很少，但得分卻不夠理想.也就是說，人人都能動筆解答，卻很少考生全做對，大多是只做了第一問，第二問就空白了，不知道循著題意“搶分”，這也給我們的教學帶來一些啟示.

（1）構建知識網絡，基于知識形成過程理解知識

這兩道題涉及的知識點比較基礎，考查函數方程、不等式、歸納推理、數學歸納法、待定系數法、放縮法等，涉及函數與方程思想，轉化與化歸思想，數形結合思想等，無論是知識點還是數學思想方法都是課標中要求的最基本和應該掌握的重要內容.但測試效果并不如意，這說明平時的教學光死記硬背是不行的，應該讓學生構建知識網絡，把握知識間的內在聯系，講清知識的來龍去脈，讓學生基于知識形成過程去理解知識，這樣學生才能學得“活”.

（2）注重教材例習題的再創造，回歸課本探源

課程改革非常反對題海戰術，而強調對教材資源的開發和利用.教材中的例習題都是經典題目，能反映本節重點知識及知識的運用過程，這也是高考題的主要素材來源.如果教師平時注重對教材的發掘和再創造，不僅對高考題目命制的出發點有所了解，自身的教學教研能力也會得到很大的提升.如前文例題2，應用待定系數法解答會顯得比較容易，簡直不敢相信高考題竟會如此常規，但幾乎沒有考生這樣去解答.

（3）注重數學本質的理解，培養靈活變通能力

在高三數學復習備考中，教師注重方法、題型、規律的總結，讓學生記題型、背套路，類似于英語作文中的“模版”，缺乏對數學本質的提示，題目稍作變式學生就不適應.因此，教師在總結解題方法時，不應該流于題目的形式，更應該針對題目的內涵，從考察的知識點、隱含的數學思想等方面加以拓展，才能讓學生對問題的本質有所了解，從而對不同的題目采用切實高效的解答策略.如本文的兩道數例題，只記公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的慣性思維，而在平時不注意歸納、猜想思維的培養，學生就不會想到用數學歸納法去解答. 如果在學習等差數列前n和時理解待定系數法，學生就能夠想到求出函數Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表達式，再求an，就有助于對數列本質的認識，進而克服思維定勢的負面影響.

責任編輯 羅 峰