探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問題的教學(xué)與思考

丁衛(wèi)東

在近幾年各地中考中，出現(xiàn)了一些關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問題，而在現(xiàn)在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識(shí)，所以學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考，或者畫出幾個(gè)特殊位置時(shí)的圖形，來判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可能形成的路徑，但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問題，而不能說明道理.本文從如何運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)來判斷、說明和計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的角度提出自己在教學(xué)過程中的一些方法.

一、用幾何知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

1.用平行線的性質(zhì)“平行線間的距離處處相等”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例1】

如圖1，△ABC的邊長(zhǎng)分別6、8、10，一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng)，且總是與△ABC的邊相切，當(dāng)P第一次回到它原來的位置時(shí)，P走過的路程是多少？

分析：圓在運(yùn)動(dòng)過程中圓心到三角形各邊的距離不變，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑就是在三角形內(nèi)部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形，三角形的周長(zhǎng)就是P走過的路程.

2.用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例2】

如圖2，一根木棒AB長(zhǎng)為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾角為60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，已知A端下滑到A′時(shí)，AA′=-3-2，則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路線有多長(zhǎng)？

分析：抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)中木棒長(zhǎng)度不變，所以P到O的距離也不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓.

3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例3】

如圖3，已知AB=10，點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

分析：在運(yùn)動(dòng)過程中的CD長(zhǎng)度不變，G為EF中點(diǎn)和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變，發(fā)現(xiàn)△ABQ是一個(gè)不變的等邊三角形，而G始終是PQ中點(diǎn)，從而想到用三角形中位線定理找到G的運(yùn)動(dòng)路徑.

4.用圓周角性質(zhì)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例4】如圖4，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0，m）是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外）.設(shè)過點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線ME的垂線，垂足為H.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

分析：在點(diǎn)H隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，∠OHM始終等于90°，與定點(diǎn)OM構(gòu)成直角三角形.所以根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”反過來，可以看出點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

二、用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例5】

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=8，OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA.

（1）用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

分析：1.由（1）可知D的坐標(biāo)為（2+2t，t），其中縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都含有變量t，且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系為y=12x-1，是一次函數(shù)，可知頂點(diǎn)在直線y=12x-1上運(yùn)動(dòng)；2.由0≤t≤4，得出頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以（2，0）和（10，4）為端點(diǎn)的一條線段，應(yīng)用勾股定理，就可以求出這條線段的長(zhǎng)度.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

在近幾年各地中考中，出現(xiàn)了一些關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問題，而在現(xiàn)在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識(shí)，所以學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考，或者畫出幾個(gè)特殊位置時(shí)的圖形，來判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可能形成的路徑，但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問題，而不能說明道理.本文從如何運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)來判斷、說明和計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的角度提出自己在教學(xué)過程中的一些方法.

一、用幾何知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

1.用平行線的性質(zhì)“平行線間的距離處處相等”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例1】

如圖1，△ABC的邊長(zhǎng)分別6、8、10，一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng)，且總是與△ABC的邊相切，當(dāng)P第一次回到它原來的位置時(shí)，P走過的路程是多少？

分析：圓在運(yùn)動(dòng)過程中圓心到三角形各邊的距離不變，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑就是在三角形內(nèi)部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形，三角形的周長(zhǎng)就是P走過的路程.

2.用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例2】

如圖2，一根木棒AB長(zhǎng)為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾角為60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，已知A端下滑到A′時(shí)，AA′=-3-2，則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路線有多長(zhǎng)？

分析：抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)中木棒長(zhǎng)度不變，所以P到O的距離也不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓.

3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例3】

如圖3，已知AB=10，點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

分析：在運(yùn)動(dòng)過程中的CD長(zhǎng)度不變，G為EF中點(diǎn)和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變，發(fā)現(xiàn)△ABQ是一個(gè)不變的等邊三角形，而G始終是PQ中點(diǎn)，從而想到用三角形中位線定理找到G的運(yùn)動(dòng)路徑.

4.用圓周角性質(zhì)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例4】如圖4，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0，m）是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外）.設(shè)過點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線ME的垂線，垂足為H.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

分析：在點(diǎn)H隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，∠OHM始終等于90°，與定點(diǎn)OM構(gòu)成直角三角形.所以根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”反過來，可以看出點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

二、用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例5】

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=8，OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA.

（1）用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

分析：1.由（1）可知D的坐標(biāo)為（2+2t，t），其中縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都含有變量t，且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系為y=12x-1，是一次函數(shù)，可知頂點(diǎn)在直線y=12x-1上運(yùn)動(dòng)；2.由0≤t≤4，得出頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以（2，0）和（10，4）為端點(diǎn)的一條線段，應(yīng)用勾股定理，就可以求出這條線段的長(zhǎng)度.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

在近幾年各地中考中，出現(xiàn)了一些關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問題，而在現(xiàn)在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識(shí)，所以學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考，或者畫出幾個(gè)特殊位置時(shí)的圖形，來判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可能形成的路徑，但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問題，而不能說明道理.本文從如何運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)來判斷、說明和計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的角度提出自己在教學(xué)過程中的一些方法.

一、用幾何知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

1.用平行線的性質(zhì)“平行線間的距離處處相等”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例1】

如圖1，△ABC的邊長(zhǎng)分別6、8、10，一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng)，且總是與△ABC的邊相切，當(dāng)P第一次回到它原來的位置時(shí)，P走過的路程是多少？

分析：圓在運(yùn)動(dòng)過程中圓心到三角形各邊的距離不變，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑就是在三角形內(nèi)部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形，三角形的周長(zhǎng)就是P走過的路程.

2.用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例2】

如圖2，一根木棒AB長(zhǎng)為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾角為60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，已知A端下滑到A′時(shí)，AA′=-3-2，則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路線有多長(zhǎng)？

分析：抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)中木棒長(zhǎng)度不變，所以P到O的距離也不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓.

3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例3】

如圖3，已知AB=10，點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

分析：在運(yùn)動(dòng)過程中的CD長(zhǎng)度不變，G為EF中點(diǎn)和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變，發(fā)現(xiàn)△ABQ是一個(gè)不變的等邊三角形，而G始終是PQ中點(diǎn)，從而想到用三角形中位線定理找到G的運(yùn)動(dòng)路徑.

4.用圓周角性質(zhì)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例4】如圖4，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0，m）是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外）.設(shè)過點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線ME的垂線，垂足為H.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

分析：在點(diǎn)H隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，∠OHM始終等于90°，與定點(diǎn)OM構(gòu)成直角三角形.所以根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”反過來，可以看出點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

二、用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

【例5】

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=8，OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA.

（1）用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

分析：1.由（1）可知D的坐標(biāo)為（2+2t，t），其中縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都含有變量t，且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系為y=12x-1，是一次函數(shù)，可知頂點(diǎn)在直線y=12x-1上運(yùn)動(dòng)；2.由0≤t≤4，得出頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以（2，0）和（10，4）為端點(diǎn)的一條線段，應(yīng)用勾股定理，就可以求出這條線段的長(zhǎng)度.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint