淺談三角公式的教學

徐洪麗

摘 要：在三角公式的教學中，要力爭使學生做到：深入領會，準確記憶，掌握內涵，認清實質，推敲條件，靈活多變。不論是求值問題、化簡問題、還是恒等式證明，都要反復使用這些公式，既要不斷強化記憶，又要不斷總結公式的應用方法和技巧。

關鍵詞：透徹領會 準確記憶 靈活運用

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（b）-0069-02

在三角函數中，三角公式居于核心的地位。因此，教學過程中應讓學生做到：了解公式的來龍去脈；熟悉公式的推導過程；把握公式的內在聯系；擅于公式的靈活運用。本文在此談幾點看法。

1 透徹領會三角公式

對三角公式的領會可以從以下幾個方面。

1.1 公式的普遍價值

這是指三角公式在運用方面具有普遍的指導價值。三角公式作為一種特有的形式結構固定下來，凡是符合公式條件的三角問題，都可以用公式運算。例如，對任意角、，公式、

都成立。三角公式具有普適性，就是因為它是從各種具體問題中抽象出來的一般規律。

1.2 公式的本質內涵

相對于具有外在美的形式而言，三角公式的本質內涵同樣重要。例如同角三角函數的基本關系式，揭示了“同角不同名”的三角函數的運算關系，它的關鍵在“同角”二字上，、等均成立，原因是公式中的角都是“同角”。再如，公式 闡述的事實是：雙倍角的正弦等于單角的正弦和余弦乘積的兩倍，等式兩邊的角是雙倍關系，，

等都是這一公式的合理變形。準確把握三角公式的內在聯系，而不被復雜多變的表面現象所糾結，是掌握三角公式的關鍵。沒有對三角公式的透徹領會，就談不上對公式的準確應用。

1.3 公式的適用條件

真理都是相對的，三角公式也只能在某些前提條件下成立。例如是在的前提下成立；

成立的條件是：和、、。假如，，求就不能用和角的正切公式，而應該用誘導公式：

1.4 公式的內在聯系

三角公式可以分成幾個系列，每一系列公式之間存在著高度的內在聯系。因此，要善于從總體和聯系上去把握某一公式的本質特點。擒賊先擒王，搞定公式系列中的基礎公式，就可以起到舉一反三的效果。例如，在兩角和與差、倍角、半角系列中，、是基礎公式，由這兩個公式很容易就能推導出兩角差、倍角、半角公式。

推導過程：在 公式

（1）

及公式

（2）

中用代替就得兩角差的正余弦公式

（3）

和

（4）

在公式（1）和（2）中，令就得二倍角的正余弦公式

（5）

和

（6）

利用上面公式（6），由

就可得出半角公式

（7）

和 （8）

再由公式（7）和公式（8）相除就得正切的半角公式

另外，由公式（1）和公式（2）相除得出正切兩角和的公式

（9）

在公式（9）中用代替可得兩角差的正切公式

（10）

在公式（9）中令就得二倍角的正切公式

因此，、既是這一系列的基礎公式，又是核心公式。

2 準確記憶三角公式

三角公式雖然多，但必須牢記，這是解決三角問題的根本。教師可以通過編口訣、畫圖形、看結構等方法，幫助學生記憶，下面舉例說明。

2.1 部分常用公式通過口訣幫助記憶

例如，在上述系列中占主要地位的兩角和與差的正弦公式

可以用“余弦中間，正弦兩邊，符號受限，前后不變。”作為記憶口訣；兩角和與差的余弦公式

可以用“余頭正尾，各就各位，符號另類，前后相對。”作為記憶口訣。而三角函數在第一、二、三、四象限值的正負可用“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”作為記憶口訣。第一類誘導公式 和第二類誘導公式可用“奇變偶不變，符號看象限”給出口訣式的概括。這里“奇變偶不變”是指角的形式化為后，當為奇數時函數名稱改變（正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切）；當為偶數時函數名稱不改變。“符號看象限”是指公式右端三角函數前的正負號，看公式左端的角（把看作銳角）所在象限的三角函數值的符號來確定。例如：

，

，

。

2.2 同角三角函數的基本關系式可用直觀圖來幫助記憶（見圖1）

將、、、、、分別置于正六邊形各頂點上，其中心放上數值1。這樣正六邊形對角線兩端的函數之積等于1，例如，，即體現倒數關系；正六邊形任意頂點位置上的三角函數值均等于與它相鄰的兩頂點位置的三角函數值的乘積，例如，，即體現商數關系；在陰影部分的三角形中，三角形上方兩頂點位置的三角函數值或數值的平方和，等于下面頂點上三角函數值的平方，例如：，即體現平方關系。

2.3 一些公式可根據其構造形式幫助記憶

例如，積化和差公式：

兩個角的不同名函數（限于正弦、余弦）之積化為正弦的和或差；兩角的余弦之積化為兩余弦之和，兩角的正弦之積則化為兩余弦之差，而右端角、的相對位置是固定的。

3 靈活運用三角公式

三角公式是解決三角函數問題的基本工具，在準確記憶的基礎上，還要靈活運用它們。首先公式本身有各種衍生形式，例如半角公式：是它的基本形式，另外還可以演變為和等形式。其次，如果問題不具備公式的條件和形態，可試著變化形式和條件，然后再套用公式。例如將化為積的形式，可將原式化為然后再套用和差化積公式。解題的趣味就在這些變化之中。除此之外，還要教會學生具備如下幾點。

3.1 辯證的思維

某一角或數值可以有多種表達形式，例如：，，，等。又如，整數1在不同的場合可用、、代替，或用、、代替等等。

3.2 逆向的思維

要增強逆用公式的直覺能力，就會有化繁為簡、思路開闊的意外收獲。例如：

等等。

3.3 轉化的觀念

三角函數中的求值、化簡、恒等式證明等問題千變萬化，歸根結底是恒等變形，而恒等變形的本質意義就是對角、函數名稱的相互轉化，其依據是一系列的三角公式。按照公式的作用可做如下分類：同角三角函數關系式——可達成函數名稱的轉化；誘導公式及和、差、倍角、半角的三角公式——可達成角的形式的轉化；和差化積、積化和差可實現運算結構的變化；余弦倍角公式可實現函數式的升冪或降冪的作用。

3.4 方程的觀念

在求某些角的三角函數值時，可將該角的函數值作為未知數，然后列出方程解決。例如求的值，由二倍角的正弦及三倍角的余弦公式及，可列出式子：

兩邊同除得：

化簡，得：

，

將看作未知量便可求得。

綜上所述，在三角公式的教學中，要力爭使學生做到：深入領會，準確記憶，掌握內涵，認清實質，推敲條件，靈活多變。不論是求值問題、化簡問題、還是恒等式證明問題，都要反復使用這些公式，既要不斷強化記憶，又要不斷總結公式的應用方法和技巧。

參考文獻

[1] 劉來剛.圖解“第七模塊三角函數”[J].基礎知識手冊.

[2] 傅榮強.三角函數的誘導公式[J].三角函數.

[3] 劉錫寶.三角公式及其應用[J].基礎知識全解.