小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)例的價(jià)值研究及運(yùn)用初探

田武彬+范立軍

摘 要：“數(shù)學(xué)思考”是新修訂的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的四大課程目標(biāo)之一，是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志，它對學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義。數(shù)學(xué)思考亦即數(shù)學(xué)思維，指以數(shù)學(xué)知識方法為載體的思維活動(dòng)過程。真實(shí)的課堂不存在完全正確的答案，課堂中的錯(cuò)誤往往是學(xué)生最樸實(shí)的想法，其中蘊(yùn)含著對問題的思考，也不乏智慧的閃光點(diǎn)。對于學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師可以通過預(yù)設(shè)錯(cuò)誤、利用錯(cuò)誤、制造錯(cuò)誤和經(jīng)歷來發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。

關(guān)鍵詞：研究錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)思考；策略探尋

課堂是出錯(cuò)的地方，學(xué)生的錯(cuò)誤是難免的，又是合理的。新課程教學(xué)呼喚學(xué)生“自主、合作、探究”地學(xué)習(xí)，而實(shí)實(shí)在在的探究必然伴隨大量錯(cuò)誤的生成?？墒窃诂F(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師常常滿足于學(xué)生的一帆風(fēng)順，視學(xué)生的錯(cuò)誤為洪水猛獸，想方設(shè)法以言堵之，結(jié)果堵住了學(xué)生的錯(cuò)，也堵住了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。尤為可惜的是，錯(cuò)例蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值沒有得到充分認(rèn)識和運(yùn)用。如果能挖掘數(shù)學(xué)錯(cuò)例中的價(jià)值，合理利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，并以此來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，那豈不是有了“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果？這樣既糾正了學(xué)生的錯(cuò)誤，又落實(shí)了課程目標(biāo)，一舉兩得，何樂而不為？

一、預(yù)設(shè)“錯(cuò)誤”，使數(shù)學(xué)思考能“未雨綢繆”

教師需要煉就一雙慧眼，在教材中，在課堂教學(xué)中估計(jì)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后隱藏的教學(xué)價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生從錯(cuò)誤中進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

1.在深挖教材的基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)錯(cuò)誤

教師要深入讀懂習(xí)題，把握習(xí)題，能根據(jù)習(xí)題挖掘出學(xué)生錯(cuò)誤的原因和背后的難點(diǎn)，搞清知識結(jié)構(gòu)的關(guān)系，弄明白教材內(nèi)容反映在學(xué)生主體上會產(chǎn)生哪些可能，提前預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤，做到心中有數(shù)。

教材“用‘進(jìn)一法和‘去尾法解決問題”的練習(xí)中有這樣一道習(xí)題：“在一個(gè)長7分米、寬5分米的長方形紙上，要剪出邊長是2分米的正方形，最多能剪出這樣的正方形多少個(gè)？”大部分學(xué)生面對這個(gè)問題會這樣來解決：7×5=35（平方米），2×2=4（平方米），35÷4=8（個(gè)）……3（平方米）。答：最多能剪出這樣的正方形8個(gè)。

從這題的錯(cuò)誤來看，學(xué)生對計(jì)算結(jié)果應(yīng)“進(jìn)一”還是“去尾”的判斷都是正確的，說明本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成效度還是比較高的。但面對著學(xué)生的這個(gè)普遍性的錯(cuò)誤，教師若能引導(dǎo)學(xué)生在做題前先通過動(dòng)筆畫一畫來理解題意的話，能正確解答的學(xué)生就會增多。

2.在讀懂學(xué)生的基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)錯(cuò)誤

在課堂上，教師要具備為學(xué)生服務(wù)的意識。只有切實(shí)傾聽學(xué)生的聲音，尊重學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和問題，才能引領(lǐng)學(xué)生從錯(cuò)誤中求知，在錯(cuò)誤中探索。

如在教學(xué)軸對稱圖形時(shí)，出示已學(xué)過的平面圖形，讓學(xué)生說說它們是不是軸對稱圖形？

生：我認(rèn)為平行四邊形是軸對稱圖形。因?yàn)橹灰延疫叺娜切渭粝聛恚丛谧筮叺娜切蜗旅?，它就成了一個(gè)長方形，變成長方形之后，把它對折當(dāng)中的那條線就是軸。它左右兩邊就相同了，它就叫軸對稱圖形。

師：挺有道理。你想發(fā)表不同意見？說說！

生：我覺得平行四邊形不是軸對稱圖形，因?yàn)樗鼘φ壑螅瑑蛇叺膱D形沒有完全重合，所以不是軸對稱圖形。

師：好了，不多說了，兩種觀點(diǎn)，怎么辦？這樣，教師先了解一下，好不好？認(rèn)為平行四邊形不是軸對稱圖形的舉手。（生舉手。）

師：手放下。認(rèn)為平行四邊形是軸對稱圖形的舉個(gè)手。

師：平分秋色，還有一個(gè)男同學(xué)舉了兩次手，搖擺不定，沒事，現(xiàn)在既然是勢均力敵，各方擺出自己的觀點(diǎn)，這樣，認(rèn)為是的同學(xué)亮出你的觀點(diǎn)，認(rèn)為不是的再次亮出你的觀點(diǎn)。好不好？你認(rèn)為它不是，你的理由是什么？教師這可以給你提供一個(gè)大一點(diǎn)的，以為教師發(fā)現(xiàn)你想拿是吧！就幾個(gè)男同學(xué)想說，你想說就說吧！

生：因?yàn)槲野堰@個(gè)平行四邊形對折后，它沒有完全重合，所以我覺得它不是平行四邊形。

師：聽起來多有道理??！反方，還有舉手?。∧阏f，哦！你說過了，保留一點(diǎn)好不好！但是你怎么反駁她，她說給它一點(diǎn)不就好了嗎？

生：我認(rèn)為平行四邊形只是面積相同，而不是軸對稱圖形。

師：你的意思是把它剪成長方形以后只是面積相等，但是圖形的一些性質(zhì)可能發(fā)生變化，是這樣嗎？可以保留你的意見，你繼續(xù)說。

生：以為把那個(gè)角剪切后它不再是平行四邊形而是長方形。所以我認(rèn)為平行四邊形不是軸對稱圖形。

師：你的發(fā)言中有閃光的地方，也有一些小問題。先說你的問題好嗎？平行四邊形割成長方形后是平行四邊形嗎？想想平行四邊形是長方形嗎？長方形還是平行四邊形，但是你的發(fā)言當(dāng)中可貴的一點(diǎn)是：你的意思是我們探討的是這個(gè)平行四邊形的特征，而不是改裝以后的其他圖形的特性，是這意思嗎？

師：如果我們就認(rèn)為指定這個(gè)平行四邊形，你怎么看，你還認(rèn)為他是軸對稱圖形嗎？說說你的想法就是了。

生：如果單講這個(gè)平行四邊形的話，不能裁剪了，就不是軸對稱圖形。

師：其余同學(xué)，你們同意嗎？

生：同意。

師：你的退讓，讓我們又進(jìn)一步接近了真理，謝謝！沒錯(cuò)！我發(fā)現(xiàn)正反兩方其實(shí)都是非常好的觀點(diǎn)，但是，當(dāng)我們把目光聚焦在這個(gè)平行四邊形上的時(shí)候，請問，這個(gè)平行四邊形它是不是軸對稱圖形？

生：不是。

……

學(xué)生在教師的鼓勵(lì)下，思考發(fā)言更準(zhǔn)確和精彩了，數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)密性在這里體現(xiàn)無疑。試想：學(xué)生說平行四邊形是軸對稱圖形時(shí)，教師如果立即否定這是錯(cuò)誤的，如果教師沒有具備如何去讀懂學(xué)生的意識，沒有去傾聽學(xué)生是如何思考方式的意識，學(xué)生就不會真正理解知識的內(nèi)涵和外延了。

二、利用“錯(cuò)誤”，使數(shù)學(xué)思考能“因勢利導(dǎo)”

錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，是通向成功的階梯，有時(shí)更是創(chuàng)新火花的閃現(xiàn)。教師在教學(xué)中要善于把握機(jī)會，要?jiǎng)?chuàng)造性地對待學(xué)生的“錯(cuò)誤”，讓學(xué)生在糾錯(cuò)的過程培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣，從錯(cuò)誤中獲得更多更完美的知識。

1.利用錯(cuò)誤資源，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，“要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立自信心”。良好的數(shù)學(xué)情感與態(tài)度是學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要?jiǎng)恿?，是克服困難和探索創(chuàng)新的力量源泉。來源于學(xué)生學(xué)習(xí)過程的錯(cuò)誤資源最貼近學(xué)生，學(xué)生對來自于自身的錯(cuò)誤本身就存在很強(qiáng)的好奇心，這比教師硬塞給他們幾個(gè)問題要有用得多。所以只要合理利用“錯(cuò)誤資源”，就能較好地促進(jìn)學(xué)生情感的發(fā)展，對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)生的求知欲具有特殊的作用。

2.利用錯(cuò)誤資源，培養(yǎng)創(chuàng)造思維

數(shù)學(xué)是思維的體操。如果教師能在平時(shí)的教學(xué)中很好地利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，使其能更好地為學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)服務(wù)，這無疑將是一舉兩得的事。

這是一節(jié)“打電話”的數(shù)學(xué)實(shí)踐課。學(xué)生興致盎然地學(xué)完了新課知識后，教師讓學(xué)生完成這樣一道題目：打電話給129位同學(xué)最少需要多少分鐘？絕大多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為最少需要用8分鐘，這時(shí)，有一個(gè)學(xué)生卻站起來說：“教師，不對，應(yīng)該是7.5分鐘?！薄安?，是8分鐘”，“7.5分鐘”……就這樣，一石激起千層浪，瞬間，教室里響起了爭論聲，成了一場“數(shù)學(xué)辯論會”。爭了半分鐘左右，學(xué)生才停了下來。既然有學(xué)生提了不同意見，何不將學(xué)生拋過來的球再拋給學(xué)生，讓出現(xiàn)的問題轉(zhuǎn)化成一種教學(xué)的資源，讓學(xué)生主動(dòng)去探究呢？教師微笑著對學(xué)生說：“請大家安靜，想想，7分鐘后可以通知多少位同學(xué)，還剩下多少位同學(xué)沒有通知到，小組演示一下，看看有沒有結(jié)果？”“有！”同學(xué)們異口同聲地說。“那就請大家以四人小組為單位研究一下吧。”過了一分多鐘，有學(xué)生叫了起來：“老師，確實(shí)是8分鐘呀！”“是8分鐘！”全班學(xué)生異口同聲，都已經(jīng)有了肯定的結(jié)論?！澳銈兪窃趺粗乐灰?分鐘呢？能跟大家說說嗎？”教師讓第一個(gè)說7.5分鐘的同學(xué)回答?！袄蠋?，我們小組是將通過模擬打電話的方法得知的。”說完，他當(dāng)場演示了一番。

教師在課堂中，應(yīng)該靈活地處理學(xué)生隨機(jī)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去修正錯(cuò)誤，訓(xùn)練學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生全方位審視條件、問題、結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種有效辦法。

三、制造“錯(cuò)誤”，使數(shù)學(xué)思考能“欲擒故縱”

教師在課堂中巧妙地制造錯(cuò)誤，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，全方位審視條件、問題、結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是深化認(rèn)識、培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的有效辦法。

1.制造錯(cuò)誤，拓寬數(shù)學(xué)思考的深度

如在教學(xué)行程問題時(shí)，教師有意設(shè)計(jì)了一道練習(xí)題：“在一條公路上有相距1000米的兩個(gè)村莊，小紅和小明同時(shí)從兩村出發(fā)。小明每分鐘行100米，小紅每分鐘行80米，5分鐘后兩人相距多少米？”結(jié)果會有學(xué)生說這道題出得有問題，缺少行走方向這個(gè)條件，不能解。這時(shí)教師答道：“確實(shí)差這個(gè)條件，謝謝細(xì)心的同學(xué)及時(shí)發(fā)現(xiàn)并提出來?，F(xiàn)在你將怎樣設(shè)計(jì)兩人的行走方向呢？請你們先設(shè)計(jì)兩人的行走方向，再計(jì)算兩人相距多少米，行嗎？”“然后小組合作，比一比哪組設(shè)計(jì)的情況多。”

生1：同向左行，列式為1000-（100-80）×5

生2：相向而行，列式為1000-（100+80）×5

生3：同向右行，列式為1000+（100-80）×5

生4：背向而行，列式為1000+（100+80）×5

正是教師蹲下身來的真誠和精心制造的“錯(cuò)誤”，為學(xué)生的學(xué)習(xí)營造了寬松的環(huán)境，營造了探究的思維空間，生成了課堂的精彩，延伸了教學(xué)內(nèi)容，發(fā)展了學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的深度和廣度。

2.制造錯(cuò)誤，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的趣味

這是一節(jié)“三角形的分類”，由學(xué)生按角把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形后，教師安排了“認(rèn)三角形”的練習(xí)“猜一猜”：只露出三角形一個(gè)角，另外兩個(gè)角遮住。巧妙的是教師先讓學(xué)生猜只露出一個(gè)直角、一個(gè)鈍角的三角形。學(xué)生根據(jù)三角形中只能有一個(gè)直角或鈍角，很快就猜對了這兩個(gè)三角形。這時(shí)，教師又出示了個(gè)銳角，學(xué)生都說是銳角三角形。教師再問一次：“沒有別的意見嗎？”學(xué)生又齊答“沒有！”教師叫起一名學(xué)生問其原因，他回答：“因?yàn)槁冻龅氖卿J角，所以肯定是銳角三角形?！苯處煂λf：“好，那么就一起來把這個(gè)三角形叫出來！”教師點(diǎn)擊鼠標(biāo)，一個(gè)直角三角形躍入眼簾。幾秒的驚訝與沉寂過后，學(xué)生明白了：每種三角形都至少有兩個(gè)銳角，所以憑一個(gè)銳角是不能判斷它是什么三角形的。

在這個(gè)過程中，教師通過故意制造錯(cuò)誤，讓學(xué)生充分暴露錯(cuò)誤，也讓學(xué)生自己能不斷認(rèn)識錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，完善概念的本質(zhì)，體會數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)密性，感受數(shù)學(xué)思考的趣味性。

正確，可能只是一種模仿；而錯(cuò)誤，卻絕對是一種經(jīng)歷。教師需要始終站在關(guān)注學(xué)生發(fā)展需求的角度來審視自己的教學(xué)行為，去追尋學(xué)生思維發(fā)展的有效途徑，挖掘隱藏在教材中的數(shù)學(xué)思考，捕捉學(xué)生錯(cuò)誤中所所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思考。

參考文獻(xiàn)：

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