以學(xué)定教少教多學(xué)

趙衛(wèi)群

教學(xué)背景：2014年對口高考的文化課均實行新考綱，數(shù)學(xué)考試大綱有了較大調(diào)整，其中數(shù)列這部分在新考綱中變化不大.考查形式近幾年主要以選擇題、解答題形式出現(xiàn)，難度適中.現(xiàn)高三數(shù)學(xué)已全面進入緊張的二輪復(fù)習(xí)階段.面對新考綱，又考慮到學(xué)生的實際情況，數(shù)學(xué)課該怎么上？ 2月18日上午，我參加了學(xué)校教師教學(xué)比賽，所上《數(shù)列的通項公式》一課獲得一等獎.評課老師一致認為這是一堂務(wù)實高效的專題復(fù)習(xí)課.

教學(xué)目標：1.了解數(shù)列的概念；2.能用定義證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列；3.會用公式求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；4.會用Sn和an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.

教學(xué)過程：

第一板塊：再學(xué)考綱，以綱導(dǎo)復(fù)

1.今天我們一起復(fù)習(xí)數(shù)列的通項公式，（教師板書）咱們看看考綱對此部分的要求是什么，（PPT展示）

了解理解掌握

數(shù)列的概念等差數(shù)列等比數(shù)列

具體要求可闡述為以下四點：（PPT展示）

（1）了解數(shù)列的概念；（2）能用的定義證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列；（3）會用公式求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；（4）會用Sn和an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.（學(xué)生齊讀）

2.單招考試中，求數(shù)列的通項公式一般有這樣四種方法：（PPT展示）

①觀察法；②公式法：利用等差、等比數(shù)列的通項公式；

③利用Sn和an的關(guān)系式：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）；④特殊法：構(gòu)造、疊加、累乘等.

本節(jié)課咱們先復(fù)習(xí)前三種，下面我們通過具體題目來逐一體會.

（設(shè)計意圖：簡要呈現(xiàn)本節(jié)課的復(fù)習(xí)目標和解決問題的方法，在考綱的引領(lǐng)下使學(xué)生在閱讀中獲得新感悟.瞬間集中了學(xué)生的注意.）

第二板塊：重組內(nèi)容，提煉方法

任務(wù)一：請同學(xué)們快速獨立完成以下兩題：（PPT展示）

（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2anan+2（n∈N+），它的前5項是 ，歸納出它的通項公式為an= .（2）數(shù)列-1，2，-4，8，-16，…的一個通項公式為 .

①指名回答，同學(xué)評價. ②說說你是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？

③學(xué)生交流總結(jié)，當(dāng)數(shù)列各項為分數(shù)時，可先寫出分子與分母數(shù)列的通項公式，有時還需要對數(shù)列的某幾項作一些變形，再歸納出原數(shù)列的通項公式.

④如果第（2）題中的數(shù)列變?yōu)椋?， -2，4， -8，16，…，這時該數(shù)列的通項公式又是什么呢？指名回答.⑤比較這兩個通項公式的不同之處，讓你體會到什么？ 指名回答.（當(dāng)數(shù)列的各項符號正、負相間時，可用（-1）n或（-1）n+1進行調(diào)整.）

在已知數(shù)列的前幾項的基礎(chǔ)上，進行分析、觀察、比較每一項的特點，從而提煉揭示其本質(zhì).相對于填空題或選擇題，只需要用不完全歸納法猜想、驗證即可.我們把這種解題方法稱為觀察法.

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)一個數(shù)列已知前幾項時可以用不完全歸納法猜想、歸納求數(shù)列的通項公式.并在教師的追問下讓學(xué)生有感而發(fā)，在題目的變式中尋求方法技巧.）

但自2009年以來單招考試中數(shù)列的試題常以綜合題的形式出項，如2011年單招中的這題.

任務(wù)二：（2011年）已知數(shù)列{an}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列，其中a4=1，且a2，a3，a3-2成等差數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.（PPT展示）

①所求數(shù)列是什么數(shù)列？（教師適當(dāng)?shù)恼Z言留空）既然是等比數(shù)列應(yīng)選用什么方法求通項？

②誰來背背等比數(shù)列的通項公式？指名回答.（教師板書公式）

③如果選用公式an=a1·qn-1求解，應(yīng)將題中條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪些量的？

④如果選用公式an=am·qn-m求解，那題中有沒有公式中的已知量？題中剩余條件此時應(yīng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪個量的？

⑤請同桌之間選用不同的公式求解，比比誰解的即快又準確.

⑥投影展示兩名學(xué)生的解答過程，學(xué)生評價.

⑦那等差數(shù)列的通項公式呢？指名回答.（教師板書公式）

⑧誰來說說下面這道題的解題思路？（已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其中a1=4，且a1，a5，a13成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.）

⑨師生共同總結(jié)，當(dāng)數(shù)列是等差、等比數(shù)列時，用公式法求其通項，但要根據(jù)條件尋找首項、公差（或公比），同時注意解答過程中方程（組）思想的應(yīng)用.

（設(shè)計意圖：強化公式的記憶、理解與應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生弄清這一類問題的本質(zhì)，體會方程（組）思想，可以取得事半功倍的效果.）

實際上，還有相當(dāng)一部分題目中數(shù)列是不明確類型的，并且與函數(shù)、不等式等有機結(jié)合，那我們解決問題的有效抓手是什么呢？咱們看2009單招高考中的一題.（PPT展示）

任務(wù)三：（2009年）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，Snn）均在函數(shù)f（x）=3x+2的圖象上.（1）求a1，a2及數(shù)列{an}的通項公式；（2）解不等式f（n）≥Sn-22.

①這題涉及哪些知識點？

②如果讓你做，應(yīng)分幾個板塊解決？

③第一板塊解決什么問題？根據(jù)哪個條件解？

④第二板塊呢？借助什么關(guān)系來解決？（教師板書Sn和an的關(guān)系式）第三板塊呢？

⑤以下是老師的解答過程，請同學(xué)們找找有無錯誤？

（PPT投影展示解題過程，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，完善其解答過程.）

因為點（n， Snn）在f（x）=3x+2的圖象上，所以Snn=3n+2，即Sn=3n2+2n.

當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12+2×1=5.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n2+2n-[3（n-1）2+2（n-1）]=6n-1，所以an=6n-1

教學(xué)背景：2014年對口高考的文化課均實行新考綱，數(shù)學(xué)考試大綱有了較大調(diào)整，其中數(shù)列這部分在新考綱中變化不大.考查形式近幾年主要以選擇題、解答題形式出現(xiàn)，難度適中.現(xiàn)高三數(shù)學(xué)已全面進入緊張的二輪復(fù)習(xí)階段.面對新考綱，又考慮到學(xué)生的實際情況，數(shù)學(xué)課該怎么上？ 2月18日上午，我參加了學(xué)校教師教學(xué)比賽，所上《數(shù)列的通項公式》一課獲得一等獎.評課老師一致認為這是一堂務(wù)實高效的專題復(fù)習(xí)課.

教學(xué)目標：1.了解數(shù)列的概念；2.能用定義證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列；3.會用公式求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；4.會用Sn和an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.

教學(xué)過程：

第一板塊：再學(xué)考綱，以綱導(dǎo)復(fù)

1.今天我們一起復(fù)習(xí)數(shù)列的通項公式，（教師板書）咱們看看考綱對此部分的要求是什么，（PPT展示）

了解理解掌握

數(shù)列的概念等差數(shù)列等比數(shù)列

具體要求可闡述為以下四點：（PPT展示）

（1）了解數(shù)列的概念；（2）能用的定義證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列；（3）會用公式求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；（4）會用Sn和an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.（學(xué)生齊讀）

2.單招考試中，求數(shù)列的通項公式一般有這樣四種方法：（PPT展示）

①觀察法；②公式法：利用等差、等比數(shù)列的通項公式；

③利用Sn和an的關(guān)系式：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）；④特殊法：構(gòu)造、疊加、累乘等.

本節(jié)課咱們先復(fù)習(xí)前三種，下面我們通過具體題目來逐一體會.

（設(shè)計意圖：簡要呈現(xiàn)本節(jié)課的復(fù)習(xí)目標和解決問題的方法，在考綱的引領(lǐng)下使學(xué)生在閱讀中獲得新感悟.瞬間集中了學(xué)生的注意.）

第二板塊：重組內(nèi)容，提煉方法

任務(wù)一：請同學(xué)們快速獨立完成以下兩題：（PPT展示）

（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2anan+2（n∈N+），它的前5項是 ，歸納出它的通項公式為an= .（2）數(shù)列-1，2，-4，8，-16，…的一個通項公式為 .

①指名回答，同學(xué)評價. ②說說你是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？

③學(xué)生交流總結(jié)，當(dāng)數(shù)列各項為分數(shù)時，可先寫出分子與分母數(shù)列的通項公式，有時還需要對數(shù)列的某幾項作一些變形，再歸納出原數(shù)列的通項公式.

④如果第（2）題中的數(shù)列變?yōu)椋?， -2，4， -8，16，…，這時該數(shù)列的通項公式又是什么呢？指名回答.⑤比較這兩個通項公式的不同之處，讓你體會到什么？ 指名回答.（當(dāng)數(shù)列的各項符號正、負相間時，可用（-1）n或（-1）n+1進行調(diào)整.）

在已知數(shù)列的前幾項的基礎(chǔ)上，進行分析、觀察、比較每一項的特點，從而提煉揭示其本質(zhì).相對于填空題或選擇題，只需要用不完全歸納法猜想、驗證即可.我們把這種解題方法稱為觀察法.

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)一個數(shù)列已知前幾項時可以用不完全歸納法猜想、歸納求數(shù)列的通項公式.并在教師的追問下讓學(xué)生有感而發(fā)，在題目的變式中尋求方法技巧.）

但自2009年以來單招考試中數(shù)列的試題常以綜合題的形式出項，如2011年單招中的這題.

任務(wù)二：（2011年）已知數(shù)列{an}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列，其中a4=1，且a2，a3，a3-2成等差數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.（PPT展示）

①所求數(shù)列是什么數(shù)列？（教師適當(dāng)?shù)恼Z言留空）既然是等比數(shù)列應(yīng)選用什么方法求通項？

②誰來背背等比數(shù)列的通項公式？指名回答.（教師板書公式）

③如果選用公式an=a1·qn-1求解，應(yīng)將題中條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪些量的？

④如果選用公式an=am·qn-m求解，那題中有沒有公式中的已知量？題中剩余條件此時應(yīng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪個量的？

⑤請同桌之間選用不同的公式求解，比比誰解的即快又準確.

⑥投影展示兩名學(xué)生的解答過程，學(xué)生評價.

⑦那等差數(shù)列的通項公式呢？指名回答.（教師板書公式）

⑧誰來說說下面這道題的解題思路？（已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其中a1=4，且a1，a5，a13成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.）

⑨師生共同總結(jié)，當(dāng)數(shù)列是等差、等比數(shù)列時，用公式法求其通項，但要根據(jù)條件尋找首項、公差（或公比），同時注意解答過程中方程（組）思想的應(yīng)用.

（設(shè)計意圖：強化公式的記憶、理解與應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生弄清這一類問題的本質(zhì)，體會方程（組）思想，可以取得事半功倍的效果.）

實際上，還有相當(dāng)一部分題目中數(shù)列是不明確類型的，并且與函數(shù)、不等式等有機結(jié)合，那我們解決問題的有效抓手是什么呢？咱們看2009單招高考中的一題.（PPT展示）

任務(wù)三：（2009年）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，Snn）均在函數(shù)f（x）=3x+2的圖象上.（1）求a1，a2及數(shù)列{an}的通項公式；（2）解不等式f（n）≥Sn-22.

①這題涉及哪些知識點？

②如果讓你做，應(yīng)分幾個板塊解決？

③第一板塊解決什么問題？根據(jù)哪個條件解？

④第二板塊呢？借助什么關(guān)系來解決？（教師板書Sn和an的關(guān)系式）第三板塊呢？

⑤以下是老師的解答過程，請同學(xué)們找找有無錯誤？

（PPT投影展示解題過程，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，完善其解答過程.）

因為點（n， Snn）在f（x）=3x+2的圖象上，所以Snn=3n+2，即Sn=3n2+2n.

當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12+2×1=5.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n2+2n-[3（n-1）2+2（n-1）]=6n-1，所以an=6n-1

教學(xué)背景：2014年對口高考的文化課均實行新考綱，數(shù)學(xué)考試大綱有了較大調(diào)整，其中數(shù)列這部分在新考綱中變化不大.考查形式近幾年主要以選擇題、解答題形式出現(xiàn)，難度適中.現(xiàn)高三數(shù)學(xué)已全面進入緊張的二輪復(fù)習(xí)階段.面對新考綱，又考慮到學(xué)生的實際情況，數(shù)學(xué)課該怎么上？ 2月18日上午，我參加了學(xué)校教師教學(xué)比賽，所上《數(shù)列的通項公式》一課獲得一等獎.評課老師一致認為這是一堂務(wù)實高效的專題復(fù)習(xí)課.

教學(xué)目標：1.了解數(shù)列的概念；2.能用定義證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列；3.會用公式求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；4.會用Sn和an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.

教學(xué)過程：

第一板塊：再學(xué)考綱，以綱導(dǎo)復(fù)

1.今天我們一起復(fù)習(xí)數(shù)列的通項公式，（教師板書）咱們看看考綱對此部分的要求是什么，（PPT展示）

了解理解掌握

數(shù)列的概念等差數(shù)列等比數(shù)列

具體要求可闡述為以下四點：（PPT展示）

（1）了解數(shù)列的概念；（2）能用的定義證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列；（3）會用公式求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；（4）會用Sn和an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.（學(xué)生齊讀）

2.單招考試中，求數(shù)列的通項公式一般有這樣四種方法：（PPT展示）

①觀察法；②公式法：利用等差、等比數(shù)列的通項公式；

③利用Sn和an的關(guān)系式：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）；④特殊法：構(gòu)造、疊加、累乘等.

本節(jié)課咱們先復(fù)習(xí)前三種，下面我們通過具體題目來逐一體會.

（設(shè)計意圖：簡要呈現(xiàn)本節(jié)課的復(fù)習(xí)目標和解決問題的方法，在考綱的引領(lǐng)下使學(xué)生在閱讀中獲得新感悟.瞬間集中了學(xué)生的注意.）

第二板塊：重組內(nèi)容，提煉方法

任務(wù)一：請同學(xué)們快速獨立完成以下兩題：（PPT展示）

（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2anan+2（n∈N+），它的前5項是 ，歸納出它的通項公式為an= .（2）數(shù)列-1，2，-4，8，-16，…的一個通項公式為 .

①指名回答，同學(xué)評價. ②說說你是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？

③學(xué)生交流總結(jié)，當(dāng)數(shù)列各項為分數(shù)時，可先寫出分子與分母數(shù)列的通項公式，有時還需要對數(shù)列的某幾項作一些變形，再歸納出原數(shù)列的通項公式.

④如果第（2）題中的數(shù)列變?yōu)椋?， -2，4， -8，16，…，這時該數(shù)列的通項公式又是什么呢？指名回答.⑤比較這兩個通項公式的不同之處，讓你體會到什么？ 指名回答.（當(dāng)數(shù)列的各項符號正、負相間時，可用（-1）n或（-1）n+1進行調(diào)整.）

在已知數(shù)列的前幾項的基礎(chǔ)上，進行分析、觀察、比較每一項的特點，從而提煉揭示其本質(zhì).相對于填空題或選擇題，只需要用不完全歸納法猜想、驗證即可.我們把這種解題方法稱為觀察法.

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)一個數(shù)列已知前幾項時可以用不完全歸納法猜想、歸納求數(shù)列的通項公式.并在教師的追問下讓學(xué)生有感而發(fā)，在題目的變式中尋求方法技巧.）

但自2009年以來單招考試中數(shù)列的試題常以綜合題的形式出項，如2011年單招中的這題.

任務(wù)二：（2011年）已知數(shù)列{an}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列，其中a4=1，且a2，a3，a3-2成等差數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.（PPT展示）

①所求數(shù)列是什么數(shù)列？（教師適當(dāng)?shù)恼Z言留空）既然是等比數(shù)列應(yīng)選用什么方法求通項？

②誰來背背等比數(shù)列的通項公式？指名回答.（教師板書公式）

③如果選用公式an=a1·qn-1求解，應(yīng)將題中條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪些量的？

④如果選用公式an=am·qn-m求解，那題中有沒有公式中的已知量？題中剩余條件此時應(yīng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪個量的？

⑤請同桌之間選用不同的公式求解，比比誰解的即快又準確.

⑥投影展示兩名學(xué)生的解答過程，學(xué)生評價.

⑦那等差數(shù)列的通項公式呢？指名回答.（教師板書公式）

⑧誰來說說下面這道題的解題思路？（已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其中a1=4，且a1，a5，a13成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}的通項公式.）

⑨師生共同總結(jié)，當(dāng)數(shù)列是等差、等比數(shù)列時，用公式法求其通項，但要根據(jù)條件尋找首項、公差（或公比），同時注意解答過程中方程（組）思想的應(yīng)用.

（設(shè)計意圖：強化公式的記憶、理解與應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生弄清這一類問題的本質(zhì)，體會方程（組）思想，可以取得事半功倍的效果.）

實際上，還有相當(dāng)一部分題目中數(shù)列是不明確類型的，并且與函數(shù)、不等式等有機結(jié)合，那我們解決問題的有效抓手是什么呢？咱們看2009單招高考中的一題.（PPT展示）

任務(wù)三：（2009年）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，Snn）均在函數(shù)f（x）=3x+2的圖象上.（1）求a1，a2及數(shù)列{an}的通項公式；（2）解不等式f（n）≥Sn-22.

①這題涉及哪些知識點？

②如果讓你做，應(yīng)分幾個板塊解決？

③第一板塊解決什么問題？根據(jù)哪個條件解？

④第二板塊呢？借助什么關(guān)系來解決？（教師板書Sn和an的關(guān)系式）第三板塊呢？

⑤以下是老師的解答過程，請同學(xué)們找找有無錯誤？

（PPT投影展示解題過程，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，完善其解答過程.）

因為點（n， Snn）在f（x）=3x+2的圖象上，所以Snn=3n+2，即Sn=3n2+2n.

當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12+2×1=5.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n2+2n-[3（n-1）2+2（n-1）]=6n-1，所以an=6n-1