淺談構造函數法證明不等式

鐘水兵

本文首先介紹如何構造函數證明兩個簡單的不等式，在介紹如何構造函數證明復雜的不等式，以及在構造函數時如何如何整體把握.

首先介紹兩個有用的不等式ex≥x+1，x∈R與lnx≤x-1，x>0.

這兩個不等式不難從圖象上看出，注意y=lnx與y=x-1分別是y=ex與y=x+1的反函數，圖象關于y=x對稱.

用導數證明如下： 構造函數

f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.

x∈（-∞，0）時，f ′（x）<0，f（x）遞減，x∈（0，+∞）時，f ′（x）>0， f（x）遞增，所以f（x）≥f（0）=0，

即ex≥x+1.

構造函數f（x）=lnx-x+1，

f ′（x）=1x-1=1-xx，

x∈（0，1）時，f ′（x）>0， f（x）遞增；x∈（1，+∞）時，f ′（x）<0， f（x）遞減，所以f（x）≤f（0）=0.

即lnx≤x-1.

推論： ex-1≥x，x∈R；ln（x+1）≤x，x>-1.

這兩個不等式在證明不等式與求字母范圍時用處極其廣泛，下面舉例給以說明

例1已知f（x）=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2+1，求證： f（x）≥32.

分析根據函數特征，考慮關于x的函數較為復雜，注意主次元的交換與整體把握.

解法一設

f（x）=g（t）=2t2-2（ex+x）t+x2+e2x+1.

本文首先介紹如何構造函數證明兩個簡單的不等式，在介紹如何構造函數證明復雜的不等式，以及在構造函數時如何如何整體把握.

首先介紹兩個有用的不等式ex≥x+1，x∈R與lnx≤x-1，x>0.

這兩個不等式不難從圖象上看出，注意y=lnx與y=x-1分別是y=ex與y=x+1的反函數，圖象關于y=x對稱.

用導數證明如下： 構造函數

f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.

x∈（-∞，0）時，f ′（x）<0，f（x）遞減，x∈（0，+∞）時，f ′（x）>0， f（x）遞增，所以f（x）≥f（0）=0，

即ex≥x+1.

構造函數f（x）=lnx-x+1，

f ′（x）=1x-1=1-xx，

x∈（0，1）時，f ′（x）>0， f（x）遞增；x∈（1，+∞）時，f ′（x）<0， f（x）遞減，所以f（x）≤f（0）=0.

即lnx≤x-1.

推論： ex-1≥x，x∈R；ln（x+1）≤x，x>-1.

這兩個不等式在證明不等式與求字母范圍時用處極其廣泛，下面舉例給以說明

例1已知f（x）=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2+1，求證： f（x）≥32.

分析根據函數特征，考慮關于x的函數較為復雜，注意主次元的交換與整體把握.

解法一設

f（x）=g（t）=2t2-2（ex+x）t+x2+e2x+1.

本文首先介紹如何構造函數證明兩個簡單的不等式，在介紹如何構造函數證明復雜的不等式，以及在構造函數時如何如何整體把握.

首先介紹兩個有用的不等式ex≥x+1，x∈R與lnx≤x-1，x>0.

這兩個不等式不難從圖象上看出，注意y=lnx與y=x-1分別是y=ex與y=x+1的反函數，圖象關于y=x對稱.

用導數證明如下： 構造函數

f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.

x∈（-∞，0）時，f ′（x）<0，f（x）遞減，x∈（0，+∞）時，f ′（x）>0， f（x）遞增，所以f（x）≥f（0）=0，

即ex≥x+1.

構造函數f（x）=lnx-x+1，

f ′（x）=1x-1=1-xx，

x∈（0，1）時，f ′（x）>0， f（x）遞增；x∈（1，+∞）時，f ′（x）<0， f（x）遞減，所以f（x）≤f（0）=0.

即lnx≤x-1.

推論： ex-1≥x，x∈R；ln（x+1）≤x，x>-1.

這兩個不等式在證明不等式與求字母范圍時用處極其廣泛，下面舉例給以說明

例1已知f（x）=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2+1，求證： f（x）≥32.

分析根據函數特征，考慮關于x的函數較為復雜，注意主次元的交換與整體把握.

解法一設

f（x）=g（t）=2t2-2（ex+x）t+x2+e2x+1.