兩因子隨機死亡率狀態空間模型及長壽風險測度

何穎媛+劉貫春

收稿日期： 2014-02-26； 修回日期： 2014-04-06

基金項目： 湖南省社科基金項目（13YBA030）、國家自然科學基金項目（71203241）、湖南省社科基金項目（11YBB039）

作者簡介： 何穎媛（1982—）， 女， 湖南邵陽人， 中南大學商學院博士研究生，長沙學院工商管理系講師， 研究方向： 農村金融與風險管理。

摘 要：引入狀態空間模型對傳統兩因子CBD模型擬合階段和預測階段進行聯合建模，并基于卡爾曼濾波方法對模型參數進行估計。進一步考慮到死亡率數據的小樣本特征，結合Bootstrap仿真技術和生存年金組合折現模型對長壽風險進行測度。利用1996～2011年數據展開實證研究，結果表明：結合模型解釋能力、參數估計結果和誤差項正態分布檢驗結果，兩因子狀態空間模型要優于傳統CBD模型；年金組合規模的擴大可以消除微觀長壽風險，但不能消除宏觀長壽風險和參數風險；宏觀長壽風險占據著不可分散風險的主導地位。

關鍵詞： 狀態空間模型；卡爾曼濾波估計；Bootstrap仿真；長壽風險

中圖分類號：F840.32 文獻標識碼： A 文章編號：1003-7217（2014）05-0024-05

一、引 言

伴隨著生活方式的轉變、生活水平的不斷提高和醫療系統的完善，死亡率模式亦隨之變化。未來死亡率的非預期性降低致使人類存活年限不斷增加，政府面臨的退休金和養老金成本不斷增加，保險公司面臨的風險急劇增大，長壽風險隨之凸顯。然而，由于長壽風險的不確定性，對其進行適當的干預管理面臨挑戰。長壽風險的不確定性很大程度來源于未來死亡率難測度性和長壽風險測度方法的選擇，因此，解決這兩個問題，對長壽風險的識別和控制有著重要作用，對政府和保險公司的決策具有重大的現實意義。

目前，關于死亡率的模型大致可以劃分為兩大類，具體包括確定死亡率模型和隨機死亡率模型。其中，確定型死亡率模型主要包括“Gompertz生存法則”[1]、“Makeham生存法則”[2]、“Thiele生存法則”[3]及“Heligman Pollard生存法則”[4]。然而，生存法則模型由于模型參數不能刻畫死亡率的時變特征而存在較大誤差。隨機型死亡率模型主要包括LC模型[5]和CBD模型[6]。但是，兩者均分兩個階段進行參數估計，模型解釋能力受到很大限制。一些學者對現有的隨機死亡率模型展開比較分析，結果發現并不存在任何一種模型完全優于其他模型，預測精度過于依賴現實條件[7-9]。

國內關于死亡率的建模與長壽風險測度尚處于起步階段，主要集中于LC模型的簡單應用。有的研究了LC模型在我國人口死亡率預測中的應用[10-14]；有的通過建立生存年金組合現值模型，分析了長壽風險帶來的養老成本問題[15，16]。

基于以上認識，本文擬利用狀態空間模型對兩因子CBD模型擬合階段和預測階段進行聯合建模，并基于卡爾曼濾波方法對模型參數進行估計。結合死亡率數據的小樣本特征，綜合運用Bootstrap仿真技術和生存年金組合折現模型來測度長壽風險的重要性，并利用中國數據展開實證研究。

二、兩因子狀態空間模型及卡爾曼濾波估計

假定dx，t表示年齡為x的人群在日歷年t的死亡人數；ex，t表示年齡為x的人群在日歷年t的死亡風險暴露數；為此，年齡為x的人群在日歷年t的死亡率和生存概率分別為qx，t=dx，t/ex，t和px，t=1-qx，t。

（一）兩因子隨機死亡率狀態空間模型

傳統CBD兩因子隨機死亡率模型的預測階段反映了兩時變參數在外界環境作用下的動態變化，比如生活水平的改善和重大瘟疫的爆發將會使得公共因子呈現下降和上升相反的變動趨勢，可以將其視為狀態方程。擬合階段則將死亡率和系統的狀態聯系起來，可以將其視為量測方程。基于此，可以得到兩因子隨機死亡率狀態空間模型。

假定N表示樣本的年齡跨度，T表示樣本的時間跨度。為表述方便，令zxi，t=log it（qxi，t）；H=[IN，B]N×2；B=（x1-，x2-，…，xN-）'N×1；常數漂移項μ=（μ1，μ2）'2×1，則觀測變量zt=（z1，t，z2，t，…，zN，t）'N×1；狀態向量Xt=（κ1t，κ2t）'2×1。此時，傳統的CBD模型可以轉化為如下狀態空間模型：

量測方程： zt=HXt+et （1）

狀態方程： Xt=AXt+μ+εt （2）

其中，觀測噪聲et=（e1，t，e2，t，…，eN，t）'N×1服從標準正態分布且協方差為Rt，記作et～N（0，Rt）；過程激勵噪聲εt=（ε1t，ε2t）'2×1服從二維標準正態分布，記作εt～N（0，Qt）。不同于傳統CBD模型單獨考慮兩時變因子，本文引入常數矩陣A以考慮兩時變因子的相互作用。

（二）卡爾曼濾波估計

定義t|t-1∈Rn表示已知時刻t以前狀態條件下第t步的先驗狀態估計；t∈Rn表示在已知測量變量Zt條件下第t步的后驗狀態估計，則狀態變量的先驗估計誤差和后驗估計誤差分別為et|t-1=Xt-t|t-1和et=Xt-t。此時，兩誤差的協方差分別為：

Pt|t-1=E[et|t-1eTt|t-1]=

E[（Xt-t|t-1）（Xt-t|t-1）T]（3）

Pt=E[EteTt]=E[（Xt-t）（Xt-t）T]（4）

其中，X-t=At-1+μ，且兩協方差矩陣有如下關系：

P-t=APt-1AT+Qt。

上述過程被稱為“時間更新方程”。

進一步，觀測變量zt在已知時刻t以前狀態條件下的先驗估計為：

t|t-1=Ht|t-1。同時對應的估計誤差et和誤差 協方差矩陣Ft分別為：et=zt-t|t-1和Ft=HPt|t-1HT+Rt，此時，得到如下“狀態更新方程”：

Xt=t|t-1+Pt|t-1HTF-1tet （5）

Pt=（I-Pt|t-1HTF-1tH）Pt|t-1（6）

假定觀測變量和狀態變量的誤差項（et，εt）′在Ft-1條件下服從標準多維正態分布，則觀測變量zt服從正態分布：

zt|Ft-1～N（Ht|t-1，HPt|t-1HT+Rt）。

由此得到時期t的對數似然函數為：

Lt=-12log|HPt|t-1HT+Rt|-

12（zt-Ht|t-1）T

（HPt|t-1HT_Rt）-1（zt-Ht|t-1）=

-12log|Ft|-12eTtF-1tet（7）

進而得到模型整體的對數似然函數：

L=-12∑Tt=1log|HPt|t-1HT+Rt|-

12∑Tt=1（zt-Ht|t-1）T

（HPt|t-1HT_Rt）-1（zt-Ht|t-1）=

-12∑Tt=1log|Ft|-12∑Tt=1eTtF-1tet（8）

借鑒Babbs和Nowman（1999）[17]的做法，假定測量誤差相互獨立且具有相同誤差，協方差矩陣Rt為常數對角矩陣R，狀態變量誤差的協方差Qt為常數矩陣Q。

三、長壽風險重要性測度

（一）生存年金組合折現模型

假定：（1）生存年金組合由N個成員組成，且年齡均為60歲；（2）如果個體i活著，保險公司每年年初需為其提供1單位的生存年金；（3）一年期國債短期利率恒定為4%，即r=4%；（4）由于大部分年限國家統計局公布的年齡上限為90，在此設定人類年齡上限為90。

記Li，t+τ為虛擬變量，當個體i在時期t+τ仍舊活著，賦值1；否則，賦值0。由此可得，以年份t為基期，保險公司需要向個體支付金額的現值為：

Yi=∑30τ≥11i，t+τpxi，t+τl（1+r）τ （9）

其中，pxi，t+τ為個體i在時期t+τ的生存概率。基于一年期死亡率集合φt={q（g）x，t+τ|τ≥0}，利用Ft=HPt|t-1HT+Rt可以得到Yi的期望值。則由N個成員構成的年金組合現值為：

y=∑Ni=1Yi。

對上述年金組合的方差進行分解，結果為：

Var（y）=E（Var（y|φt））+Var（E（y|φt）） （10）

式（10）中，右側第一項對應的是微觀長壽風險，第二項對應的是宏觀長壽風險和參數風險。

僅考慮微觀長壽風險的情形下，給定一年期死亡率集合φt={q（g）x，t+τ|τ≥0}，變異系數為：

γ=Var（y|φt）E（y|φt）=1NVar（Yi|φt）E（Yi|φt） （11）

對應地，同時考慮微觀長壽風險、宏觀長壽風險和參數風險情形下，變異系數為：

γ=Var（y）E（y）=

1NE（Var（Yi|ψt））E（Yi）+Var（E（Yi|ψt））E2（Yi）1/2（12）

利用式（10）可以求得宏觀長壽風險和參數風險占據長壽風險主導地位的組合規模臨界值為：

=E（Var（Yi|φt））Var（E（Yi|φt） （13）

（二）基于Bootstrap仿真的長壽風險測度

本文建立的狀態空間模型，由于時變參數κ1t和κ2t的預測值存在誤差（狀態方程存在不穩定性），因此，未來死亡率預測不穩定性稱為宏觀長壽風險或過程風險。量測方程的擬合準確度帶來的未來死亡率預測不確定性對應的是參數風險。

由于死亡率數據屬于小樣本，考慮到Bootstrap仿真方法在小樣本情形下滿足樣本的相合性和分位點的漸進正態性，結合Bootstrap仿真技術與生存年金組合折現模型來測度長壽風險的重要性，具體可以歸納為五個步驟：第一步，利用卡爾曼濾波法對模型參數κ1t和κ2t進行估計，同時，得到對應的測量殘差序列rx，t。記Rt是由元素rx，t構成的N×T維矩陣。

第二步，對rx，t進行有放回的抽樣，得到新的殘差矩陣Rt（b）。并利用量測方程得到重構樣本數據qx，t。

第三步，基于重構樣本，再次利用卡爾曼濾波估計得到待估計參數的新值和對應殘差矩陣，得到對應的隨機死亡率φt。第四步，利用公式（2）得到時變參數的預測值，并根據式（1）對未來死亡率進行預測。第五步，重復上述步驟5000次，可以得到隨機死亡率的經驗分布F（b）。

基于上述分析，分三種情形對長壽風險的具體內容進行測度：（1）量測方程和狀態方程誤差項Vt和Wt均取值0，利用公式（11）測度微觀長壽風險。

（2）量測方程誤差項Vt取值0，狀態方程誤差項為正態分布εt～N（0，Q）的隨機值，利用公式（12）同時測度微觀和宏觀長壽風險。（3）量測方程和狀態方程誤差項分別為正態分布et～N（0，R）和εt～N（0，Q）的隨機值，利用公式（12）同時測度微觀、宏觀長壽風險和參數風險。

四、實證研究

（一）樣本的選取及預處理

考慮到數據的可獲得性，選取1996～2011年分年齡、性別50～90歲死亡率的每一歲歷史數據作為研究對象，并將末組確定為90，所有數據均來源于《中國人口統計年鑒》（1997～2012年）。

（二）死亡率實證結果

利用兩因子狀態空間模型對中國死亡率數據進行建模，結果見圖1。其中，男性兩時變參數漂移項分別為-0.01203和-0.00023，女性兩時變參數漂移項分別為-0.01376和0.00019。關于女性死亡率的建模，傳統CBD模型和兩因子狀態空間模型相差不大，但對于男性死亡率存在較大差異。這些差異來源于兩者對于時變因子處理的不同，傳統CBD模型對于時變參數的擬合受限于“初始值”，而狀態空間模型則根據全局最優進行求解。

假定死亡人數服從泊松分布，采用貝葉斯信息準則對模型優劣進行判別。結果顯示，傳統CBD模型BIC值為-3512，兩因子狀態空間模型BIC值為-3349，后者略優于前者。

結合模型解釋能力和模型檢驗結果，狀態空間模型不僅實現了傳統CBD模型擬合階段和預測階段的統一建模，同時對于隨機死亡率時變特征的刻畫相對更為精確，兩因子狀態空間模型要優于傳統CBD模型。（三）長壽風險測度結果

基于兩因子狀態空間模型，利用Bootstrap仿真技術和生存年金組合折現模型，分別考察年金組合規模N=10，100，1000，10000四種不同組合規模情形下變異系數變動情況，以對長壽風險重要性進行測度。以60歲男性和女性為例，表1為微觀長壽風險測度結果，表2為微觀和宏觀長壽風險綜合測度結果，表3為微觀、宏觀和參數風險綜合測度結果。

由表1不難看出，隨著年金組合規模的擴大，由個體死亡率帶來的微觀長壽風險逐漸減小，當規模達到10000時，對于60歲男性和女性而言，變異系數僅有0.004和0.003。換言之，微觀長壽風險可以通過大數法則進行分散化處理。根據年金組合現值可知，女性的未來生存成本要高于男性，這與中國現狀“女性的壽命高于男性”相符合。

根據表2可知，考慮宏觀長壽風險后，隨著組合規模的擴大，年金現值的變異系數有顯著減少，原因在于個體死亡率的風險在不斷減小。但是當樣本規模達到10000以上時，變異系數的變動已經很小，男性和女性分別約等于0.016和0.019，這就是由時變參數不確定性帶來的風險。由此可見，宏觀長壽風險是不能通過組合規模的擴大來消除的。

同時考慮微觀、宏觀和參數風險后，與表1和表2一致，變異系數剛開始隨著組合規模的增加而加速減小。但當達到10000時，組合規模的擴大并不能帶來變異系數的顯著減小，男性和女性變異系數均約為0.200。與僅考慮微觀和宏觀長壽風險的情形相比，表3的結果要大些，這歸咎于參數風險的存在。剔除宏觀長壽風險的影響，可以得到男性和女性不同性別下參數風險對長壽風險的貢獻率約為25%和5%。

綜合上述分析可知，年金組合規模的擴大可以消除微觀長壽風險，但不能消除宏觀長壽風險和參數風險。同時，宏觀長壽風險占據著不可分散風險的主導地位。進一步，利用公式（13）計算得到不可分散風險占據長壽風險主導地位的年金組合規模臨界值。對于男性而言，宏觀長壽風險和參數風險占據長壽風險主導地位的年金組合規模為380，對于女性而言則為248，這與表1“微觀長壽風險隨著組合規模遞減速率高于男性”是一致的。

五、結束語

長壽風險的測度的關鍵在于對未來死亡率的預測和長壽風險測度方法的選擇。基于傳統CBD模型，通過引入狀態空間模型和卡爾曼濾波估計，能避免傳統死亡率預測模型的一系列弊端。此外，參數估計結果模型整體檢驗表明，兩因子狀態空間模型值得信賴。進一步，結合Bootstrap仿真技術處理小樣本的優勢，采用生存年金折現模型對不同性別情形下長壽風險的重要性分別測度，結果顯示，微觀長壽風險可以通過組合規模的擴大加以消除，而宏觀長壽風險和參數風險不可分散。同時，宏觀長壽風險占據不可分散風險的主導地位，貢獻率高達75%（男性）和95%（女性）。

因此，年金產品定價和風險管理要充分考慮長壽風險，特別是宏觀長壽風險和參數風險，年金的價格應該包含這部分風險溢價。

參考文獻：

[1]Gompertz B. On the nature of the law of human mortality and on a new method of determining the value of life contingencies [J]. Philosophical Transactions of the Royal Society， 1825，（115）： 513-585.

[2]Makeham W M. On the law of mortality [J]. Journal of the Institute of Actuaries， 1860，（13）： 325-358.

[3]Thiele P N. On a mathematic formula to express the rate of mortality throughout the whole life [J]. Journal of the Institute of Actuaries， 1872，（16）： 313-329.

[4]Heligman L， Pollard J H. The age pattern of Mortality [J]. Journal of the Institute of Actuaries， 1980，（107）： 49-80.

[5]Lee R D， Carter L R. Modeling and forecasting US mortality [J]. Journal of the American Statistical Association， 1992，（87）： 659-671.

[6]Cairns A J G， Blake D， Dowd K. A two factor model for stochastic mortality with parameter uncertainty：theory and calibration [J]. Journal of Risk and Insurance， 2006，（73）： 687-718.

[7]Cairns A J G， Blake D， Dowd K， et al. A quantitative comparison of stochastic mortality models using data from england and Wales and the united states [J]. The North American Actuarial Journal， 2009， 13（1）： 1-35.

[8]Cairns A J G， Blake D， Dowd K， et al. Mortality density forecasts：an analysis of six stochastic mortality models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 355-367.

[9]Haberman S， Renshaw A. A comparative study of parametric mortality projection models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 35-55.

[10]王曉軍， 蔡正高. 死亡率預測模型的新進展[J]. 統計研究， 2008， 25（9）： 80-84.

[11]祝偉， 陳秉正. 中國城市人口死亡率的預測[J]. 數理統計與管理， 2009，（28）： 736-744.

[12]韓猛， 王曉軍. Lee Carter模型在中國城市人口死亡率預測中的應用與改進[J]. 保險研究， 2010，（10）： 3-9.

[13]王曉軍， 黃順林. 中國人口死亡率隨機預測模型的比較與選擇[J]. 人口與經濟， 2011，（1）： 82-86.

[14]王曉軍， 任文東. 有限數據下Lee-Carter模型在人口死亡率模型中的應用[J]. 統計研究， 2012， 29（6）： 87-94.

[15]金博軼. 動態死亡率建模與年金產品長壽風險的度量[J]. 數量經濟技術經濟研究， 2012，（12）： 124-135.

[16]張穎， 黃順森. 基于隨機死亡率與利率模型下的生存年金組合風險分析[J]. 系統工程， 2010， 28（9）： 15-19.

[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（責任編輯：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

Mortality and Longevity Risk Measurement

HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk

[8]Cairns A J G， Blake D， Dowd K， et al. Mortality density forecasts：an analysis of six stochastic mortality models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 355-367.

[9]Haberman S， Renshaw A. A comparative study of parametric mortality projection models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 35-55.

[10]王曉軍， 蔡正高. 死亡率預測模型的新進展[J]. 統計研究， 2008， 25（9）： 80-84.

[11]祝偉， 陳秉正. 中國城市人口死亡率的預測[J]. 數理統計與管理， 2009，（28）： 736-744.

[12]韓猛， 王曉軍. Lee Carter模型在中國城市人口死亡率預測中的應用與改進[J]. 保險研究， 2010，（10）： 3-9.

[13]王曉軍， 黃順林. 中國人口死亡率隨機預測模型的比較與選擇[J]. 人口與經濟， 2011，（1）： 82-86.

[14]王曉軍， 任文東. 有限數據下Lee-Carter模型在人口死亡率模型中的應用[J]. 統計研究， 2012， 29（6）： 87-94.

[15]金博軼. 動態死亡率建模與年金產品長壽風險的度量[J]. 數量經濟技術經濟研究， 2012，（12）： 124-135.

[16]張穎， 黃順森. 基于隨機死亡率與利率模型下的生存年金組合風險分析[J]. 系統工程， 2010， 28（9）： 15-19.

[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（責任編輯：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

Mortality and Longevity Risk Measurement

HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk

[8]Cairns A J G， Blake D， Dowd K， et al. Mortality density forecasts：an analysis of six stochastic mortality models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 355-367.

[9]Haberman S， Renshaw A. A comparative study of parametric mortality projection models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 35-55.

[10]王曉軍， 蔡正高. 死亡率預測模型的新進展[J]. 統計研究， 2008， 25（9）： 80-84.

[11]祝偉， 陳秉正. 中國城市人口死亡率的預測[J]. 數理統計與管理， 2009，（28）： 736-744.

[12]韓猛， 王曉軍. Lee Carter模型在中國城市人口死亡率預測中的應用與改進[J]. 保險研究， 2010，（10）： 3-9.

[13]王曉軍， 黃順林. 中國人口死亡率隨機預測模型的比較與選擇[J]. 人口與經濟， 2011，（1）： 82-86.

[14]王曉軍， 任文東. 有限數據下Lee-Carter模型在人口死亡率模型中的應用[J]. 統計研究， 2012， 29（6）： 87-94.

[15]金博軼. 動態死亡率建模與年金產品長壽風險的度量[J]. 數量經濟技術經濟研究， 2012，（12）： 124-135.

[16]張穎， 黃順森. 基于隨機死亡率與利率模型下的生存年金組合風險分析[J]. 系統工程， 2010， 28（9）： 15-19.

[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（責任編輯：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

Mortality and Longevity Risk Measurement

HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk