如何有效提高三角函數解題技巧的課堂教學

葛貽文

高中數學教學是一個教與學在同時相互作用的過程，是一種雙向行為的教學活動.衡量一節高中數學課的好壞，不但要考究教師的教學過程，還要檢驗學生能否吸收到教學的內容.因此，高中數學教師不僅要教授課本的知識點，更重要的是懂得如何教會學生數學的解題技巧.而三角函數是高中數學的重要內容，是一種特殊的函數，在高中階段的數學學習中占據了一定的比例.所以高中數學教師就要重視有效提高高中數學三角函數解題技巧的課堂教學，提高數學教學的質量，培養學生的數學學習能力.

一、 高中數學三角函數及其教學難點

高中數學的三角函數，涉及公式的數量很多，應用的內容也很廣泛.它包括了正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象和性質，三角函數公式（兩角和、倍角、三倍角、半角公式等等），并通過坐標定義法來完成，多用于計算三角形的未知長度的邊和未知的角.但在本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射.

然而，對于一般的高中學生的知識結構和認知能力來說，三角函數的學習并不顯得簡單和輕易掌握，因此，數學教師對此就會存在一定的教學難點.首先，學生對三角函數的性質和概念的理解存在差異，推理能力較弱.一些學生未能有效把握三角函數的對應關系，只會將三角函數應用到簡單的圖象解決上，不懂如何巧妙地將三角函數方程式與幾何意義結合.其次，部分學生沒有理解三角函數的變形規律.他們未掌握三角函數的公式之間的關聯，對基本的數學公式和恒等變化技巧缺乏認識.再者，部分學生未能掌握數形結合的技巧.他們缺乏對三角函數的單調性、周期性、凹凸性以及數值的問題掌握.此外，部分學生沒有對數學的綜合應有能力.他們在學習數學的過程中，未能全面地理解三角函數的復雜性和富于變化的特點.正是因為高中數學三角函數存在著如此的特點和教學難點，教師的教學能力就顯得尤為重要.因此，高中數學教師要采取科學合理的解題教學策略來指引學生有效地掌握和理解三角函數的知識內涵.

二、 提高高中數學三角函數解題技巧的課堂教學的策略

（一） 釋明三角函數的定義，鋪墊解題基礎

在學生開始接觸三角函數的時候，教師就應該重視對三角函數的定義和內涵的闡明，為他們后面學習三角函數的解題技巧奠定基礎.教師可引導學生將角規范地創設在平面直角坐標系中，并讓他們通過坐標工具來概括角的內在規律；啟發學生建構數形結構，結合任意角的三角函數的誘導公式，引入和單位圓相關聯的有向線段，把三角函數的數值與相應的集合形式加以表示.如在教“三角函數的概念”時，教師可運用課本的公式進行簡單的三角函數式的簡化和恒等證明，將函數的圖象和正弦曲線的關系講清，并定義任意角的三角函數.但在這個過程中不能隨意地說“正弦函數y=sinx”，要跟學生講明三角函數總是有一定的附帶定義域的，此時的“函數”，是正弦函數的一個周期，而不是整體，是一個部分而已.

（二） 闡清三角函數的解題方法，培養靈巧運用的能力

當學生對三角函數的學習有了一定的基礎之后，教師就要跟學生普及一定的解題方法和相應的例題模式，培養他們對不同題型應用不同方法的解題能力，使他們能夠靈活地運用解題技巧，而不是死板地學習三角函數.三角函數的題型主要有三角函數的數式化簡、求值、證明等等，相應的解題方法就很多，公式的順用、變用，常數與三角函數互化等等，但也要根據問題的目標，將問題轉向有利解決的方向去轉化.當然，不同的題型的方法也是不同的.給值求值，可用三角變換法、消元法、解方程法；三角恒等式的證明，可用代入法、分析法、綜合法等等.如，在教“三角恒等式的證明”的解題技巧時，教師可先列出題目“已知α，β∈（0，

π2），3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求證α+2β=π2.”此時，教師先要啟發學生一般的三角恒等式的解題思路是將“角+角=角”轉化成證明相應的三角函數的數值，既可根據式子的特點，左右歸一，將其等式的兩邊化異為同，也可通過觀察已知條件與證明等式之間的聯系去找出解決的方式.根據這些解題的技巧，再指導學生將該題轉為證明sin（α+2β）=1或cos（α+2β）=0的，即由3sin2α+2sin2β=1，得1-2sin2α=3sin2α，即cos2β=3sin2α，由3sin2α-2sin2β=0，得sin2β=32sin2α，所以

cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·32sin2α=0.又α，β∈（0，π2），即α+2β∈（0，3π2），所以α+2β=π2.在這個解題的過程中，學生可以學會對應不同的題型要選擇相應的解題方法，激發[HJ1.3mm]他們對學習三角函數的興趣，給他們解題帶來一定的信心.endprint

高中數學教學是一個教與學在同時相互作用的過程，是一種雙向行為的教學活動.衡量一節高中數學課的好壞，不但要考究教師的教學過程，還要檢驗學生能否吸收到教學的內容.因此，高中數學教師不僅要教授課本的知識點，更重要的是懂得如何教會學生數學的解題技巧.而三角函數是高中數學的重要內容，是一種特殊的函數，在高中階段的數學學習中占據了一定的比例.所以高中數學教師就要重視有效提高高中數學三角函數解題技巧的課堂教學，提高數學教學的質量，培養學生的數學學習能力.

一、 高中數學三角函數及其教學難點

高中數學的三角函數，涉及公式的數量很多，應用的內容也很廣泛.它包括了正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象和性質，三角函數公式（兩角和、倍角、三倍角、半角公式等等），并通過坐標定義法來完成，多用于計算三角形的未知長度的邊和未知的角.但在本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射.

然而，對于一般的高中學生的知識結構和認知能力來說，三角函數的學習并不顯得簡單和輕易掌握，因此，數學教師對此就會存在一定的教學難點.首先，學生對三角函數的性質和概念的理解存在差異，推理能力較弱.一些學生未能有效把握三角函數的對應關系，只會將三角函數應用到簡單的圖象解決上，不懂如何巧妙地將三角函數方程式與幾何意義結合.其次，部分學生沒有理解三角函數的變形規律.他們未掌握三角函數的公式之間的關聯，對基本的數學公式和恒等變化技巧缺乏認識.再者，部分學生未能掌握數形結合的技巧.他們缺乏對三角函數的單調性、周期性、凹凸性以及數值的問題掌握.此外，部分學生沒有對數學的綜合應有能力.他們在學習數學的過程中，未能全面地理解三角函數的復雜性和富于變化的特點.正是因為高中數學三角函數存在著如此的特點和教學難點，教師的教學能力就顯得尤為重要.因此，高中數學教師要采取科學合理的解題教學策略來指引學生有效地掌握和理解三角函數的知識內涵.

二、 提高高中數學三角函數解題技巧的課堂教學的策略

（一） 釋明三角函數的定義，鋪墊解題基礎

在學生開始接觸三角函數的時候，教師就應該重視對三角函數的定義和內涵的闡明，為他們后面學習三角函數的解題技巧奠定基礎.教師可引導學生將角規范地創設在平面直角坐標系中，并讓他們通過坐標工具來概括角的內在規律；啟發學生建構數形結構，結合任意角的三角函數的誘導公式，引入和單位圓相關聯的有向線段，把三角函數的數值與相應的集合形式加以表示.如在教“三角函數的概念”時，教師可運用課本的公式進行簡單的三角函數式的簡化和恒等證明，將函數的圖象和正弦曲線的關系講清，并定義任意角的三角函數.但在這個過程中不能隨意地說“正弦函數y=sinx”，要跟學生講明三角函數總是有一定的附帶定義域的，此時的“函數”，是正弦函數的一個周期，而不是整體，是一個部分而已.

（二） 闡清三角函數的解題方法，培養靈巧運用的能力

當學生對三角函數的學習有了一定的基礎之后，教師就要跟學生普及一定的解題方法和相應的例題模式，培養他們對不同題型應用不同方法的解題能力，使他們能夠靈活地運用解題技巧，而不是死板地學習三角函數.三角函數的題型主要有三角函數的數式化簡、求值、證明等等，相應的解題方法就很多，公式的順用、變用，常數與三角函數互化等等，但也要根據問題的目標，將問題轉向有利解決的方向去轉化.當然，不同的題型的方法也是不同的.給值求值，可用三角變換法、消元法、解方程法；三角恒等式的證明，可用代入法、分析法、綜合法等等.如，在教“三角恒等式的證明”的解題技巧時，教師可先列出題目“已知α，β∈（0，

π2），3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求證α+2β=π2.”此時，教師先要啟發學生一般的三角恒等式的解題思路是將“角+角=角”轉化成證明相應的三角函數的數值，既可根據式子的特點，左右歸一，將其等式的兩邊化異為同，也可通過觀察已知條件與證明等式之間的聯系去找出解決的方式.根據這些解題的技巧，再指導學生將該題轉為證明sin（α+2β）=1或cos（α+2β）=0的，即由3sin2α+2sin2β=1，得1-2sin2α=3sin2α，即cos2β=3sin2α，由3sin2α-2sin2β=0，得sin2β=32sin2α，所以

cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·32sin2α=0.又α，β∈（0，π2），即α+2β∈（0，3π2），所以α+2β=π2.在這個解題的過程中，學生可以學會對應不同的題型要選擇相應的解題方法，激發[HJ1.3mm]他們對學習三角函數的興趣，給他們解題帶來一定的信心.endprint

高中數學教學是一個教與學在同時相互作用的過程，是一種雙向行為的教學活動.衡量一節高中數學課的好壞，不但要考究教師的教學過程，還要檢驗學生能否吸收到教學的內容.因此，高中數學教師不僅要教授課本的知識點，更重要的是懂得如何教會學生數學的解題技巧.而三角函數是高中數學的重要內容，是一種特殊的函數，在高中階段的數學學習中占據了一定的比例.所以高中數學教師就要重視有效提高高中數學三角函數解題技巧的課堂教學，提高數學教學的質量，培養學生的數學學習能力.

一、 高中數學三角函數及其教學難點

高中數學的三角函數，涉及公式的數量很多，應用的內容也很廣泛.它包括了正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象和性質，三角函數公式（兩角和、倍角、三倍角、半角公式等等），并通過坐標定義法來完成，多用于計算三角形的未知長度的邊和未知的角.但在本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射.

然而，對于一般的高中學生的知識結構和認知能力來說，三角函數的學習并不顯得簡單和輕易掌握，因此，數學教師對此就會存在一定的教學難點.首先，學生對三角函數的性質和概念的理解存在差異，推理能力較弱.一些學生未能有效把握三角函數的對應關系，只會將三角函數應用到簡單的圖象解決上，不懂如何巧妙地將三角函數方程式與幾何意義結合.其次，部分學生沒有理解三角函數的變形規律.他們未掌握三角函數的公式之間的關聯，對基本的數學公式和恒等變化技巧缺乏認識.再者，部分學生未能掌握數形結合的技巧.他們缺乏對三角函數的單調性、周期性、凹凸性以及數值的問題掌握.此外，部分學生沒有對數學的綜合應有能力.他們在學習數學的過程中，未能全面地理解三角函數的復雜性和富于變化的特點.正是因為高中數學三角函數存在著如此的特點和教學難點，教師的教學能力就顯得尤為重要.因此，高中數學教師要采取科學合理的解題教學策略來指引學生有效地掌握和理解三角函數的知識內涵.

二、 提高高中數學三角函數解題技巧的課堂教學的策略

（一） 釋明三角函數的定義，鋪墊解題基礎

在學生開始接觸三角函數的時候，教師就應該重視對三角函數的定義和內涵的闡明，為他們后面學習三角函數的解題技巧奠定基礎.教師可引導學生將角規范地創設在平面直角坐標系中，并讓他們通過坐標工具來概括角的內在規律；啟發學生建構數形結構，結合任意角的三角函數的誘導公式，引入和單位圓相關聯的有向線段，把三角函數的數值與相應的集合形式加以表示.如在教“三角函數的概念”時，教師可運用課本的公式進行簡單的三角函數式的簡化和恒等證明，將函數的圖象和正弦曲線的關系講清，并定義任意角的三角函數.但在這個過程中不能隨意地說“正弦函數y=sinx”，要跟學生講明三角函數總是有一定的附帶定義域的，此時的“函數”，是正弦函數的一個周期，而不是整體，是一個部分而已.

（二） 闡清三角函數的解題方法，培養靈巧運用的能力

當學生對三角函數的學習有了一定的基礎之后，教師就要跟學生普及一定的解題方法和相應的例題模式，培養他們對不同題型應用不同方法的解題能力，使他們能夠靈活地運用解題技巧，而不是死板地學習三角函數.三角函數的題型主要有三角函數的數式化簡、求值、證明等等，相應的解題方法就很多，公式的順用、變用，常數與三角函數互化等等，但也要根據問題的目標，將問題轉向有利解決的方向去轉化.當然，不同的題型的方法也是不同的.給值求值，可用三角變換法、消元法、解方程法；三角恒等式的證明，可用代入法、分析法、綜合法等等.如，在教“三角恒等式的證明”的解題技巧時，教師可先列出題目“已知α，β∈（0，

π2），3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求證α+2β=π2.”此時，教師先要啟發學生一般的三角恒等式的解題思路是將“角+角=角”轉化成證明相應的三角函數的數值，既可根據式子的特點，左右歸一，將其等式的兩邊化異為同，也可通過觀察已知條件與證明等式之間的聯系去找出解決的方式.根據這些解題的技巧，再指導學生將該題轉為證明sin（α+2β）=1或cos（α+2β）=0的，即由3sin2α+2sin2β=1，得1-2sin2α=3sin2α，即cos2β=3sin2α，由3sin2α-2sin2β=0，得sin2β=32sin2α，所以

cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·32sin2α=0.又α，β∈（0，π2），即α+2β∈（0，3π2），所以α+2β=π2.在這個解題的過程中，學生可以學會對應不同的題型要選擇相應的解題方法，激發[HJ1.3mm]他們對學習三角函數的興趣，給他們解題帶來一定的信心.endprint