高中數學中的“鐵三角”

王新明

在高中化學中，我們知道Fe、Fe3+、Fe2+是鐵哥們——“鐵三角”關系.其實，在高中數學中，也有這樣的“鐵三角”——一元二次方程、一元二次函數、一元二次不等式.它們之間唇齒相依.本文擷取幾例進行分析.

例1二次函數y=ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析本題常規思路是先求出二次函數的表達式，再解不等式，但如果我們能抓住它們之間的聯系，則可使問題的解決簡短明快.我們根據表格中所給出的信息不難得到二次函數的圖象開口向上，且圖象和x軸的兩個交點為（-2，0）和（3，0），而要解不等式ax2+bx+c>0，實際上就是要求相應的二次函數值為正（圖象在x軸上方）時所對應的自變量x的取值范圍.結合二次函數的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x>3或x<-2}.

例2若關于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集為R，求a的取值范圍.

分析由于該不等式二次項系數含有字母，屬于假二次不等式，我們應分類討論.

（1）當a2-1=0時，即a=1或-1.若a=1，原不等式即為-1<0，解集為R；若a=-1，原不等式即為2x-1<0，解集為{x|x<12}，不合題意.（2）當a2-1≠0時，原不等式的解集為R就等價于相應的二次函數y=（a2-1）x2-（a-1）x-1的函數值恒小于0（圖象恒在x軸下方），所以便有a2-1<0，Δ<0.解得-35

綜合（1）（2）得a的取值范圍是-35

例3已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12}，求不等式ax2-bx+c>0的解集.

分析由題意知-2，-12是二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標且a<0，也是二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，故有a<0，-2+（-12）=-ba-2×（-12）=ca，，即a<0，b=52ac=a.，則不等式ax2-bx+c>0可化為ax2-52ax+a>0.因為a<0，所以2x2-5x+2<0，即120的解集為{x|12

例4設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1、x2滿足0

分析由于方程的根就是相應函數圖象與x軸交點的橫坐標，利用這一關系可使本題迎刃而解.

在高中化學中，我們知道Fe、Fe3+、Fe2+是鐵哥們——“鐵三角”關系.其實，在高中數學中，也有這樣的“鐵三角”——一元二次方程、一元二次函數、一元二次不等式.它們之間唇齒相依.本文擷取幾例進行分析.

例1二次函數y=ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析本題常規思路是先求出二次函數的表達式，再解不等式，但如果我們能抓住它們之間的聯系，則可使問題的解決簡短明快.我們根據表格中所給出的信息不難得到二次函數的圖象開口向上，且圖象和x軸的兩個交點為（-2，0）和（3，0），而要解不等式ax2+bx+c>0，實際上就是要求相應的二次函數值為正（圖象在x軸上方）時所對應的自變量x的取值范圍.結合二次函數的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x>3或x<-2}.

例2若關于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集為R，求a的取值范圍.

分析由于該不等式二次項系數含有字母，屬于假二次不等式，我們應分類討論.

（1）當a2-1=0時，即a=1或-1.若a=1，原不等式即為-1<0，解集為R；若a=-1，原不等式即為2x-1<0，解集為{x|x<12}，不合題意.（2）當a2-1≠0時，原不等式的解集為R就等價于相應的二次函數y=（a2-1）x2-（a-1）x-1的函數值恒小于0（圖象恒在x軸下方），所以便有a2-1<0，Δ<0.解得-35

綜合（1）（2）得a的取值范圍是-35

例3已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12}，求不等式ax2-bx+c>0的解集.

分析由題意知-2，-12是二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標且a<0，也是二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，故有a<0，-2+（-12）=-ba-2×（-12）=ca，，即a<0，b=52ac=a.，則不等式ax2-bx+c>0可化為ax2-52ax+a>0.因為a<0，所以2x2-5x+2<0，即120的解集為{x|12

例4設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1、x2滿足0

分析由于方程的根就是相應函數圖象與x軸交點的橫坐標，利用這一關系可使本題迎刃而解.

在高中化學中，我們知道Fe、Fe3+、Fe2+是鐵哥們——“鐵三角”關系.其實，在高中數學中，也有這樣的“鐵三角”——一元二次方程、一元二次函數、一元二次不等式.它們之間唇齒相依.本文擷取幾例進行分析.

例1二次函數y=ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析本題常規思路是先求出二次函數的表達式，再解不等式，但如果我們能抓住它們之間的聯系，則可使問題的解決簡短明快.我們根據表格中所給出的信息不難得到二次函數的圖象開口向上，且圖象和x軸的兩個交點為（-2，0）和（3，0），而要解不等式ax2+bx+c>0，實際上就是要求相應的二次函數值為正（圖象在x軸上方）時所對應的自變量x的取值范圍.結合二次函數的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x>3或x<-2}.

例2若關于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集為R，求a的取值范圍.

分析由于該不等式二次項系數含有字母，屬于假二次不等式，我們應分類討論.

（1）當a2-1=0時，即a=1或-1.若a=1，原不等式即為-1<0，解集為R；若a=-1，原不等式即為2x-1<0，解集為{x|x<12}，不合題意.（2）當a2-1≠0時，原不等式的解集為R就等價于相應的二次函數y=（a2-1）x2-（a-1）x-1的函數值恒小于0（圖象恒在x軸下方），所以便有a2-1<0，Δ<0.解得-35

綜合（1）（2）得a的取值范圍是-35

例3已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12}，求不等式ax2-bx+c>0的解集.

分析由題意知-2，-12是二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標且a<0，也是二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，故有a<0，-2+（-12）=-ba-2×（-12）=ca，，即a<0，b=52ac=a.，則不等式ax2-bx+c>0可化為ax2-52ax+a>0.因為a<0，所以2x2-5x+2<0，即120的解集為{x|12

例4設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1、x2滿足0

分析由于方程的根就是相應函數圖象與x軸交點的橫坐標，利用這一關系可使本題迎刃而解.