基于Choquet模糊積分的邊坡穩定性評價

王興霞，黃 琴，廖再毅,2

（1.三峽大學水利與環境學院，湖北 宜昌 443002；2.瑞爾森大學建筑系，加拿大 多倫多 M5B 2K3）

0 引 言

工程建設過程中產生的大量高陡邊坡給經濟的發展和人民的生命財產帶了巨大的威脅。如何對邊坡的穩定性進行有效的評價與分析具有重要的實用和經濟意義[1]。針對各類工程中的邊坡穩定性分析問題，國內外專家學者做了大量的研究工作，在傳統的方法基礎上提出了一些有效的邊坡穩定性評價方法，這些方法都有各自的優點和適用性，但也存在著一定的缺陷和局限性，如灰色聚類法、模糊層次法、神經網絡法、可靠度法、基于粗糙集理論法、基于可拓學理論法等[2-8]。通常認為，邊坡穩定性評價指標之間是相互獨立、互不影響、互不交叉的。但是，在現實問題中，影響邊坡穩定性的諸多屬性指標往往是相互依賴、相互聯系的，并不相互獨立。鑒于此，為盡可能避免評價失真，使評價結果更加科學合理，本文將模糊測度和Choquet積分算子[9-10]引入到邊坡穩定性評價中，建立基于Choquet模糊積分的評價模型，對邊坡的穩定性進行評價。

1 評價模型

針對評價指標互相關聯、不具可加性的特點，日本學者Sugeno于1974年提出了模糊測度的概念[9]，然而Sugeno積分并不能使測度滿足可加性。為避免這一缺陷，Murofushi和Sugeno提出了Choquet模糊積分[10]，并將其應用到基于關聯的決策分析中。本文考慮評價因素之間的關聯性，建立基于Choquet模糊積分的評價模型。

1.1 模糊測度

設X= （x1，x2，…，xn）為非空集合，μ是X上的模糊測度。在實際評價過程中，X一般定義為評價指標集，通常是有限的，對任意的指標集S?X，μ(S)為評價指標集S的重要程度或權重。因此，模糊測度除了可度量每個評價指標的重要程度或權重，還可以定義任意屬性指標集的權重。

對任意的A，B∈P(X)，A∩B=?。如果模糊測度μ滿足以下條件

則稱μ(A)，μ(B)分別為關于集合A，B的λ模糊測度，該模糊測度是帶參數λ的一種重要的模糊測度，λ∈ （-1，∞），當λ≥0時，λ模糊測度為信任模糊測度。

對于單個評價指標xi∈X，μ(xi)稱為xi的模糊密度函數，表示屬性xi的重要程度，根據下式可確定唯一的參數λ

1.2 Choquet模糊積分

模糊積分作為一種定義在模糊測度基礎上的非線性函數，通過模糊測度來衡量多指標的重要程度[11]，不需要假設各評價指標間是相互獨立的，只要符合單調性即可使用，被應用于評價指標之間存在相互關聯的情況，操作比較方便[12]。模糊積分的方式有很多，其中Choquet模糊積分應用最為廣泛，利用模糊測度，通過評價指標各自重要程度來描述評價指標間相互作用的程度。

假設X={x1，x2，…，xn}是一個非空集合，f是定義在X上的非負實值函數，f:X→R+，函數f關于μ的Choquet模糊積分定義為

式中，(·)表示函數f在X上的一個轉置，使得f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))且 A(i)≤{x(i)，…，x(n)}，x(0)=0。

由上可知，Choquet模糊積分的特點是對數據（f(x1)，f(x2)，…，f(xn)，）按從小到大或從大到小的順序重新排序后的線性表示，考慮了實際評價中各評價指標及指標集之間普遍存在的相互關聯和影響的現象，這種排序方法決定了不同評價指標集的重要程度。

1.3 評價步驟

假設E={e1，e2，…，er}為專家集，X={x1，x2，…，xn}為評價指標集，S={s1，s2，…，sl}為評價標度集。運用Choquet模糊積分[12-13]，提出基于Choquet模糊積分的邊坡穩定性評價方法，具體步驟如下。

步驟1:假定第k位專家根據具體邊坡的實際情況，以評價標度集S為依據，對待評邊坡的第j（j=1，2，…，n）個評價指標xj進行評價測度，得到評價指標xj的評價值為rkj(rkj∈S)，得到第k位專家的評價向量為

步驟2:確定集合X中評價指標xj的模糊密度μ(xj)(j=1，2，…，n)，μ(xj)可利用層次分析法或Delphi法確定，根據公式 （2）確定其相應的參數λ1。

步驟3:確定集合E中專家ek的模糊密度μ(ek)(k=1，2，…，r)，根據公式 （2）確定其相應的參數λ2。

步驟4:利用Choquet模糊積分對評價向量Rk的評價信息進行集結，得到專家ek對待評邊坡的綜合評價值rk(k=1，2，…，r)為

步驟5:再利用Choquet模糊積分對r位專家給出待評邊坡的綜合評價值(i=1，2，…，m)進行集結，得到邊坡的群體綜合評價值r為

式中 ，r(1)≤r(2)≤…≤r(r)。

步驟6:依據綜合評價值r對照評價標度集S={s1，s2，…，sl，}，對邊坡的穩定性進行評判。

2 工程實例

某高邊坡高185 m、長350 m，為臺階式人工邊坡，分上下兩段，上段是垂直臺階式灰巖邊坡，下段是傾斜臺階式頁巖邊坡，坡面形態為直形坡，坡度為30°。邊坡灰巖巖體內摩擦角為30°，轉化為摩擦因數是0.58。邊坡總體上為逆向坡，不存在平行邊坡走向且傾向于坡面的大斷層，結構面發育程度為32%，巖石風化程度為12%，邊坡走向由N30°E轉為N70°E，傾向 NW。邊坡所處地區屬亞熱帶氣候，最大降雨強度114.4 mm/h，年平均降雨量1200 mm，滲透系數為2 m/d，飽水率為0.28%，植被覆蓋率達30%，地震設防烈度為6度。

表1 評價指標標準值和實際值

針對該高邊坡的實際情況，選取以下4類12項指標進行分析:地形地貌特征指標 （邊坡高度、坡面形態、邊坡坡度）、工程地質特征指標 （巖土類型、結構面發育程度、內摩擦因數）、水文氣象特征指標 （多年平均降雨量、滲透系數、飽水率）和其他因素特征指標 （巖土風化程度、植被覆蓋率、地震烈度）。邊坡的穩定程度劃分為5個級別:不穩定s1、次不穩定s2、基本穩定s3、較穩定s4和穩定s5，形成評價標度集 S={s1，s2，s3，s4，s5}。 根據該高邊坡所處區域的具體條件，參照行業標準及其他類似工程[1,3,5]，將各評價指標的實際參數和標準值列于表1，其中定性指標按1～10的標度根據實際情況進行量化。

現有3位專家 （e1，e2，e3）以給定的評價標度S={s1，s2，s3，s4，s5}為標準，依據該邊坡的各指標的實際值和各標度對應的標準值對各項指標進行評價，給出評價向量分別為

利用層次分析法得到的各評價指標xj的模糊密度 μ(xj)和各專家ek的模糊密度 μ(ek)分別為 μ(x1)=0.0835、μ(x2)=0.0755、μ(x3)=0.0835、μ(x4)=0.1088、μ(x5)=0.0890、μ(x6)=0.0984、μ(x7)=0.0863、μ(x8)=0.0780、μ(x9)=0.0780、μ(x10)=0.0730、μ(x11)=0.0730、μ(x12)=0.0730；μ(e1)=0.3323、μ(e2)=0.3672、μ(e3)=0.3005。根據公式 （2）確定其相應的參數λ1=0.09、λ2=0.11。

對專家e1給出的評價向量R1進行重排序使其滿足 r1(1)≤r2(2)≤…≤r1(12)，有

利用Choquet模糊積分對其評價信息進行集結，得到專家 e1的綜合評價值為 r1=CIμ（）＝s3.94，同理可求出 r2=s4.14、r3=s3.51。

采用同樣的方法，對3位專家給的綜合評價值（s3.94，s4.14，s3.51）進行集結，得到邊坡的群體綜合評價值r為

由于綜合評價值r=s4.02處于評價標度集S={s1，s2，s3，s4，s5}中的s4和s5之間，并與s4非常接近，認為該邊坡較穩定。經驗證，該評價結果與數值計算結果基本一致。

3 結 論

本文將Choquet模糊積分引入到邊坡穩定性評價中，建立了基于Choquet模糊積分的邊坡穩定性評價模型，用該評價模型對邊坡穩定性進行評價可以得到更合理的評價結果，實踐中具有較好操作性。工程實際應用表明，該方法的評價結論與數值計算結果基本一致，具有一定的工程應用價值，為邊坡工程及其他復雜系統的評價提供了新的參考。

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