“小學數(shù)學解題研究”課程的幾點教學思考

熊禮勤

【摘要】 本文針對學生在解題過程中的盲目試探和面對智力問題的困惑，探討理性觀察和分析問題的方法，提出有效地找尋問題求解思路及解決問題的途徑.

【關鍵詞】 小學數(shù)學；解題研究

引 言

“小學數(shù)學解題研究”是專科數(shù)學師范類專業(yè)的一門必修課程，其教學目的培養(yǎng)學生將來從事小學數(shù)學解題和競賽指導的能力，對提高學生從事小學數(shù)學教師職業(yè)所必備的綜合素質與專業(yè)化水平等方面具有其他課程所不能替代的重要作用. 主要是探討小學數(shù)學習題和競賽題目的類型、結構、解法、編制方法，使學生在數(shù)學思想方法上得到啟發(fā)，在數(shù)學解題方法上得到訓練，進一步提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和素質，為將來從事小學數(shù)學的教學工作打下堅實的基礎.

盡管學生對小學數(shù)學常用的解題方法和基本題型有所了解，能夠解答常見題型，但遇到競賽性質的題目或較新穎的實際問題，解題起來仍然存在很多困難，從筆者對高師學生上課給出的反饋結果來看，第一種情況是遇到問題盲目試探和無從下手. 而給出解答，他們又覺得方法很簡單. 第二種情況是我講解一類型題目后，學生不能舉一反三，甚至還不能舉一反一. 這里就有一個值得研究的問題：問題和已知方法、知識如何有效銜接？合理地觀察分析問題顯然起著至關重要的作用. 有關解題方法的書籍很多都給出了觀察分析問題的思路或角度，但是針對具體問題，到底選擇哪個角度作觀察？如果一一嘗試，耗時費力，效率太低，甚至會干擾解題. 因此，筆者在教學中十分注意引導學生理性地觀察、分析問題，探索有效的解題方案.

1. 觀察分析問題的狀態(tài)和本質，聯(lián)想相關知識和類似方法

理解題意不能只停留在將條件翻譯為數(shù)學式子、作圖等表面工作上，而必須在此基礎上進一步觀察題目條件對應的數(shù)、式，尋找與熟悉知識相關的各種聯(lián)系和特征. 較好地把握題目的整體狀態(tài)、結構和本質，從而正確地聯(lián)系相關知識和方法，找到有效的解題方案.

例1 六時整，時鐘的分針與時針在一條直線上，問至少經(jīng)過多少分鐘，兩針重合？

分析 將鐘面圓等分為12等份，每一份看作一個行程單位，則本例可以與追擊問題相類比：“甲、乙兩人同時相向而行. 甲在乙前面6個單位的路程，甲每小時行1個單位的路程，乙每小時行12個單位的路程. 如果同時出發(fā)，要經(jīng)過多少時間乙才能追上甲？”可以列式如下：6 ÷ （12 - 1） = ■（時）.

2. 觀察分析問題的特殊性，尋求解題方案的突破

當題目條件較多或較復雜時，不分主次地一一做仔細分析不僅耗時太長，而且可能會干擾學生尋找正確的解題途徑. 如何理性而有效地選準觀察目標，快捷地找到解題突破口？從題目中較特殊、較突出的條件著眼觀察，效果往往很好. 從有關定理中挖掘出一些隱含信息，因此，從這個能挖掘出隱含信息的條件入手，尋找解題的突破口.

例2 500名同學站成一排，從左到右“1、2、3”報數(shù)，凡報到1和2的離隊，報3的留下，向左看齊后，再重復同樣的報數(shù)過程，如此進行了若干次后，只剩下兩名同學了. 這兩名同學在開始的隊伍中，位于從左到右的第幾個？

分析 第一次報數(shù)，3 × 1，3 × 2，3 × 3，…，3 × 166；

第一次報數(shù)，9 × 1，9 × 2，9 × 3，…，9 × 166；

第一次報數(shù)，27 × 1，27 × 2，27 × 3，…，27 × 166；

……

解：第一次報數(shù)：500 ÷ 3 = 166……2，留下166人；

第一次報數(shù)：166 ÷ 3 = 55……1，留下55人；

第一次報數(shù)：55 ÷ 3 = 18……1，留下18人；

第一次報數(shù)：18 ÷ 3 = 6，留下6人；

第一次報數(shù)：6 ÷ 3 = 2，留下2人.

所以，最后留下的兩名同學的編號是3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 1 = 243和3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 486.

3. 觀察分析問題是尋求解題方案的關鍵所在

理性地觀察題目的狀態(tài)和結構，選準問題的突破口，對于提高解題的有效性和準確性尤為重要. 教師在解題教學中，不僅要傳授給學生常用的數(shù)學思想和解題方法，更要重視培養(yǎng)學生的觀察能力，以達到提高解題能力的目標.

例3 （一） 一個大正方形由9個同樣的小正方形拼成. 一條直線穿過它們，最多可以穿過多少正方形？如果是16、25個呢？能否找出規(guī)律？

（二）一個大正方體由27個同樣的小正方形緊密地搭成. 一條直線穿過這幾個大正方形體，這條直線最多可以穿過多少個小正方體？如果是64呢，能否找出規(guī)律？

解 （一）（1）我們先從最簡單的開始，如果只有一個正方形，一條直線要穿過它，由觀察可知，它要穿過兩條邊，這是顯見的.

（2）如果是由4個正方形組成的圖形（見下圖1），我們可以采用將大正方形“打散”成很靠近的四個獨立正方形. 這樣，一條直線穿過原先的大正方形最多穿過的邊有最外面的邊——2條，里面的邊共有2 + 2 = 4條邊. 因此共有6條邊被穿過，按照（1）的討論，即可得出最多可穿過6 ÷ 2 = 3個正方形.

（3）如果是9個正方形組成的圖形，可采用類似的辦法將其“打散”成很靠近的9個獨立的正方形. 這樣總共有2 + 2 × 2 + 2 × 2 = 10條邊被穿過，因此最多有5個正方形被穿過.

（4）很明顯如果是16個正方形，則有2 + 2 × 3 + 2 × 3 = 14條邊被穿過，也即有7個正方形被穿過. 如果是n2個正方形，則有2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） = 4n + 2條邊被穿過，最多有2n + 1個正方形被穿過.

（二）對于立方體的處理，可類似如平面圖形的處理辦法. 只是將上述解法中的線改成面. 同樣，一條線要穿過一個正方體最少需穿過正方體的兩個面，因此對于8個小正方體組成的立方體“打散”后共有2 + 2 + 2 + 2 = 8個面被穿過，也即最多有4個正方體被穿過. 如果是27個正方體則最多有（2 + 2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2） ÷ 2 = 7個被穿過，如果是64的話，有10個. 如果是n2個正方體的話最多有[2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） + 2（n - 1）] = 3n - 2個正方體被穿過.

4. 觀察分析問題，通過先特殊后一般的方法，來尋求解題方案的突破

通過觀察題目的結構，采取先簡單后復雜、先特殊后一般的辦法來尋求問題的解決，對于提高解題的有效性和準確性尤為重要. 教師在解題教學中，不僅要傳授給學生思想方法和常用解題方法，更要重視培養(yǎng)學生的分析問題的能力，以達到“授之以漁”的目標.

例4 如圖，一個居民小區(qū)縱橫各有6條街道. 某人要從西北方向前往東南方向，走的方向只能向東或向南，一共有多少種走法？

分析 如果一開始就直接進行解決，可能由于圖形的復雜，容易造成計算的混亂，最終導致解題的失敗. 而我們如果從最簡單開始，逐步推進，問題便可解決. 我們分析順序可從最簡單的“口”字型（1 × 1型）（見圖一）開始，到“日”字型（1 × 2型）（見圖二）、“目”字型（1 × 3型）（見圖三）、“田”字型（2 × 2型）（見圖四）等，問題得以解決.

解 對于“口”字型（1 × 1型），顯然有2種走法；對于“日”字型（1 × 2型），有3種走法；對于“目”字型（1 × 3型），也易得有4種走法；同理，對于1 × 4型的有5種走法.

圖一 圖二 圖三 圖四

有了這些做基礎，我們可以對復雜圖形進行計算. 如 “田”字型（2 × 2型）可分解為兩個“日”字型，所以有6種走法；2 × 3型（見圖五），可以分解為1 × 3型與2 × 2型，因此有10種走法.3 × 3型可分解為兩個2 × 3型，所以有20種走法. 以此推算，4 × 4型可以分解為兩個3 × 4型. 而每一個3 × 4型可以分解為3 × 3型和2 × 4型，同理2 × 4型可分解為1 × 4型和2 × 3型，所以4 × 4型有2 × （20 + 10 + 5） = 70種走法. 對于題中5 × 5型，可分解為兩個4 × 5型. 以下部分解略.

圖五

通過這道題可以看出，小學競賽題看似難，實際上如果我們抓住了題目的“牛鼻子”，也就能化難為易.

總之，對于小學數(shù)學中的競賽題目的處理一方面要立足于數(shù)學思想方法的應用，用近現(xiàn)代數(shù)學思想方法來統(tǒng)領問題解決. 另一方面，我們也應該對問題進行仔細觀察. 觀察分析問題是尋求解題方案的關鍵所在，理性地觀察題目的狀態(tài)和結構，選準問題的突破口，對于提高解題的有效性和準確性尤為重要. 教師在解題教學中，不僅要傳授給學生常用的數(shù)學思想和解題方法，更要重視培養(yǎng)學生的觀察能力，以達到提高解題能力的目標.

【參考文獻】

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