生產成本的最優化問題探究

劉瑞華

【教學內容】

本節課是在高一學生學完全日制普通高中教科書《數學》（必修）第一冊（上）“函數的單調性”之后組織的一次數學問題研究學習課，旨在提高學生應用數學知識的能力和對數學問題的探究能力，是對“高中數學問題研究學習法”的一次有益嘗試。

本節課研究的實際問題是：高效益下的低成本問題。

本節課研究的數學模型是：函數y=x+■。

本節課研究獲得的成果是：發現了函數y=x+■的圖象及其單調性特征，并運用這一特征解決了一個實際問題。

【教學過程】

一、情境

師：今天我們將運用數學知識來幫助一家企業安排他們的生產計劃，希望能夠獲得成功。（大屏幕顯示）

我市一家民營企業根據市場需求決定調整某產品的生產量，以降低成本、提高效益。據統計的歷史資料顯示：生產該產品每年固定成本為100萬元，每年生產x萬件產品的生產成本為x（x+2）百萬元，該企業全年的生產能力在0.1萬～2萬件之間。請你幫助設計生產規模，要求用最小的投入獲得最大的效益。

二、問題

問題1：這項工作的實質內容是什么？（引導學生發現問題）怎樣用數學知識去解決？（引導建立數學模型）

三、探究

（分小組討論3分鐘后）

A組學生1：這項工作實質是讓我們確定生產量，使全年的總成本最小。（提出假設）我們的解法是這樣的：（投影展示）

設全年生產總成本為y，則有y=x（x+2）+1，即y=x2+2x+1（0.1≤x≤2），這個函數在[0.1，2]上是增函數，故當x=0.1萬件時，y=1.21百萬為最小，所以安排每年生產0.1萬件最好。

師：說說你們這樣考慮的理由。

生：因為總成本就是總投入，花錢越少越好。（檢驗假設）

師：有不同的意見嗎？（引導發現新問題）

B組學生2：我們不贊成他們的觀點，投入少不能說明效益高，因為投入少生產量就少，很明顯，他們安排的生產量是最少的，這絕不會取得高效益。（推翻假設）

（許多同學表示贊同）

師：依你們的想法該怎樣安排生產呢？

生2：我們暫時還沒有主意，似乎應考慮■的最大值問題。（提出新假設）

師：說說這種想法的理由。

生：高效益需要有一定的生產規模，就是要使x較大，而低成本就是要總成本y較小，把二者結合起來考慮，就要求比值■最大。

師：有道理（全班同學都表示贊同），大家還有其他想法嗎？比如這個比值的實際含義還不太清楚，能弄清楚嗎？（引導深入探究）

C組學生3：我們發現這個比值的倒數■就是每件產品的平均成本，認為每件產品的平均成本少，才能保證生產效益高，即求 的最小值。（提出新的假設）

（投影展示）

設y為全年生產x件產品的平均成本，則y=■，（0.1≤x≤2），但我們不知道怎樣求y的最小值，請老師和同學們支援。（與B組同學觀點一致，但意義更明確）

A組學生此時又活躍起來了，學生4：總成本是這個式子的分子，當它最小時，平均成本最小，所以我們仍然堅持原來的觀點。

B組學生5：（反對）指出x=1萬件時，平均成本為4百元，而x=0.1萬件時，平均成本為12.1百元，這已是前者的3倍，x=1似乎就是最佳選擇。（學生的直覺）（此時全班同學都投了贊成票，支持新假設。）

師：再次歸納提出問題2：下面我們把主要精力集中在C組同學提出的問題中，即要解決y=■（0.1≤x≤2）的最小值問題。

我們可以從以下幾個方面去進行研究：①從數量上考慮這個函數的單調性；②從圖形上考慮是否有最低點；③能否進行轉化、變形處理。（引導啟發探究、解決問題的途徑）

（大約6分鐘后）A組學生1再次發表自己的見解：可以將式子變形為x2+（2-y）x+1=0，關于x的方程有解，由Δ≥0解得y≥4，此時對應的x=1∈[0.1，2]（驗證了學生5的猜測，贏得一陣掌聲。）

D組學生6：我們找到了圖象的最低點在x=1處，說明全年生產1萬件最好。

師：你們采用了什么方法畫圖？

生：描點法。（展示圖形）

……

（C組學生不甘示弱）學生7：我們已經解決了這個函數的單調性問題，它在[0.1，1]上是減函數，在（1，2]上是增函數。（投影展示推證過程）

對任意xl，x2，設0.1≤xl

f（xl）-f（x2）=■-■

=x1-x2+■-■=（x1-x2）（1-■）=■，

當x1<1，x2≤1時，f（x1）-f（x2）>0；

當x1>1，x2>1時，f（x1）-f（x2）<0。

這說明函數y=f（x）在[0.1，1]上是減函數，（1，2]上是增函數。

師：這個特點能解決問題嗎？

生：能。這說明x=1是函數的一個分界點，在它的左邊遞減，右邊遞增，故當x=1時，對應的3值最小，即每年安排生產1萬件最好。（檢驗新假設，得到結論）

師：很好！（同學們也隨著喝彩）C組同學實際上也證明了B組同學提出的函數y=x+■的單調性，我們把兩組同學研究的結論合并起來，是不是又認識了一個新的函數呢？

生：是，就是y=x+■。

師：有誰能將今天探究的問題總結一下嗎？

四、生成

生8：今天我們用數學知識解決了一個實際生產問題。

生9：今天我們研究了函數y=■的最小值。

……

師：大家都說得很好，今天我們不僅幫助這家企業解決了生產的實際問題，更重要的是我們在解決問題的同時，認識了一個很好的新函數，它就是y=x+■。希望它能成為我們共同的朋友，它的圖象在（0，+∞）上是一個漂亮的“√”（大屏幕顯示），這是對同學們今天出色表現的最高贊賞。

教師提出課外探究的新問題，再進行拓展后結束。（拓展問題，課外延伸）

參考文獻：

王新民.關于數學教學效率及其效率意識的分析[J].數學教育學報，2006（3）.

編輯 李建軍