一“數(shù)”之變 異彩紛呈

馮菁菁 高浩

以下是筆者通過(guò)對(duì)一道數(shù)列題改變一個(gè)數(shù)字進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)解法優(yōu)美、內(nèi)涵豐富、異彩紛呈，寫(xiě)下來(lái)與大家交流，希望能夠給讀者在遞推數(shù)列解題方面帶來(lái)一點(diǎn)啟示.

一、試題呈現(xiàn)

題目1：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.

（1）若bn=an2n-1，求證：bn是等差數(shù)列;

（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

這是一道遞推數(shù)列試題，第（1）問(wèn)不難證明，第（2）問(wèn)關(guān)鍵是求通項(xiàng)an.

簡(jiǎn)解 （1）an+1=2an+2nan+12n=an2n-1+1，∴bn是等差數(shù)列且公差為1，首項(xiàng)為1.

（2）由（1）知an2n-1=n，從而an=n2n-1，接下來(lái)用錯(cuò)位相減法求Sn.

解題反思 （ⅰ）本題通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列，求通項(xiàng)an，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.

（ⅱ）若本題題干中改變一個(gè)數(shù)字，又會(huì)怎么樣呢？又該怎樣求數(shù)列通項(xiàng)an呢？

變式：

題目2：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，求通項(xiàng)an.

題目3：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n，求通項(xiàng)an.

二、解法探究

關(guān)于題目2

解法1（累加法） an+1-an=2nan=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1

=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.

解法2（迭代法） ∵an+1=an+2n，∴an=an-1+2n-1=an-2+2n-2+2n-1

=an-3+2n-3+2n-2+2n-1=…=1+2+…+2n-3+2n-2+2n-1=2n-1.

解法3（構(gòu)造常數(shù)列） 由an+1=an+2nan+1-2n+1=an-2n，所以an-2n是常數(shù)列.

∴an-2n=a1-2，故an=2n-1.

關(guān)于題目3

解法1 由an+1=3an+2nan+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是等比數(shù)列.

故an+2n=3n，即有an=3n-2n.

解法2 由an+1=3an+2n an+12n=32·an2n-1+1.令bn=an2n-1，則有bn+1=32bn+1

bn+1+2=32（bn+2）.所以bn+2是等比數(shù)列.∴bn+2=332n，即an2n-1=332n-1-2，從而an=3n-2n.

解法3 由an+1=3an+2n an+12n=32·an2n-1+1.

令bn=an2n-1，得bn+1=32bn+1，①.

n≥2時(shí)，bn=32bn-1+1，②.①-②得bn+1-bn=32（bn-bn-1），所以bn+1-bn是等比數(shù)列（首項(xiàng)b2-b1=32），則有bn+1-bn=（32）n.以下用累加法，可求得bn=232n-1，從而an=3n-2n.

解法4 由an+1=3an+2nan+13n=an3n-1+23n.令cn=an3n-1，得cn+1=cn+23n.c1=1轉(zhuǎn)化為題目2類型（可用累加法、迭代法和構(gòu)造常數(shù)列等解決）.

評(píng)注 以上解法蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，這種思想方法是高考考查重點(diǎn)，這里的轉(zhuǎn)化化歸有兩個(gè)方向：一是向等差（比）數(shù)列轉(zhuǎn)化;二是向簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化，如an= an-1 + f （n）等.

解法5 （迭代法）

∵an+1=3an+2n，

∴an=3an-1+2n-1

=3（3an-2+2n-2）+2n-1

=32（3an-3+2n-3）+3·2n-2+2n-1=…

=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+3·2n-2+2n-1

=3n-2n.

三、一點(diǎn)思考

筆者認(rèn)為數(shù)列教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生向等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化的強(qiáng)烈目標(biāo)意識(shí)以及進(jìn)行“類似結(jié)構(gòu)”的訓(xùn)練是解決該問(wèn)題行之有效的辦法.根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是數(shù)列的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).通過(guò)以上變式探究，使我們學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反思，掌握探究拓展的方法，以達(dá)到解一題，通一類，帶一串的目的.培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，這不僅鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)在探究中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.