廣義蝴蝶定理的推廣

馬宜

摘要：本文對圓上的一個廣義蝴蝶定理進行了推廣，給出了兩種不同的證明方法，同時把它推廣到多種幾何圖形中。關鍵詞：蝴蝶定理;圓;四邊形中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）19-0182-02蝴蝶定理作為一道著名的平面幾何題，歐氏幾何園地里的一棵生機勃勃的常青樹. 許多人都在探求她的多種形式及其性質的推廣.下面是文中需要用到的知識：引理1[1]M是⊙O的弦AB上任意一點，CD，EF是過M點的兩條弦，連接CF，DE分別交AB于P，Q兩點，且R，r，m 分別是圓的半徑，圓心到點M的距離及M到弦AB中點G距離，則=2mR2-r2引理2[1]M是⊙O的弦AB上任意一點，CD，EF是過M點的兩條弦，連接CF，DE，分別交AB于P，Q兩點，則1PM-1QM=1AM-1BM.引理3[2]已知M是橢圓或拋物線的弦AB上任意一點，CD，EF是過M點的兩條弦，連接CF，DE分別交AB于P，Q兩點，則1PM-1QM=1AM-1BM.定理1 如圖1所示，M是⊙O1的弦AB上任意一點，，過M點的兩條弦，連接CF，DE分別交AB于P，Q兩點，O為弦AB的中垂線L上的任意一點，且AO=R，OM=r，MG=m，則=2mR2-r2.（注：當O在圓心O1上時，定理1即為引理1.）證法1假設點O在圓內，因為AM=AG+GM=AG+m，BM=BG-GM=BG-m，有1AM-1BM=1AG+m-1BG-m=-2mAG2-m2. 又AG2=OA2-OG2=OA2-（OM2-GM2）=OA2-OM2+GM2=R2-r2+m2，有1AM-1BM=-2mR2-r2+m2-m2=-2mR2-r2.由引理2得1PM-1QM=1AM-1BM，即=2mR2-r2.點O在圓外時類似可證.綜上所述，=2mR2-r2.證法2 如圖2所示，以M為原點，AB為x軸建立直角坐標系，設圓的方程為： 圖1 圖2（x-a）2+（y-b）2=R21，A（xA，0），B（xB，0），點A，B都在圓上，得xA=a-R21-b2，xB=a+R21-b2.則.又=m，=O1G， 得2aa2+b2-R21=2am2+O1G2-（AG2+O1G2）=2am2-AG2=-2a（AG2+OG2）-（m2+OG2）=-2aAO2-MO2=-2aR2-r2=，由引理2得1PM-1QM=1AM-1BM，==2mR2-r2，即=2mR2-r2.類似于定理1的證法1可得定理2，定理3.定理2M是橢圓的弦AB上任意一點，CD，EF是過M點的兩條弦，連接CF，DE分別交AB于P，Q兩點，O為弦AB的中垂線L上的任意一點，且AO=R，OM==r，MG=m，則=2mR2-r2.定理3M是拋物線的弦AB上任意一點，CD，EF是過M點的兩條弦，連接CF，DE分別交AB于P，Q兩點，O為弦AB的中垂線L上的任意一點，且AO=R，OM=r，MG=m， ，則 =2mR2-r2.本文的研究和推廣只是它的一小部分，因此，有待于我們進一步研究和探討.參考文獻：[1] 俞凱.箏形定理與蝴蝶定理的關系探究[J].中學數學研究，2006，（10）：17-19.[2] 成敦杰.蝴蝶定理的推廣[J].中學數學月刊，1998，（2）：47-48.