基于稀疏高斯積分的艦機傳遞對準濾波方法

梁 浩，穆榮軍，王丹丹，蔡 玲，喬立偉

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 天津航海儀器研究所，天津 300131）

基于稀疏高斯積分的艦機傳遞對準濾波方法

梁 浩1，穆榮軍1，王丹丹2，蔡 玲3，喬立偉3

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 天津航海儀器研究所，天津 300131）

針對艦機傳遞對準中的大姿態(tài)失準角問題，研究了稀疏高斯厄米特積分濾波在艦機傳遞對準中的應用。為了解決稀疏高斯濾波中積分點利用效率不高的問題，提出了一種改進的自適應各向異性稀疏高斯積分濾波算法，改進算法根據(jù)狀態(tài)參數(shù)可觀測度大小將積分變量分類并根據(jù)分類結(jié)果構(gòu)造各向異性權重向量來控制各維通道積分的精度等級，進而對各變量通道的積分點數(shù)目進行合理分配。模擬軌跡下仿真結(jié)果表明，采用稀疏高斯濾波與采用改進算法的艦機傳遞對準精度相當，較無味卡爾曼濾波有所提高，對準精度由3′提高到2′；改進算法的積分點數(shù)目減少了30%～60%，提高了計算效率。

艦載機；傳遞對準；非線性濾波；可觀測度；各向異性；高斯厄米特

艦載機著艦后在甲板上停放的位置是隨機的，利用著艦后機載慣導關機時刻的導航信息，能夠得到艦載機相對艦船基準粗略的姿態(tài)關系，進而在下次值機起飛前通過傳遞對準獲得機載慣導準確的初始姿態(tài)信息。通常認為上次著艦后飛機慣導的姿態(tài)角誤差為小量，在小失準角條件下推導出慣導系統(tǒng)的線性誤差傳播方程[1-2]。然而，實際中經(jīng)常會出現(xiàn)大初始失準角的情況，近年來，許多學者對大姿態(tài)失準角下的非線性模型及非線性濾波算法開展了大量研究[3-5]。

在非線性濾波算法方面，擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）應用最為廣泛，EKF利用一階泰勒近似將非線性模型線性化，但EKF計算過程復雜，當遇到強非線性模型時誤差較大。無味卡爾曼濾波采用UT變換近似非線性函數(shù)的概率密度，具體采樣形式為確定性采樣，理論上UKF能以二階或三階精度計算后驗分布的均值和協(xié)方差[6-7]。高斯厄米特積分濾波（Gauss-Hermite Quadrature Filter，GHQF）利用高斯厄米特積分方法來直接處理非線性模型，研究表明[8]，GHQF的估計精度高于EKF和UKF。但GHQF的積分點數(shù)目隨著變量維數(shù)的增加呈指數(shù)形式增長，為了解決GHQF的維數(shù)災難問題，有學者提出了稀疏網(wǎng)格積分濾波方法，其原理是利用Smolyak法則來減少積分采樣點，SGHQF采樣點的個數(shù)隨著系統(tǒng)維數(shù)的增加僅呈多項式形式增長，SGHQF在收斂速度和估計精度方面優(yōu)于EKF和UKF，與GHQF相比，SGHQF具有更高的計算效率[9-10]。

本文建立了大姿態(tài)失準角下慣導系統(tǒng)誤差傳播模型，將SGHQF算法應用于艦機傳遞對準，為了進一步降低實際應用中SGHQF的計算負擔，提出了一種基于系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)可觀測度分析的自適應各向異性稀疏積分濾波算法，并采用模擬軌跡對基于改進方法的艦機傳遞對準進行了仿真驗證。

1 自適應各向異性稀疏積分濾波算法

稀疏網(wǎng)格Smolyak規(guī)則是對單變量GHQ積分進行多維擴展的一種方法，描述如下：

式中， wsj、γsj為 ij精度等級的單變量積分權值和積分點。

SGHQF積分點的數(shù)目隨著積分變量維數(shù)的增加呈多項式增長，降低了計算量。然而，SGHQF對各維積分變量同等重視，均勻分配積分點，因此，SGHQF的積分點利用效率并不是最高的。濾波器的估計速度和精度取決于系統(tǒng)的可觀測性，狀態(tài)分量可觀測性的強弱用可觀測度來衡量。下面給出改進的AASGHQF算法，該算法根據(jù)各通道變量的可觀測度大小對各積分變量進行分類，以此來分配各維積分點數(shù)目，將更多積分點分配至更重要的變量通道[11]。表達式如下：

可觀測度的分析方法主要有估計誤差協(xié)方差陣的征值法和可觀測矩陣的奇異值分解法，前者要在Kalman濾波運算之后才能進行可觀測度分析，而后者可以在濾波估計的同時進行可觀測度計算。利用微分幾何非線性系統(tǒng)理論及李導數(shù)對非線性系統(tǒng)進行可觀測性分析并求解非線性系統(tǒng)的可觀測矩陣[12]，采用奇異值分解法（Singular Value Decomposition，簡稱SVD法）對系統(tǒng)狀態(tài)分量的可觀測性進行定量分析[13]。狀態(tài)分量的可觀測度定義為：

式中：ηj表示狀態(tài)向量中第j個分量的可觀測度，σ0表示外觀測量所對應的奇異值，σmax為使待估計的初始狀態(tài)取得最大值的奇異值。

在進行集合劃分時，要求各子集之間互不相交。經(jīng)上述篩選處理后，S x (n)中所有狀態(tài)分量按可觀測度強弱劃分到高-低（ Sx1和 Sx2）兩個子集中。通過計算各變量通道的可觀測度大小對g進行賦值，對于可觀測度低的變量通道，即使非線性程度較大，也應減少其積分點數(shù)目所占的比重，合理有效地對積分點進行分配。

式(3)可改寫為：

式中：

AASGHQ的積分點可表示為：

2 地理系下艦機傳遞對準模型

2.1 慣導非線性誤差傳播模型

艦機傳遞對準過程中，涉及到主、子兩套慣性導航系統(tǒng)，其誤差傳播特性同單個慣導系統(tǒng)的誤差傳播特性有一定差異，需要對相關參量進行重新定義和處理，當姿態(tài)失準角為大角度時，基于小角度假設的一階線性化慣導誤差方程不能準確描述系統(tǒng)的誤差傳播特性，應建立大失準角下的非線性系統(tǒng)模型。

地理坐標系內(nèi)，捷聯(lián)慣導系統(tǒng)的非線性誤差傳播模型為[14]：

2.2 傳遞對準模型

2.2.1 狀態(tài)方程

取狀態(tài)向量為：

式中：各分量依次分別為姿態(tài)失準角、主子慣導東向及北向速度之差、經(jīng)緯度之差、子慣導的陀螺常值漂移和加速度計測量零偏。

系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程為：

式中：f為非線性向量函數(shù)， wk-1為零均值高斯白噪聲序列，其方差陣為 Qk-1。

2.2.2 觀測方程

采用速度匹配模式，系統(tǒng)的觀測向量為：

觀測方程為：

2.3 濾波器設計

艦機傳遞對準系統(tǒng)的概率密度為高斯型，傳遞對準濾波器具有如下形式。

1）預測：

2）更新：

式中：

3 仿真分析

3.1 仿真分析1

選取精度等級為 3的二維高斯積分進行仿真分析，對SGHQ和AASGHQ的積分點數(shù)目和分布進行比較。L精度等級的單積分點的數(shù)目為2L-1個[15]，分別用 X1、 X2和 X3表示等級1、2、3的單變量積分點，則 X1、 X2和 X3包含的積分點分別為1、3、7個。根據(jù)稀疏網(wǎng)格積分規(guī)則，SGHQ的積分點為D2,3= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),}，取點分布如圖 1所示[10]。當 g= [2,1]時，根據(jù)式(7)～(10)得 AASGHQ的積分點為 D2,3= {(1,1),(1,3),(2,1)}，取點分布如圖2所示。

圖1 SGHQ取點分布示意圖Fig.1 Points distribution of SGHQ

圖2 AASGHQ取點分布示意圖Fig.2 Points distribution of AASGHQ

當L=3，n=1～6時，SGHQ、AASGHQ的積分點數(shù)如表1所示，AASGHQ需要更少的積分點。

由計算結(jié)果可以看出，g的取值決定了各維積分ij的幅值范圍及積分點的數(shù)目。可以根據(jù)式(5)、式(6)的可觀測度分組計算依據(jù)對g進行賦值。AASGHQF與SGHQF相比，AASGHQF能夠減少30%～60%的積分點數(shù)。

表1 SGHQ和AASGHQ所需積分點的數(shù)目Tab.1 Number of points of SGHQ and AASGHQ

3.2 仿真分析2

采用模擬軌跡分別對基于 UKF、SGHQF和AASGHQF的艦機傳遞對準進行仿真對比分析。

在二級海情下，艦船以10 m/s的速度做勻速直線運動，主慣導陀螺常值漂移0.0012 (°)/h(1σ)，加表零偏6×10-6g(1σ)；子慣導陀螺常值漂移0.06 (°)/h(1σ)，加表零偏3×10-4g(1σ)；主、子慣組數(shù)據(jù)更新周期為0.1 s，傳遞對準濾波周期為0.2 s，仿真時間15 min；艦體坐標系內(nèi)橫向、法向和縱向桿臂為[2m 6.7m 35m]，預設安裝誤差角和甲板靜態(tài)變形角之和為1.0°；SGHQF、AASGHQF的精度等級均取為L=3；AASGHQF中g根據(jù)可觀測度計算結(jié)果進行取值，對可觀測度低的變量通道積分點進行稀疏，ηM取值為1。

模擬飛行軌跡下系統(tǒng)各狀態(tài)分量的可觀測度計算結(jié)果如表2所示（選取其中一段），相應的自適應重要度因子的取值為g=[1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]。

表2 模擬軌跡下狀態(tài)參數(shù)可觀測度Tab.2 Observable degree of state parameters under simulation trajectory

采用艦船模擬軌跡，基于 UKF、SGHQF和AASGHQF的慣導傳遞對準結(jié)果如圖3和圖4所示。

基于三種非線性濾波算法的傳遞對準估計精度對比如表3所示，表中Δφ為姿態(tài)失準角估計誤差，ΔV為速度估計誤差。

表3 仿真結(jié)果對比Tab.3 Comparison of simulation results

圖3 姿態(tài)失準角估計誤差Fig.3 Estimation error of misalignment angles

由仿真結(jié)果圖3、圖4和表3可以看出，與基于UKF的傳遞對準相比，采用AASGHQF和SGHQF方法時，能夠減小三向姿態(tài)失準角和速度的估計誤差，對準精度提高了1′；AASGHQF與SGHQF兩者濾波估計精度相當，根據(jù)AASGHQF和SGHQF計算量分析結(jié)果可知，由于采用了各向異性稀疏算法，基于AASGHQF的艦機傳遞對準在保證對準精度的同時，所需的積分點數(shù)目更少，計算效率更高。

圖4 速度估計誤差Fig.4 Estimation error of velocity

4 結(jié) 論

本文建立了地理系下的艦機慣導傳遞對準非線性模型，提出了一種自適應各向異性稀疏高斯積分濾波算法，能夠根據(jù)狀態(tài)參數(shù)可觀測度對各維變量分配積分點，擺脫了傳統(tǒng)方法中均勻分配積分點的缺點。仿真對比分析表明，基于AASGHQF的傳遞對準方法具有較高的計算效率，可有效地提高艦機傳遞對準精度，滿足艦載機慣導大姿態(tài)失準角下高精度初始對準的需求。

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Carrier-aircraft transfer alignment filter based on sparse Gauss-Hermite quadrature algorithm

LIANG Hao1, MU Rong-jun1, WANG Dan-dan2, CAI Ling3, QIAO Li-wei3
(1. Department of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China; 3. Tianjin Navigation Instrument Research Institute, Tianjin 300131, China)

In view of the problems of large misalignment angles in carrier-aircraft INS’s transfer alignment, a sparse Gauss-Hermite quadrature filter(SGHQF) is applied to transfer alignment. To solve the problems of low utilization efficiency of points in SGHQF, a new adaptive anisotropic sparse Gauss-Hermite quadrature filter(AASGHQF) is proposed. The state parameters’ observable degree is quantized to classify the state parameters, and a mechanism for controlling the accuracy level of each dimension is presented by structuring adaptive anisotropic importance vector, in which the value of every element is determined according to grouped results. This mechanism can distribute the quadrature points nonuniformly and reasonably. Simulation results show that the AASGHQF algorithm has comparative performance with SGHQF and has a better performance compared with Unscented Kalman filter(UKF). The alignment precision of 3 arcmin could be improved to 2 arcmin by this algorithm. In addition, the number of AASGHQ points is decreased by 30%～60% and the computation efficiency is increased.

carrier aircraft; transfer alignment; nonlinear filters; observability; anisotropic; Gauss-Hermite

聯(lián) 系 人：穆榮軍（1969—），男，副教授，博士生導師。E-mail：murjun@163.com

1005-6734(2014)05-0587-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.006

V249.32

A

2014-05-26；

2014-09-16

海軍重點預研項目（401010301）；國防基礎科研項目（C0320110001）

梁浩（1987—），男，博士研究生，研究方向為初始對準及信息融合。E-mail：liangwangyihao@163.com