具有攻擊角約束的非奇異終端滑模導引律設計

周慧波，宋申民，劉海坤

（1. 哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱師范大學 數學科學學院，哈爾濱 150009）

具有攻擊角約束的非奇異終端滑模導引律設計

周慧波1,2，宋申民1，劉海坤2

（1. 哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱師范大學 數學科學學院，哈爾濱 150009）

為了滿足導彈攔截高速大機動目標時高精度制導的需求，首先對二維平面內的彈目相對運動方程進行狀態擴張，對于影響制導性能的目標總擾動采用了擴張狀態觀測器的方法進行動態補償。然后在非奇異終端滑模面的基礎上選取了兩種滑模趨近律，設計了兩種具有攻擊角約束的非奇異終端滑模導引律。最后數值仿真結果表明，在觀測器對擴張系統狀態進行實時有效估計的前提下，針對不同的期望視線角和目標機動方式，所設計的兩種導引律在滿足期望的性能要求的同時，可實現導彈對目標的高精度快速打擊。

擴張狀態觀測器；非奇異終端滑模面；趨近律；有限時間；導引律

隨著精確制導武器的不斷發展，在制導律設計中除了對脫靶量的要求外，在許多應用場合中還需要對制導末端的角度進行約束，以便使戰斗部發揮最大效能，取得最佳毀傷效果[1]。因此有必要對帶末端攻擊角度約束要求的制導律進行深入研究，以滿足這種特殊的制導任務。

自從Kim和Grider于1973年基于線性化模型，針對再入飛行器在垂直平面內提出一種最優攻擊角度控制導引律以來[2]，一些學者針對不同的應用問題，提出了不同的攻擊角度約束導引律[3-6]。文獻[3]選取包含視線角和期望視線角兩種信息的非奇異終端滑模面，設計了有限時間收斂的導引律。文獻[4]運用滑模變結構的方法研究了導彈和目標之間三種攔截情況的攻擊角約束問題，在導引律實現中采用飽和函數代替符號函數的方法減少滑模面的抖動。文獻[5-6]采用終端滑模面研究了導彈制導和控制問題，但對于終端滑模面易出現奇異問題沒有考慮。以上文獻中將目標加速度機動作為未知的有界擾動進行估計，但這些界往往很難獲得，若控制律中的這些數據取得太大，會影響控制效率；取得太小，將不能保證滑動模態的存在。因此，如何提高目標狀態的估計精度，實現穩定、可靠而精確的目標跟蹤具有十分重要的現實意義。

擴張狀態觀測器是一種新型的非線性狀態觀測器。通過把系統中的內外擾動擴張成新的一階狀態，再利用特定的非光滑非線性誤差反饋，然后選擇適當的觀測器參數得到系統所有狀態的觀測值，其中也包括對象模型的不確定性和未知擾動的觀測值。這非常適合于目標機動形式未知、只有量測輸出和控制輸入的機動目標加速度的估計問題[7-8]。本文運用此方法，對導彈制導系統中的目標機動進行實時估計。

傳統滑模控制方法設計的線性滑模面，當系統狀態到達滑模面后將漸近收斂到系統的平衡點，而不是有限時間收斂的，有限時間收斂在工程應用中更具有現實意義[9-10]。終端滑模控制方法實現了系統狀態的有限時間收斂，獲得了比傳統滑模控制方法更好的收斂性能[11]。但終端滑模控制方法存在奇異問題，對此文獻[12]提出一種克服奇異問題的非奇異終端滑模控制方法以改善控制性能。而為了提高到達階段的動態品質和抑制傳統滑模控制中的抖振，文獻[13]利用傳統冪次趨近律與指數趨近律的線性組合提出了一種快速冪次趨近律，在消弱滑模抖振的同時能改善狀態遠離滑模面時速度過小的劣勢。

本文利用快速冪次趨近律和指數趨近律分別結合非奇異終端滑模面設計了具有攻擊角約束的導引律，并和已設計的傳統非奇異終端滑模導引律做比較。對于制導系統中未知的目標機動采用擴張狀態觀測器的方法進行動態補償。仿真結果表明所設計導引律在收斂時間、抑制滑模抖動方面具有良好的性能。

1 問題描述

考慮如圖1所示攔截平面內的彈目相對運動，導彈和目標均視為質點，并分別用 M,T表示，它們的連線稱為視線。圖 1中，r代表目標和導彈之間的相對距離，代表r對于時間的導數， Vt、 Vm分別代表目標和導彈速度，q代表視線角，代表q相對于時間的導數，分別代表目標和導彈的速度方向角。

假定導彈和目標的速度均為常值，攻擊時刻攻角很小，則由圖1可以導出如下微分方程描述：()

圖1 導彈和目標相對運動關系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

在末制導過程中，由于受到導引頭角跟蹤系統功率、接收機過載等因素的限制，導引頭存在最小作用距離 r0，當彈目相對距離小于或等于 r0時，制導回路斷開，導彈在慣性作用下飛向目標，使得制導過程滿足如下假設：

假設1[14]系統(2)中的時變參數 r(t)滿足：

2 導引律的設計

為下文導引律證明方便，給出如下兩個引理。

引理1[15]考慮非線性系統(4)：

引理2[13]考慮非線性系統(4)，如果存在連續、正定函數 V(t)滿足如下的微分不等式：

式中，α ,β ＞ 0，0 ＜ γ＜ 1均為常數，那么系統狀態到達穩定點的時間T滿足下面不等式：

進一步，選取狀態變量：

對式(6)求導，整理后可得視線角約束下制導狀態方程為：

在實際制導過程中，如果目標進行機動，機動加速度 at是個很難獲得的量，將其視為系統干擾，并在制導過程中是有界量，一般滿足約束條件：

利用文獻[16]的思想對系統(8)設計擴張狀態觀測器：

當系統(10)進入穩態時，方程右端全收斂于零。從而可以得到：

因此，由假設1可知，誤差系統(11)的穩態誤差為：

對系統(8)選取如下滑模面：

在滑模面方程(13)的基礎上，分別選取不同的趨近律并設計相應的導引律。

2.1 指數趨近律

由式(14)結合式(15)，求得：

定理 1 對于系統(8)，在導引律(17)的作用下，系統(8)在有限時間內收斂到滑動模態 s= 0，并在有限時間內使得系統狀態 x1,x2收斂到零，即視線角 q(t)收斂到 qd且視線角速率 q˙(t )收斂到零。

證明 選取Lyapunov函數：

對式(18)求導，并將式(14)和導引律(17)代入得：

對式(20)求導，可得：

2.2 快速冪次趨近律

由式(14)結合式(21)，求得：

同樣，由于因子的存在，為了避免系統的奇異現象，針對系統(8)設計導引律為：

定理 2 對于系統(8)，在導引律(23)的作用下，系統(8)在有限時間內收斂到滑動模態 s= 0，并在有限時間內使得系統狀態 x1,x2收斂到零，即視線角 q(t)收斂到 qd且視線角速率 q˙(t )收斂到零。

證明 選取Lyapunov函數：

對式(24)求導，并將式(14)和導引律(23)代入得到：

為了下文表述方便，稱此導引律 a~m為基于快速冪次趨近律的非奇異終端滑模導引律，簡便記為FNTSM。

關于非奇異終端滑模導引律的設計已有很多研究成果，文獻[3]中設計的具有視線角約束的導引律為：

注1 由于導引律(26)中有因子“εs ign(s)”，其中的增益“ε” 包含了對目標機動的有界估計，選取過大過小都導致系統性能變差，而本文所設計基于趨近律的兩種導引律，對于目標機動則使用擴張狀態觀測器的方法進行實時動態補償，避免了估計目標機動的界。

注2 導引律ENTSM和NTSM方法中都含有“sign(s)”因子，為完全消除抖振，在仿真時將導引律中的符號函數用飽和函數sat(s)替代，其形式如下：

式中，Δ為邊界層。

3 數值仿真分析

設某型導彈在某一高度上飛行，馬赫數為3.5，音速為295.07m/s，目標的飛行速度為900 m/s，目標和導彈在鉛垂面內運動。 設末制導初始時刻 t= 0，導彈在慣性系下的位置為 xm(0)= 0km ， ym(0)= 16km ，導彈初始彈道偏角為 φm(0)=50°，目標的初始位置為xt(0)=1 km， yt(0)=16.4 km，目標初始彈道偏角為φt(0)=60°。導引頭中斷尋的制導距離為 r0=100 m，之后導彈以慣性飛向目標。為了對比說明本文所設計導引律的魯棒性，給出如下三種目標機動形式。

情況1： at=9gcos(πt /4)m/s2的余弦機動；

情況3： at= 9 gm/s2的常值機動。

目標做余弦機動時(情況 1)，相應的脫靶量和命中時間由表1給出，圖2和圖3分別給出相應的視線角速率、視線角、滑模面和導彈法向過載的變化曲線。由表 1可見，三種方法的脫靶量都較小。與導引律NTSM對比可知，本文設計的ENTSM 和FNTSM兩種導引律的脫靶量更有優勢。在導彈命中時間上， 在=20°時基本一致，但當 qd=30°時，NTSM的制導時間比前兩種方法的時間長。

圖2中(a)和(c)為 qd=20°時的視線角速率和期望視線角，圖2(a)中可見三種方法都收斂到零，但NTSM提前發散且收斂時間較長，視線角速率曲線有震蕩，這也導致圖2(c)和圖3(c)中相應的期望視線角和滑模面曲線的誤差較大，而另兩種方法的期望視線角和滑模面曲線的誤差很小，特別是FNTSM方法比ENTSM方法更有優勢。圖2中(b)和(d)為 qd=30°時的視線角速率和期望視線角的變化曲線。在期望視線角增大的情況下，NTSM的視線角速率和視線角曲線振蕩更劇烈，這也使得圖3(b)和(d)中的過載長時間飽和，滑模面曲線也振蕩到制導結束，導致制導性能變差。而由圖2(b)和(d)可見，ENTSM和FNTSM方法仍然能使視線角速率曲線快速收斂到零，視線角曲線收斂到期望值。圖3(b)和(d)中相應的過載曲線飽和時間很短并快速變小，滑模面曲線光滑無抖振且快速收斂到零。

表1 余弦機動時的脫靶量和命中時間Tab.1 Miss-distances and interception times for consine maneuvering

圖2 視線角速率和視線角Fig.2 Line-of-sight angular rate and line-of-sight angle

圖3 導彈法向過載和滑模面Fig.3 Missile normal acceleration and sliding mode surface

進一步給出目標做階躍機動時(情況 2)，三種方法的脫靶量和命中時間由表2給出，圖4和圖5分別給出相應的視線角速率、視線角、滑模面和導彈法向過載的變化曲線。

由表 2可見，當 qd=20°時脫靶量都很小，導彈命中時間也基本一致。但當 qd=30°時，ENTSM和NTSM導引律的脫靶量相近，而FNTSM的脫靶量和命中時間變化都不大。同樣由圖4和圖5可見，方法NTSM 在 qd=30°時視線角速率和滑模面曲線振蕩加劇，使得期望角誤差變大，過載曲線飽和嚴重。而ENTSM和FNTSM方法在兩種期望視線角情況下，都能使視線角速率和滑模面曲線收斂到零，過載曲線也快速的響應目標的階躍機動，飽和時間短且在3 s后迅速穩定在一個定值。但FNTSM方法始終比ENTSM方法在制導精度上略勝一籌，這也體現了該方法選取的快速冪次趨近律的優越性。同時ENTSM和NTSM方法的制導精度與邊界層參數的選取有關，過大過小都導致其性能變差。因此在收斂速度、抗外部擾動和內部參數攝動等方面，FNTSM方法更穩定強健。

表2 階躍機動時脫靶量和命中時間的對比Tab.2 Miss-distances and interception times

圖4 視線角速率和視線角Fig.4 Line-of-sight angular rate and line-of-sight angle

圖5 導彈法向過載和滑模面Fig.5 Missile normal acceleration and sliding mode surface

對于目標做常值機動時的情況與前兩種情況類似，限于篇幅不做進一步的討論。文中所使用的擴張狀態觀測器只通過圖 6給出目標做余弦機動時，ENTSM和FNTSM方法在兩種期望視線角情況下的誤差曲線圖，可見在觀測器的作用下，所用時間不到3s時，就可以快速、準確的跟蹤到目標總擾動的值，相應誤差曲線趨于零，體現了所選用觀測器的實時有效性。其余情況類似不贅述。

圖6 余弦機動時的觀測誤差Fig.6 Observation error for consine maneuvering

4 結 論

運用指數趨近律和快速冪次趨近律，確保了系統到達滑模面的速度，結合非奇異終端滑模確保系統狀態在有限時間內收斂到零，同時利用擴張狀態觀測器對系統狀態和未知的目標擾動進行快速估計，設計了具有攻擊角約束的導引律。針對不同的期望視線角和目標機動方式，與以往文獻中已設計的傳統非奇異終端滑模導引律比較，體現了本文所設計的兩種導引律對于提高到達滑模面的速度和抑制滑模面抖動具有良好的性能和普適性。而運用擴張狀態觀測器估計目標加速度的方法具有算法簡單、收斂速度快、估計精度高的優點，且無須建立機動目標模型，具有較好的工程應用前景。

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Nonsingular terminal sliding mode guidance law with impact angle constraint

ZHOU Hui-bo1,2, SONG Shen-min1, LIU Hai-kun2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. School of Mathematical Sciences, Harbin Normal University, Harbin 150009, China)

In order to realize high-precision guidance when a missile intercepts high-speed maneuvering targets, the states in missile-target relative motion equations were extended in two-dimension plane, and an extended state observer was selected to implement motion compensation for the total disturbance that affects guidance performance. After that, two reaching laws were proposed based on a nonsingular terminal sliding mode surface, and two nonsingular terminal sliding-mode guidance laws with impact angle constraints were proposed. The numerical simulation demonstrate that, by using the observer to make real-time effective estimation for the extension of system state, the two designed guidance laws could meet the expected performance requirements, and the missiles could attack the targets quickly and precisely for different desired line-of sight angle and the manner of the target maneuver.

extended state observer; nonsingular terminal sliding mode surface; reaching law; finite time; guidance law

1005-6734(2014)05-0606-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.010

V448.133

A

2014-05-28；

2014-09-21

國家自然科學基金創新群體項目（61021002）；黑龍江省自然科學基金（A201111）

周慧波（1977—），女，博士研究生，研究方向為飛行器制導與控制。E-mail：zhouhb0306@sina.com

聯 系 人：宋申民（1968—），男，教授，博士生導師，研究方向為非線性系統的穩定性分析、魯棒控制、導彈制導與飛行器控制。E-mail：songshenmin@hit.edu.cn