正交雙加速度計兩種安裝位置在重力場中的標定方法

董春梅，陳希軍，劉慶博，任順清

（哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術中心，哈爾濱 150080）

正交雙加速度計兩種安裝位置在重力場中的標定方法

董春梅，陳希軍，劉慶博，任順清

（哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術中心，哈爾濱 150080）

為了提高加速度計在 1g重力場中的標定精度，分度頭的角位置誤差應非常小或將它有效地分離。提出了一種將正交雙加速度計在分度頭上，進行兩種安裝位置組合測試的方法。推導了加速度計誤差模型系數的標定誤差與分度頭角位置誤差成分的關系，設計了兩種安裝位置組合測試方法，從加速度計的輸出中可分離分度頭的角位置誤差，提高加速度計誤差模型系數的辨識精度，對試驗數據進行誤差分析后驗證了該方法的正確性。

加速度計；誤差模型系數；分度頭；誤差分離技術

加速度計是測量運動載體線加速度的重要儀表，而慣導級加速度計精度要求很高[1]。精確標定加速度計的誤差模型系數，對提高加速度計的使用精度有著非常重要的意義。

由于地面能夠精確測定重力加速度的大小和方向，1g翻滾試驗是測試加速度計的主要方法之一，也是離心機測試和線振動臺測試的基礎。利用分度頭改變重力加速度在加速度計輸入軸、輸出軸和擺軸上的分量，可以通過輸入和輸出之間的關系來標定加速度計各項性能參數[2-5]。文獻[6]將試驗設計優化，消除了轉臺誤差對加速度計的影響。文獻[7-8]給出了多位置翻滾試驗方案，成功地辨識出加速度計數學模型中的非線性參數，且完善了多位置標定精度。文獻[9]制定編排方案，運用 Kalman濾波初始對準的加速度計十位置標定方法，分離并逐步估計加速度計零偏和安裝誤差系數。文獻[10]對加速計進行1g重力場翻滾試驗，應用諧波分析法得出了加速度計的靜態數學模型的各項系數、零偏、標度因數等性能指標。文獻[11]在加速度計1g重力場中，提出了正交雙表的標定方法, 標定出不受角位置誤差影響的標度因數，但沒有解決其他誤差模型系數的標定結果仍受角位置誤差影響的問題，并且角位置誤差對標定誤差模型系數產生的影響也沒有給出詳細的分析。

針對上述問題，將提出正交雙表的兩種安裝位置組合測試法，可從加速度計的輸出中分離分度頭的角位置誤差，從而達到消除角位置誤差對加速度計誤差模型系數標定結果的影響。

1 測試系統

采用兩種安裝位置組合進行正交雙加速度計的試驗。將加速度計的夾具體安裝在分度頭回轉軸端，使得加速度計A和B的輸入軸約成90°，一般稱為正交雙表。首先將正交雙表處于第1安裝位置上，測量24個角位置αi+1=2π·i/24(i=0,1,··,23)的雙加速度計輸出后，再將整個夾具體旋轉90°，使得正交雙表處于第2安裝位置，再次測量24個角位置的雙加速度計輸出，如圖1和圖2所示。

圖1 正交雙加速度計在第一安裝位置上Fig.1 Dual orthogonal accelerometers in position 1

圖2 正交雙加速度計在第二安裝位置上Fig.2 Dual orthogonal accelerometers in position 2

加速度計A和B的擺軸PA始終處于水平狀態且與分度頭的水平軸平行。第1安裝位置如圖1所示，表A的輸入軸IA處于水平狀態，輸出軸OA指天；表B的輸入軸IA指地，根據右手定則確定輸出軸OA的方向。第2安裝位置如圖2所示，表A的輸入軸IA指地，根據右手定則確定輸出軸OA的方向。表B的輸入軸IA水平，輸出軸OA指地。

由于擺軸PA始終處于水平狀態且與分度頭的水平軸平行，故 aP= 0。分度頭處于標稱角位置α時，第1安裝位置上表A的輸入比力為：

式中，Δα為角位置誤差。類似地，可得到分度頭處于角位置α時，第1安裝位置上表B的輸入比力為：

第2安裝位置時，分度頭處于角位置α時，表A、B比力輸入分別為：

2 加速度計誤差的標定模型

式中：U為加速度計輸出，V；KF為零位偏置，V；KI為標度因數，V/g；KII為二階非線性誤差系數，V/g2；KIO為交叉耦合誤差系數，V/g2；ε為隨機誤差，V。這里KF、KO、KIO、KII相對于KI為微小量。

將正交雙表在兩個安裝位置的輸入量(1)～(4)代入加速度計的誤差模型(5)中，可得到兩表A、B在相應安裝位置上的輸出為：

3 角位置誤差對標定精度的影響

以第1安裝位置上的加速度計A為例，將式(6)除以表A的標度因數kAI后，可得：

分度頭角位置誤差 Δα 是以 2π為周期的周期函數，可展開成Fourier級數：

將角位置誤差 Δα 的展開式(11)代入式(10)后：

同理對于相應安裝位置的表A、B有：

從公式(12)～(15)中可以看出，加速度計誤差模型中待辨識的常數項與角位置誤差的一次諧波系數Δα1c、Δα1s有關；而模型中待辨識的一次諧波成分(即加速度計輸出中的cosα、sinα的系數)與角位置誤差的常數項Δα0和角位置誤差的二次諧波項Δα2c、Δα2s有關；模型中待辨識的二次諧波成分與角位置誤差的一次諧波項Δα1c、Δα1s和角位置誤差的三次諧波項Δα3c、Δα3s有關。即角位置誤差的0～3次諧波成分均對加速度計誤差模型系數的標定結果產生影響。

4 正交雙表的標度因數算法

消除角位置誤差對加速度計誤差模型系數標定的影響正是需要解決的問題。采用文獻[11]的方法能夠準確標定出不受角位置誤差影響的標度因數KAI和KBI。

以第1安裝位置為例，將加速度計A、B的誤差模型(12)(14)進行代數組合有

從式(16)中可以看出，角位置誤差被消去，式(16)寫成矩陣形式后：

式中，

由最小二乘法得：

5 正交雙表兩種安裝位置的角誤差分離技術

針對這一問題，采用正交雙表兩種安裝位置組合測試法，可使得余下的誤差模型系數也不受角位置誤差的影響并將角位置誤差有效地分離出來。下面進行詳細闡述。

將兩種安裝位置上表A、B的誤差模型(6)～(9)，分別用式(19)求得的標度因數KAI、KBI補償后有：

對角位置誤差 Δα 按式(11)展成Fourier級數后，將式(20)～(23)進行代數組合有：

同理有類似的組合，為節省篇幅，此處不再進行詳細的展開。

為將角位置誤差分離，先利用式(24)～(27)求出角位置誤差的1～3次諧波成份。式(24)～(27)將兩種安裝位置上正交雙加速度計組合后的誤差模型，寫成矩陣形式有：

采用最小二乘法，可以求得加速度計誤差模型系數與角位置誤差的1～3次諧波成份，即：

角位置誤差的四次以上諧波可分別利用兩個安裝位置上雙加速度計誤差模型的代數組合式(25)和式(27)，求得：

取兩種安裝位置的平均值：

經前面的分析，將角位置誤差常數項Δα0、式(29)中角位置誤差的 1～3次諧波成份Δα1c、Δα1s、Δα2c、Δα2s、Δα3c、Δα3s與式(32)中角位置誤差的四次以上諧波Δαnsc(α)代入角位置誤差Δα的 Fourier級數展開式(11)，即可將試驗中隨機引入的角位置誤差Δα分離。

利用分離出的角位置誤差Δα對加速度計誤差模型式(6)～(9)進行補償后，加速度計誤差模型系數的標定結果將不再受其影響。因此正交雙表采用兩種位置安裝組合測試法，能夠將測試中引入的分度頭角位置誤差分離出來，并提高加速度計誤差模型系數的標定精度。

6 加速度計誤差模型系數的辨識與誤差分析

6.1 辨識方法

第3節中分析了角位置誤差對加速度計誤差模型系數標定精度的影響。為方便對比，下面分別在角位置誤差分離前后的兩個條件下，對加速度計誤差模型系數的辨識方法進行闡述。

在角位置誤差分離前，當角誤差在10-5數量級時，由于加速度計的標定精度也在10-5數量級，一般的文獻沒有考慮角誤差對誤差模型系數標定結果的影響，通常采用下面的辨識方法。

以第1安裝位置的表A為例，將加速度計誤差模型(6)寫成矩陣形式為：

采用最小二乘法，可得表A的誤差模型系數矩陣：

類似地，可得相應安裝位置上加速度計 A和 B的誤差模型系數與其不確定度。

當角位置誤差被分離后，采用分離出的角位置誤差 Δα 和式(19)的標度因數KAI和KBI對加速度計誤差模型(6)～(9)進行補償后，辨識出的誤差模型系數的標定結果將不再受角位置誤差 Δα 的影響。

以第1安裝位置的表A為例，將誤差模型(6)整理成如下形式：

式(37)寫成矩陣形式有：

采用最小二乘法，可得到不受角位置誤差影響的加速度計A的誤差模型系數矩陣：

6.2 誤差分析與比較

在加速度計的測試中，為對比角位置誤差對加速度計誤差模型系數標定結果的影響。測試中對分度頭的每個標稱角位置αi+1=2π·i/24(i=0, 1, …, 23)，人為引入隨機角位置誤差：0″、2″、-14″、1″、 -5″、-16″、-12″、-6″、2″、4″、-11″、6″、7″、-4″、2″、-12″、-8″、1″、-2″、1″、-5″、-13″、0″、-16″。

對于兩種安裝位置上正交雙加速度計的測試，避免時間過長產生的隨機誤差影響誤差模型系數，測試盡量在短時間內完成。表1中L代表人為引入隨機角位置誤差后得到的加速度計輸出，S代表人為引入角位置誤差前（其中S列只含有分度頭的自身角位置誤差，測試時采用的分度頭的精度為 1″）得到的加速度計輸出。

按照6.1節的辨識方法進行數據處理后，得到的兩個安裝位置上加速度計A、B的標準差與誤差模型系數中標度因數的不確定度，如表 2示。 注：表 2中LY代表人為引入角位置誤差后得到的分析結果，LN代表角位置誤差被分離后得到的分析結果。

表1 兩種安裝位置的加速度計組合測試數據(單位 V)Tab.1 Measured data of two-position combinational test (unit: V)

表2 角位置誤差分離前后對誤差模型系數辨識結果比較Tab.2 Comparison of calibration results about the separation of angular position

實驗結果表明，LY行（人為引入角位置誤差后）的標準差在10-5的數量級上相對于S行（人為引入角位置誤差前）的標準差10-6高一個數量級，而LS行（角位置誤差被分離后）與S行的標準差同在10-6數量級上。

通過對上述數據的對比發現，采用兩種安裝位置組合測試法將人為引入的角位置誤差分離后，加速度計的標定精度達到了角位置誤差引入前的標定精度 10-6的數量級；而且將角位置誤差分離后得到的標度因數不確定度小于10-6的數量級。

6.3 角位置誤差的驗證

采用正交雙表的兩種安裝位置組合測試法可有效地將角位置誤差分離出來，便于觀察測試中引入的隨機角位置誤差。下面利用表1中L行數據，將實際測試中人為引入的隨機角位置誤差與理論上采用正交雙表兩種安裝位置組合測試法分離出的角位置誤差進行對比。

圖3 實際引入的角位置誤差與分離得到的角位置誤差對比圖Fig.3 Comparison of deliberately introduced angular position errors and the ones separated from outputs

圖4 角位置誤差設定值與辨識結果的差值曲線Fig.4 Curves of differences between set up values for angular position errors and their identified values

圖 3表明，測試中人為引入的角位置誤差（設定值）與分離得到的角位置誤差（辨識結果）非常接近。為方便觀察，分別利用人為引入角位置誤差前后的數據（表1的L、S行數據），將角位置誤差設定值與辨識結果作差，差值曲線如圖4所示。

引入角位置誤差前的設定值為0，但辨識的結果不為0，設定值與辨識結果的差值曲線峰值為1.4″，如圖4中的虛線所示；人為引入角位置誤差后，它的設定值是人為引入的24個角位置誤差，與辨識出的角位置誤差結果的差值曲線峰值為2″，如圖4中的實線所示。測試中采用精度為±1″的分度頭，兩條曲線的峰值均在±1″附近，并且峰值在曲線中有相同的趨勢。

考慮到隨時間、溫度等漂移對測試結果也會產生較小的影響，上述分析說明測試中引入的角位置誤差值與辨識后的結果非常接近。實驗結果驗證了所設計的正交雙表兩種安裝位置組合測試法可有效分離出角位置誤差的正確性。

7 結 論

本文主要分析了分度頭的角位置誤差對加速度計誤差模型系數標定精度的影響，推導了角位置誤差與加速度計誤差模型系數之間的關系。設計了兩種安裝位置組合測試法，使角位置誤差從加速度計的輸出中分離出來，對引入角位置誤差的實際值與分離得到的理論值進行對比，驗證了該方法的正確性。同時，將分離出的角位置誤差對加速度計的誤差模型進行補償后，提高了加速度計的標定精度。

該方法可以避免分度頭的角位置誤差對高精度加速度計的標定產生影響，在滿足一定條件時，可以用低精度的分度頭來標定高精度的加速度計，具有一定的工程應用價值。

[1] Babichenko A V, Shkred V K. Main errors of inertial navigation systems[J]. Engineering Physics, 2011, 11: 34-53.

[2] Zhang H L, Wu Y X. Improved multiposition calibration for inertial measurement units[J]. Measurement Science and Technology, 2010, 21(1): 1- 11.

[3] Oota A, Usuda T, Nozato H. Correction and evaluation of the effect due to parasitic motion on primary accelerometer calibration[J]. Measurement, 2010, 43: 719-725.

[4] Beravs T, Podobnik J, Munih M. Three-axial accelerometer calibration using Kalman filter covariance matrix for online estimation of optimal sensor orientation[J]. Transactions on Instrumentation and Measurement, 2012, 61(9): 2501-2511.

[5] Sipos M, Paces P, Rohac J, Novacek P. Analyses of triaxial accelerometer calibration algorithms [J]. IEEE Sensors Journal, 2012, 12(5): 1157-1165.

[6] 張紅良，武元新，練軍想，吳文啟. 基于轉臺誤差分析的高精度慣測組合標定編排改進[J]. 中國慣性技術學報，2010，18(1)：129-134.

ZHANG Hong-liang, WU Yuan-xin, LIAN Jun-xiang, WU Wen-qi. Improved calibration scheme for high precision IMUs based on turntable error analysis[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2010, 18(1): 129-134.

[7] Won S P, Golnaraghi F. A triaxial accelerometer calibration method using a mathematical model[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2010, 59(8): 2144-2151.

[8] Cai Qingzhong, Song Ningfang, Yang Gongliu, Liu Yiliang. Accelerometer calibration with nonlinear scale factor based on multi-position observation[J]. Measurement Science and Technolocy, 2013, 24: 1-9.

[9] 孫楓，曹通. 基于Kalman濾波的加速度計十位置標定方法[J]. 系統工程與電子技術，2011，33(10)：2272-2276.

SUN Feng, CAO Tong. Ten-position calibration for accelerometer based on Kalman filter[J]. Systems Engineering and Electronics, 2011, 33(10): 2272-2276.

[10] 王大千，張英敏. 加速度計1g重力場靜態翻滾測試與誤差分析[J]. 自動控制與檢測，2009(1)：34-36.

WANG Da-qian, ZHANG Ying-min. Accelerometer’s static rolling test in 1g-gravitational field and error analysis[J]. Automatic Control and Test, 2009(1): 34-36.

[11] 尹小恰. 精密離心機工作半徑的測試方法與誤差分析[D]. 哈爾濱工業大學，2013：33-45.

YIN Xiao-qia. The measurement method and error analysis for the wording radius of precision centrifuge[D]. Harbin Institute of Technology, 2013: 33-45.

[12] 李巍，任順清，趙洪波. 慣性元件的失準角分離技術研究[J]. 哈爾濱工業大學學報，2012，44(1)：43-46.

LI Wei, REN Shun-qing, ZHAO Hong-bo. Error separating technology for misalignment angle measurement of inertial component[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2012, 44(1): 43-46.

Calibration method for dual orthogonal accelerometers at two combinational installing positions in 1g field

DONG Chun-mei, CHEN Xi-jun, LIU Qing-bo, REN Shun-qing
(Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

In order to improve the calibration accuracy of the accelerometers in 1g gravity field, the angular position errors of indexing table must be very small or be separated from the outputs of the accelerometers. Aiming at two orthogonal-installed accelerometers, a two-position combinational measurement method was designed to separate the indexing table’s angular errors from the outputs of the accelerometers. The relationships between the calibration errors of the error model’s coefficients and the angular position errors of the indexing table were deduced. A two-position combinational measurement method was put forward to separate the angular position errors from the outputs of two accelerometers, and the identification accuracy of the accelerometers’ error model coefficients was improved. The effectiveness and correctness of this method is verified by error analysis based on the practical measurement data.

accelerometer; error model coefficient; indexing table; error separating technology.

1005-6734(2014)05-0693-08

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.026

U666.1

A

2014-05-20；

2014-09-26

十二·五預研項目（51309050202）

董春梅（1986—），女，博士研究生，從事慣性組合測試方法研究。E-mail：dcmjob@126.com

聯 系 人：任順清（1967—），男，教授，博士生導師。E-mail：renshunqing@hit.edu.cn