Al體彈性模量與壓強關系的嵌入原子模型研究

朱湘萍 廖樹幟

(1.湖南科技學院 電子工程系，湖南 永州 425199；2.湖南師范大學 物理系，湖南 長沙 410081)

1 引 言

隨著計算材料學的發展以及高性能計算機的出現，采用理論計算方法開發和設計新型材料已成為材料研發的重要手段之一[1]。由于金屬鋁具有輕量化、再生利用等優點，輕質鋁材料及其合金已成為現代材料工程領域，特別是汽車工業、航空航天工業中不可缺少的結構材料[2-4]。體彈性模量是金屬材料性能的一個重要指標，影響金屬的體彈性模量的因素比較多，其中壓強在一定程度上制約了鋁及鋁合金在相關領域的應用，所以，深入研究壓強對金屬鋁體彈性模量的影響，在材料的應用等方面具有重要的實際意義。

上世紀80年代中期，Daw 和Baskes提出了一種嵌入原子方法(Embedded Atom Method，簡稱EAM)模型，主要應用于計算固體中原子總能量[5]。但這種模型計算比較復雜，難推廣應用，于是Johnson 采用最近鄰嵌入原子方法，提出分析型嵌入原子方法(AEAM)理論[6-7]。為了更好描述金屬以及其合金的性能，張邦維等提出了改進分析型嵌入原子方法(MAEAM)理論[8-10]。文獻[11]利用嵌入原子模型理論，考慮了壓強效應，推導出體心立方體鐵的體彈性模量與壓強的關系，突出了MAEAM理論在一定條件下的合理性和優越性。本文用改進分析型嵌入原子方法，結合非簡諧理論，進行一些近似處理，推導出面心立方體金屬鋁的體彈性模量與壓強的關系，為鋁和鋁合金的應用提供一個參考依據。

2 理論模型

2.1 基于MAEAM模型金屬鋁總勢能函數的表達式

基于MAEAM模型，采用經典的處理方法，假設面心立方體金屬鋁由N個原子組成，那么每個原子的平均嵌入原子勢可表示如下：

至于參數a、b、c、d和e的值采用張邦維提出的方法確定[9]?？紤]平均嵌入原子勢φ （r）隨兩原子的間距r增大而按指數規律迅速衰減，對于面心立方結構的金屬Al的總勢能，只要慮近鄰的前四項，嵌入原子勢就比較精確了，如果用R表示面心立方體晶體中兩原子的最短距離，則式(1)可寫為：

假設金屬鋁是由N個原子組成的，基于MAEAM模型，則金屬鋁的總嵌入原子勢可以表示如下：

2.2 簡諧系數和非簡諧系數

設面心立方結構金屬Al的體系是由N個原子組成，當晶體平衡后，設R0為兩原子間的間距，將原子的平均嵌入原子勢φ （R）在平衡點R0附近展開，即有

對于勢函數的相關系數：簡諧系數為0ε、第一非簡諧系數為1ε、第二非簡諧系數2ε，并可以通過以下式子求出相應的值：

3 結果和討論

3.1 簡諧系數和非簡諧系數的計算

金屬Al的MAEAM勢參數值[9]：a=3.348，b=2.6733，c=0.4025，d=1.7087103，e=3.348數據，代入（3），再把結果分別代入（6）、（7）和（8）式，得到：

3.2 金屬Al的體彈性模量隨壓強的變化

面心立方(FCC)結構金屬Al，晶體體積為：

于是得到壓強P和體彈性模量B分別為：

對于FCC結構金屬：

這就是面心立方結構金屬的體彈性模量與壓強滿足的微分關系式。一般情況洗，金屬的體彈性模量的數量級約為1011N/m2，就算壓強的大小為一萬個大氣壓，其值約為109N/m2，遠遠比金屬的體彈性模量的值小，所以（13）式括號中第二項可以忽略，當采用零級近似處理后，把結果代入（13）式的右端，可得（13）式一級近似解為：

其中B0為P=0時的體彈性模量,將（3）式代入（4）式，將結果代入（14）式得到求得面心立方結構金屬Al壓強為零時的體彈性模量B0=0.802Mbar，于是得到FCC結構金屬鋁的體彈性模量隨壓強變化的規律：

為了形象描述金屬鋁的體彈性模量隨壓強的關系，采用了Origin軟件，作出了圖1，其中用五角星表示曲線是本文基于MAEAM模型下推導的金屬鋁的體彈性模量與壓強的關系曲線，方便比較，在同一坐標上也作出了其它勢模型下理論值和實驗值。

圖1.Al體彈性模量B隨壓強P的變化

3.3 分析與討論

（1）在一定條件下，壓強會影響金屬鋁和鋁合金的體彈性模量。當壓強比較小時，壓強增大，金屬鋁的體彈性模量幾乎不變，當壓強比較大時，由于受到第一非簡諧系數的影響，壓強增大，金屬鋁的彈性模量也增大。解釋如下：低壓時，壓強對晶體的體積變化小，幾乎接近0，所以低壓情況時，壓強對金屬鋁的體彈性模量影響比較小，幾乎沒變化；由于金屬的彈性模量的大小主要決定于金屬的自排斥力大小，當壓強比較大時，自排力比較大，所以體彈性模量就比較大[19]。

（2）探討鋁金屬的體彈性模量影響因素時，需要考慮非簡諧效應的影響，且所構建的MAEAM模型在一定條件下是比較合理且可行的。主要體現于：首先金屬鋁的在零溫度零壓強的條件，跟實驗測量數據[13]和其他模型下推導的結果[14-18]幾乎吻合；其次當壓強 P＜100Gpa時與理論結果吻合很好文獻[12]；再次，采用經典的方法，通過一級近似處理時，只有第一非簡諧系數影響金屬鋁的體彈性模量隨壓強的變化。

4 結 論

(1)在推導金屬鋁的體彈性模量與壓強變化規律時，所構建的MAEAM模型是合理可行的，特別是結合非簡諧理論時，所推導的結果相對而言，更能準確地反映鋁的體彈性模量受壓強的影響程度。

(2)在一定條件下，壓強對金屬及其合金的體彈性模量具有一定的影響，主要因素是第一非簡諧系數，至于簡諧系數和第二非簡諧系數，它們對金屬及其合金的體彈性模量隨壓強的變化規律無影響，考慮非簡諧振動后的金屬及其合金的體彈性模量大于不考慮時的相應值[11]。

(3)構建任何一種勢模型，都具有一定的局限性。比如要具體計算某材料的體彈性模量，根據實際條件和實際需要，選擇合適的勢模型。

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