彈性支撐階梯柱側(cè)向位移與穩(wěn)定性的精確分析

都亮，陸念力，蘭朋

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

在工程起重機、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、以及房屋建筑中，為合理地利用材料和減輕重量，梁柱的截面經(jīng)常沿軸向發(fā)生變化，呈階梯柱或截面連續(xù)變化的形式。對于該類結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題，許多學(xué)者進行了深入研究［1-4］。中國起重機設(shè)計規(guī)范 GB/T3811-2008中，起重機伸縮臂的失穩(wěn)計算模型為變截面梯形柱［5］，其失穩(wěn)臨界力采用精確有限元法計算得到［6］。但上述研究均將假設(shè)邊界約束條件為剛性或鉸接，實際工程中箱形伸縮臂的邊界約束條件并非完全鉸接或固支，往往具有一定的彈性［7-9］。Timoshenko和Iyengar等對具有彈性約束的等截面梁屈曲問題進行了研究［1，10］。陸念力等［11］就兩端彈性約束簡支等截面壓彎梁和彈性嵌固等截面懸臂壓彎梁進行了分析;Vaziri等［12］研究了非均布軸向載荷作用下變截面梁柱的屈曲問題。LIQ S等［13-14］利用一系列等截面構(gòu)件逼近的方法，提出了一種用于具有端部彈性支撐和分布力共同作用的變截面梁柱的穩(wěn)定性分析方法并給出了具有特定形狀的無側(cè)向約束變截面懸臂梁穩(wěn)定性分析的精確解析解。

本文針對端部彈性約束的變截面階梯柱模型，通過微分方程法，基于二階效應(yīng)在變形后位形上建立平衡方程，得到頂端撓度精確解析表達式和失穩(wěn)特征方程的精確遞推公式，從而獲取屈曲臨界力。

1 計及二階效應(yīng)的彈性支撐變截面階梯柱失穩(wěn)特征方程

圖1(a)所示的油缸變幅箱形伸縮臂平面內(nèi)受力模型，假設(shè)變幅油缸剛度無窮大，則伸縮臂l0段連同變幅油缸可以等效為如圖1(b)所示的轉(zhuǎn)動剛度K0，則1(a)所示的箱形伸縮臂平面內(nèi)剛度與穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為彈性約束下箱形伸縮臂側(cè)向剛度與縱向穩(wěn)定性問題。首先以圖1(b)所示的彈性約束情況下變截面階梯柱模型為研究對象進行剛度與穩(wěn)定性分析。設(shè)各節(jié)臂截面慣性矩為Ii(i=1，2，3…n)，階梯柱承受頂端彎矩M，側(cè)向力Q和軸向力P，則其基于縱橫彎曲理論建立的各節(jié)臂撓曲微分方程列為

上式可統(tǒng)一表示為

式中:k=

i。方程(2)的通解為

由x=xi時各段連接處變形諧調(diào)條件:yi=yi+1，＇=yi+1＇，得到

將式(5)用矩陣形式表達為

圖1 起重機伸縮臂及等效彈性支撐階梯柱模型Fig.1 M odel of crane telescopic boom and stepped colum n with elastically restrained

式中:

因此可得到積分常數(shù)An和Bn的遞推表達式:

又由x=xn=l時伸縮臂頂部條件yn=δ得

將式(4)中 A1、B1代入式(9)得

求解式(10)可得階梯柱自由端部撓度δ:

式中:

由撓度表達式(11)可知，當(dāng)式中分母趨于0時，對應(yīng)的撓度表達式皆表現(xiàn)為0/0不定式或者無窮大，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，從而有失穩(wěn)特征方程:

若K0已知，式(12)是以ki為未知量的非線性超越方程，解此方程可得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界力:

2 平面內(nèi)失穩(wěn)特征方程的顯式表達

前述得出的失穩(wěn)特征方程涉及到根部轉(zhuǎn)動剛度K0，該轉(zhuǎn)動剛度可由圖1(a)模型中油缸支撐段求得。文獻［1］給出長度為l0的兩端鉸接壓彎柱在一端受力矩為M時的柱端轉(zhuǎn)角:

當(dāng)令M=1，得到柱端柔度，其倒數(shù)即為對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度:

將此彈性支撐階梯柱根部等效剛度K0的表達式代入失穩(wěn)特征方程，可得到伸縮臂平面內(nèi)失穩(wěn)特征方程的完整精確表達。顯然彈性約束伸縮臂的臨界力取決于臂節(jié)幾何參數(shù)及臂節(jié)數(shù)n，式(15)～(19)給出了工程中常見的5節(jié)以內(nèi)起重機伸縮臂失穩(wěn)特征方程的顯式表達。

當(dāng)n=1時，失穩(wěn)特征方程式(12)可表示為

當(dāng)n=2時，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

當(dāng)n=3時，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

當(dāng)n=4時，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

當(dāng)n=5時，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

以上各式中采用符號tii=tan(kili)，li表示各節(jié)伸縮臂的長度，li=xi-xi-1，l1=x1，l=xn。

3 根部約束四級階梯柱分析算例

應(yīng)用前文得到的方法，對圖2所示根部彈性約束四節(jié)臂變截面階梯柱進行撓度與臨界力計算。用有限元軟件ANSYS分析對比，將每節(jié)臂分為10個單元計算，比較驗證方法的精度與準(zhǔn)確性。

如圖2所示具有彈性約束的變截面階梯柱，彈性模量E=206 GPa，階梯柱長L=10 m，a1=0.34，a2=0.56，a3=0.78，I4=3.58 ×10-6m4，I1=2.2I2，I2=1.9I3，I3=1.3I4;載荷 Q=500 N，M=1 kN·m，P=5 kN 。

圖2 四節(jié)臂彈性支撐變截面階梯柱模型Fig.2 Model of four sectioned stepped column

以下將從2個方面對本文方法進行驗證:

1)彈性支撐變截面階梯柱之變形驗證。引入無量綱彈性嵌固系數(shù)ξ=K0l/(EI1)，在不同彈性嵌固系數(shù)下，計算結(jié)果列于表1。由表中可見，所得計算結(jié)果與ANSYS幾無差別。通過與ANSYS線性解即不考慮二階效應(yīng)時結(jié)果的比較，表明二階效應(yīng)對側(cè)向剛度的影響。

2)彈性支撐變截面階梯柱之屈曲驗證。表2給出了不同彈性支撐情況下變截面階梯柱臨界力的計算長度系數(shù)μ值。計算結(jié)果與ANSYS分析結(jié)果完全一致。

表1 具有彈性約束的變截面階梯柱自由端撓度Table 1 The deflection of variable cross-section stepped column with elastically restrained

表2 具有彈性約束的變截面階梯柱的計算長度系數(shù)μ值Tab le 2 The effective length factorμ of variable cross-section stepped column with elastically restrained

4 結(jié)束語

本文對箱形伸縮臂平面內(nèi)的受力模型進行了合理等效，得到了彈性約束條件下變截面階梯柱失穩(wěn)計算模型，彈性約束下變截面階梯柱屈曲特征方程的精確遞推公式。通過本文方法與ANSYS對實際算例進行分析比較發(fā)現(xiàn)，兩者得到的穩(wěn)定性分析結(jié)果完全一致，且在進行非線性撓度分析時誤差隨著彈性約束的剛度增加而逐漸減小，對于本文給出的實際模型其最大誤差小于0.002%;ANSYS線性分析結(jié)果與本文非線性結(jié)果最大誤差達19.8%，遠超過工程應(yīng)用5%的誤差允許范圍。算例表明本文針對彈性約束的變截面階梯柱剛度與穩(wěn)定性問題的理論推導(dǎo)是正確和必需的。

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