基于倒譜和偏相干分析的噪聲源分離方法

楊德森，韓闖，時勝國，于樹華，時潔

(哈爾濱工程大學水聲技術重點實驗室，黑龍江哈爾濱150001)

在以往的研究中，利用偏相干方法來解決噪聲源的分離、識別等問題已經得到了許多專家學者的認同并且獲得了眾多優秀的研究成果［1-7］。但傳統的偏相干理論需滿足某些限定條件，限定條件之一是輸入間不存在強相干信號。當測量結果中不同測點間存在強相干信號時，視為由其中某一聲源引起而傳播到其他測點所致。而在實際的工程應用中，往往要分析某一設備附近各個位置的振動和噪聲，此時各測點間必然存在強相干信號，或者由同一主機帶動的不同設備之間，也會存在強相干信號。限定條件之二是假設輸入間雖然存在影響，但均為弱耦合。即耦合產生的信號比原信號弱。但機械系統中經常出現強耦合情況，因此必須得到輸入間的因果關系以排除耦合的干擾。另外，如果可以確定輸入間的因果關系，就可以直接確定輸入排序，這樣避免了循環排序計算，從而大大減少了計算量?，F有的輸入間因果關系分析方法［8-12］均存在一定缺陷，如對噪聲敏感、不能分析帶限信號或不能分頻段分析。

針對以上問題，本文將倒譜法引入到噪聲源識別的分析中，綜合倒頻譜分析和希爾伯特變換分析，提出一種判斷輸入之間因果關系的新方法。該方法首先對各個輸入間的互譜做倒譜分析，準確直觀地判斷輸入間的因果關系。再結合希爾伯特變換分析，可以確定某輸入除了由其他輸入傳遞的能量之外，自身是否含有有用的信息，即該輸入是否為重復測量。最后根據上述方法對輸入進行排序同時剔除重復信息，并以各輸入的偏相干輸出譜為依據，通過層次分析方法實現對強相干噪聲源貢獻量的判定。另外，上述方法意在解決偏相干分析中輸入間因果關系問題以及分離強相干聲源的問題，因此顯然也適用于無因果關系或非相干聲源的情況。

1 利用倒譜和偏相干理論分離相干噪聲源

在噪聲識別、量化過程中，噪聲測量系統均可簡化為一個或多個多輸入單輸出系統。多輸入單輸出系統模型見圖1。

圖1 多輸入單輸出系統模型Fig.1 M ultiple-input/single-output model

圖中:xi(t)是輸入量，Hiy(f)是輸入對輸出的傳遞函數，Hij(f)是輸入間的傳遞函數，y(t)是系統輸出的測量值，n(t)是混入的噪聲。系統中輸入間存在相互影響，并且在某些頻率下輸入間可能存在強相干情況。

對于上述系統，利用倒譜和偏相干理論對噪聲源分離、量化的步驟為:

1)分析比較各輸入和輸出的自功率譜，找到感興趣的頻率范圍;

2)分析輸入間的相干函數;

3)對于強相干的輸入，通過倒頻譜分析和希爾伯特變換分析確定因果關系，將由其他輸入引起的輸入排序靠后或剔除;

4)利用基于偏相干輸出譜的層次分析方法分析確定各輸入對輸出的貢獻量。方法流程圖見圖2。

圖2 判斷各輸入對輸出貢獻量的流程圖Fig.2 Identification flow chart of inputs contribution to output

1.1 基于倒譜和希爾伯特變換的輸入間因果關系判斷

在偏相干分析中，輸入間的因果關系至關重要。準確的因果關系判斷不僅可以避免強耦合帶來的影響，更能為輸入排序提供依據，有效降低計算量，讓偏相干分析更加快速有效。為得到準確的因果關系，本文引入倒頻譜分析［13-17］和希爾伯特變換分析［18］。

倒頻譜是對功率譜Sx(f)的對數值做傅里葉逆變換的結果，用Cp(τ)表示:

式中:F-1［］表示傅里葉逆變換;倒頻譜Cp(τ)的自變量τ被稱作倒頻率，與相關函數Rx(τ)的自變量τ物理意義相同，都具有時間的量綱。

如果信號中存在混響，那么在倒頻譜上可以很清晰地分辨，并可以確定混響時間。對于復雜噪聲源，本文將兩聲源的互譜做倒譜分析。如果兩聲源間存在因果關系，則可以很明顯地判別出來，并能確定信號的時延。由于兩聲源做互譜的先后順序不同，會存在相位變化的問題，之后的倒譜也就隨之存在正負的區別。根據此特點，先做輸入1與輸入2的互譜倒譜，再做輸入2與輸入1的互譜倒譜，相互比較之后便可確定兩輸入的因果關系。

以帶限信號為例:

式中:G(fm，fn)(f)表示上下限頻率分別為fm和fn的帶限信號，N是混入的噪聲，X1是x1(t)的傅里葉變換，f1=100 Hz，f2=500 Hz，f3=800 Hz，f4=1 600 Hz，系統的頻響函數:

式中:0.01即是信號的傳遞時延。顯然，輸入間存在強耦合，在100～500 Hz頻帶內，x2的能量全部來自x1，x3的一部分能量來自x1。

對x2與x1的互譜C21、x1與x2的互譜C12分別作倒譜分析，結果見圖3。

圖3 x1與x2之間的互譜倒譜Fig.3 Cross cepstrum s between x1 and x2

根據圖3可以得到以下結論:

1)C12與C21的倒譜大小基本相同但相位相反，因此可以通過比較C12與C21的倒譜確定因果關系。

2)互譜倒譜的各個尖峰之間的時間間隔相等，并且該時間間隔與兩輸入間由于系統傳遞所帶來的時延相等，互譜倒譜的時間分辨力顯然與采樣頻率有關，Δτ=1/fs。如果要分辨小時延，就要提高采樣頻率。

在利用倒譜確定輸入間因果關系后，還要進一步確定，除由其他輸入傳遞的信號外，該輸入本身是否存在其他信號。根據柯西積分定理可知，因果系統頻率響應函數的實部和虛部是一對希爾伯特變換對。設因果系統的頻響函數:

那么實部和虛部的關系為

仍以上文的帶限信號為例，對x2與x1的互譜C21，x3與x1的互譜C31分別作倒譜分析，結果見圖4。

圖4 C21與C31的倒譜Fig.4 Cepstrums of C21 and C31

可見僅用倒譜分析只能確定它們之間存在因果關系卻無法判斷x2和x3本身是否存在與x1同頻的信號。此時可根據希爾伯特變換對條件來判斷輸入間是否為單純的因果關系。如果在某一頻帶內，兩輸入間的傳遞函數滿足希爾伯特變換對關系，說明其中一個輸入的信息完全來自另一個輸入;如果不滿足則說明該輸入本身含有另外的信息。

圖5 傳遞函數的希爾伯特分析Fig.5 Hilbert analysis of the transfer function

從圖5(a)可以判斷，H＇12在100～500 Hz之間滿足希爾伯特變換對關系，即x2自身不含100～500 Hz的信號。而圖5(b)則不同，雖然可以通過圖4判斷x1與x3之間存在因果關系，但H＇13在100～500 Hz之間不滿足希爾伯特變換對關系，說明x3自身同樣含有100～500 Hz的信號。因此在100～500 Hz頻帶內做偏相干分析時，就可將x1排序靠前，將x2剔除。

1.2 基于偏相干輸出譜的層次分析

根據條件譜分析方法［19］，可以將圖1所示多輸入單輸出系統轉化成條件輸入的多輸入單輸出系統，見圖6。其中 Xq·(q-1)!表示去掉前(q-1)個輸入的線性影響后第q個輸入的傅里葉變換，Lqy是根據Xq·(q-1)!預測的最優線性系統響應函數。

式中:下標·m!表示去掉前m個輸入影響以后的值，第r個輸入與輸出的偏相干函數為

第r個輸入對輸出的偏相干輸出譜為

偏相干輸出譜具有與功率譜相同的物理意義。

圖6 條件輸入的多輸入單輸出系統Fig.6 Multiple-input/single output model for conditioned inputs

噪聲源的貢獻量即在某一頻帶內各個噪聲源的能量占總噪聲能量的比例。利用偏相干輸出譜計算貢獻量可有效避免由聲源的相干性帶來的干擾。

表1 以ΔS為依據的賦值規則Table 1 Assignment rules according toΔS

層次分析法主要用于分析多因素的權重問題.該方法將多個因素進行兩兩比較并根據不同的規則形成判斷矩陣。當判斷矩陣滿足一致性條件時，利用特征根法即可計算出各因素對總體的影響程度。關于層次分析法詳細的介紹以及構造判斷矩陣的方法等，可參考文獻［20-21］。在聲源貢獻量的分析中，層次分析法有得天獨厚的優勢。

在本文中，采用1～9標度，并把層次分析法中的“同樣重要”到“極端重要”量化。在構建判斷矩陣時，以輸入間偏相干輸出譜為比較對象，將各輸入的偏相干輸出譜從小到大排列并按分貝表示，最小的賦值1，其余的按相鄰2個值的差ΔS的大小進行賦值。賦值規則詳見表1。

以上考慮都是基于大量仿真實驗的基礎上進行的。在存在相干聲源時，偏相干輸出譜由于去掉了聲源間的線性影響，會變得非常小。但它在物理上仍然是有意義的，在數學上仍然是可計算的。這也是表1中以ΔS作為賦值條件的原因。

2 仿真分析

按圖1所示，對三輸入單輸出系統進行仿真。輸入均為帶限白噪聲，輸入間存在強耦合，并且在某些頻段內輸入間相干函數接近1。將各輸入表示為

式中:g(fm，fn)(t)表示上下限頻率分別為fm和fn帶限噪聲的時域信號，本文中利用白噪聲經過帶通濾波器得到，為達到強相干的效果，文中用同一高斯白噪聲經過不同帶通濾波器再混入噪聲來模擬各輸入;n(t)是噪聲;h13(t)是x1(t)到x3(t)的系統響應函數，它的傅里葉變換為

此時x1和x3間強耦合。輸出

式中:hiy是各輸入到輸出的系統響應函數，為簡化計算，均設為1。

首先對各輸入和輸出做功率譜分析，確定感興趣頻率范圍，見圖7。

通過觀察比較可知，噪聲基本在40 dB以下，而分析的頻率范圍可分為100～400 Hz，400～500 Hz，500 ～1 000 Hz。

下面分析各輸入的相干函數，判斷輸入間是否存在強相干情況，見圖8。

圖7 輸入和輸出的自功率譜Fig.7 Power spectrums of inputs and output

圖8 各輸入間的相干函數Fig.8 Coherence functions between each input

分析發現各輸入間均存在強相干的情況，因此對各輸入做互譜倒譜分析，見圖9。

可知在3個輸入之間，x1和x3間存在因果關系。根據1.1節中的互譜倒譜分析方法，可以確定x3中含有x1的信號能量。下面通過希爾伯特分析來確定x3除含有x1的部分能量外，是否還含有獨立的能量信息。

圖9 各輸入間的互譜倒譜Fig.9 Cross cepstrum s between each inputs

圖10的希爾伯特分析Fig.10 Hilbert analysis of

根據圖7可知x1和x3中所含信號的頻率均在100～1 000 Hz范圍內.而比較圖10可以發現，在100～400 Hz和500～1 000 Hz范圍內，H＇13實部和虛部的希爾伯特變換非常接近。因此可以判斷雖然x3的能量大于x1，但x3在上述頻段中的信號完全來自x1，本文在處理中選擇將其剔除。而400～500 Hz范圍內的信號是x3自身就存在的。根據圖9(b)，可知信號由x1傳到x3的時間為0.000 1 s。若系統中聲波傳播速度約為6 000 m/s。那么，x1與x3測點之間的距離約為0.6 m。這一結果可以在實際的工程分析中作為輔助分析的依據。

下面在不同頻段內，利用各輸入的偏相干譜做層次分析，以確定各自的貢獻量。表2～4給出了各輸入對輸出的判斷矩陣，表中給出判斷矩陣的一致性指數CR均為0。根據表2～4，可以得到不同頻率范圍內各聲源對輸出的貢獻量，同時根據原始信號給出了理論值，見表5。

表2 100～400 Hz帶寬內輸入對輸出的判斷矩陣Table2 Inputs to the output judgmentmatrix over 100～400 Hz

表3 400～500 Hz帶寬內輸入對輸出的判斷矩陣Table3 Inputs to the output judgment matrix over 400～500 Hz

表4 500～1 000 Hz帶寬內輸入對輸出的判斷矩陣Table4 Inputs to the output judgment matrix over 500～1000Hz

表5 不同頻率范圍內各輸入對輸出的貢獻量Table5 Contribution of each input to the output overeach frequency range

通過比較表5中的分析結果和理論值可知，以上對噪聲源貢獻量分析的方法可行、有效。

3 實驗數據分析

在雙層圓柱殼中進行了噪聲源量化實驗。模型中的激勵源為疏水泵。疏水泵通過隔振浮筏與艙壁相連。測點1和2分別在疏水泵電機機腳右上和左下位置;測點3和4分別在疏水泵機腳右上和左下位置;測點5～8分別在筏架隔振器上端的右后、右前、左后和左前位置。測點9在模型底端的艙壁位置。模型示意圖及測點位置見圖11、12。

圖11 模型正視圖Fig.11 Front view of themodel

圖12模型俯視圖Fig.12 Top view of the model

由于各測點均由同一激勵源引起，所以必然是強相干的。以測點1、2和測點3、4為例，它們的相干函數見圖13。

根據測點1、2的自功率譜，可確定疏水泵的基頻為50 Hz。100 Hz信號較強，以100 Hz單頻信號為例分析各輸入的貢獻量。根據各輸入的偏相干輸出譜建立的判斷矩陣以及各輸入的貢獻量見表6～8。

圖13 測點間的相干函數Fig.13 Coherence functions between inputs

圖14 測點的自功率譜Fig.14 Power spectrum s of inputs

表6 測點1、2對測點3的判斷矩陣及貢獻量Table 6 Judgment matrix and contribution of measuring points1＆2 to point 3

表7 測點3、4對測點5的判斷矩陣及貢獻量Table 7 Judgment matrix and contribution of measuring points 3＆4 to point 5

表8 測點5～8對測點9的判斷矩陣及貢獻量Table 8 Judgment matrix and contribution of measuring points 5～8 to point 5

結果表明，在疏水泵電機機腳中，右上的機腳位置振動較強;在筏架隔振器上端，左后位置振動最強，右前位置振動最弱。結果與實驗現象相吻合。

4 結論

本文針對目前偏相干理論尚不適用的兩種情況——輸入間存在強耦合的情況和存在強相干聲源的情況展開研究，并進行了仿真計算和實驗分析，初步得到以下結論:

1)利用互譜倒譜分析方法和希爾伯特變換分析，可以較好的獲得各輸入間的因果關系，從而能有效避免輸入間耦合帶來的影響，同時能在偏相干分析中得到正確的輸入排序以減少計算量。

2)在分析相干聲源的貢獻量問題時，基于偏相干輸出譜的層次分析方法有效可行。

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